課時(shí)11函數(shù)模型及其應(yīng)用一、課標(biāo)要求1．結(jié)合情境中具體問題，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實(shí)含義．2．收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型，體會(huì)如何借助函數(shù)刻畫實(shí)際問題，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義、了解函數(shù)模型．二、知識(shí)梳理1．幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝b·ax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0，且a≠1)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)2．三種函數(shù)模型的性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)_______單調(diào)_______單調(diào)_______增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與______平行隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與______平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax三、基礎(chǔ)回顧1．判斷正誤.（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）函數(shù)的函數(shù)值比函數(shù)的函數(shù)值大．（）（2）不存在實(shí)數(shù)a和實(shí)數(shù)，使得．（）（3）在上，隨著x的增大，的增長速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長速度．（）（4）某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10出售，后因庫存積壓降價(jià)，若按九折出售，則每件還能獲利．（）2．在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y－0.99－0.010.982.00則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x3．（多選題）某工廠一年中各月的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列說法正確的有()A.月收入最高值與月收入最低值的比是3∶1B.結(jié)余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的變化量與4至5月份的收入的變化量相同D.前6個(gè)月的平均收入為40萬元4．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為________.四、考點(diǎn)掃描考點(diǎn)一利用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題例1(2024·江蘇泰州市調(diào)研)中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時(shí)間，某研究人員每隔1min測量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖的分布情況，下列函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時(shí)間x變化的規(guī)律的是()A.y＝mx2＋n(x＞0)B.y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1)C.y＝max＋n(m＞0，a＞1)D.y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1)規(guī)律方法:對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知正方形ABCD的邊長為4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿折線B-C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象是()考點(diǎn)二已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題例2（1）某化工企業(yè)為了響應(yīng)并落實(shí)國家污水減排政策，加裝了污水過濾排放設(shè)備，在過濾過程中，污染物含量M(單位：mg/L)與時(shí)間t(單位：h)之間的關(guān)系為M＝M0e－kt(其中M0，k是正常數(shù))．已知經(jīng)過1h，設(shè)備可以過濾掉20%的污染物，則過濾掉60%的污染物所需的時(shí)間約為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301)()A．3hB．4hC．5hD．6h（2）(2024·貴州銅仁市模擬)香農(nóng)－威納指數(shù)(H)是生態(tài)學(xué)中衡量群落中生物多樣性的一個(gè)指數(shù)，其計(jì)算公式為H＝－eq\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))pi·log2pi，其中n是該群落中生物的種數(shù)，pi為第i個(gè)物種在群落中的比例.下表為某個(gè)只有甲、乙、丙三個(gè)種群的群落中各種群個(gè)體數(shù)量統(tǒng)計(jì)表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，該群落的香農(nóng)－威納指數(shù)值為()物種甲乙丙合計(jì)個(gè)體數(shù)量300150150600A.eq\f(3,2) B.eq\f(3,4) C.－eq\f(3,2) D.－eq\f(3,4)規(guī)律方法:對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（1）(2024·北京房山區(qū)模擬)血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是95%～100%，當(dāng)血氧飽和度低于90%時(shí)，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型S(t)＝S0eKt描述血氧飽和度S(t)隨著給氧時(shí)間t(單位：小時(shí))的變化而變化的規(guī)律，其中S0為初始血氧飽和度，K為參數(shù).已知S0＝60%，給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為80%.若使得血氧飽和度達(dá)到90%，則至少還需要的給氧時(shí)間為(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69，ln3≈1.10)()A.0.3小時(shí) B.0.5小時(shí)C.0.7小時(shí) D.0.9小時(shí)（2）(2024·湖南部分學(xué)校聯(lián)考)甲醛是一種無色、有著刺激性氣味的氣體，對(duì)人體健康有著極大的危害.新房入住時(shí)，空氣中甲醛濃度不能超過0.08mg/m3，否則，該新房達(dá)不到安全入住的標(biāo)準(zhǔn).若某套住房自裝修完成后，通風(fēng)x(x＝1，2，3，…，50)周與室內(nèi)甲醛濃度y(單位：mg/m3)之間近似滿足函數(shù)解析式y(tǒng)＝0.48－0.1f(x)(x∈N*)，其中f(x)＝loga[k(x2＋2x＋1)](k>0，x＝1，2，3，…，50)，且f(2)＝2，f(8)＝3，則該住房自裝修完成后要達(dá)到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)，至少需要通風(fēng)()A.17周 B.24周C.28周 D.26周考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題例3（1）“打水漂”是一種游戲，通過一定方式投擲石片，使石片在水面上實(shí)現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好．小趙同學(xué)在玩“打水漂”游戲時(shí)，將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時(shí)的速度為20m/s，然后石片在水面上繼續(xù)進(jìn)行多次彈跳．不考慮其他因素，假設(shè)石片每一次接觸水面時(shí)的速度均為上一次的85%，若石片接觸水面時(shí)的速度低于6m/s，石片就不再彈跳，沉入水底，則小趙同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.48，lg17≈1.23)()A．6B．7C．8D．9（2）李冶(1192—1279)，真定欒城(今屬河北石家莊市)人，金元時(shí)期的數(shù)學(xué)家、詩人，數(shù)學(xué)著作多部，其中《益古演段》主要研究平面圖形問題：如求圓的直徑、正方形的邊長等.其中一問：現(xiàn)有正方形方田一塊，內(nèi)部有一個(gè)圓形水池，其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為y畝，若方田的四邊到水池的最近距離均為20步，則y關(guān)于水池半徑r(單位：步)的函數(shù)解析式為y＝________；當(dāng)水池的邊緣與方田之間的面積與水池半徑比值最小時(shí)，r＝________(注：240平方步為1畝，圓周率按3近似計(jì)算).規(guī)律方法:對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí)．某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤，