高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省萍鄉(xiāng)市2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學試題一、單選題1．i3i-2A．-3 B．-3i C．-2 D．【答案】C【解析】因i3i-2故選：C.2．已知向量a=2,-1，b=3,λ，若a⊥A．35 B．33 C．3 D【答案】A【解析】由已知a⊥b，可得，解得λ=6，b=故b=故選：A.3．記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若an的公差為d，S4=7A．7d B．8d C．9d D．10d【答案】C【解析】由S4=7S1?4故選：C.4．已知集合A=xxx+m≤0，B=x3x+1x-m+1=0，C=A∩B，若集合A．-12 B．13 C．3【答案】C【解析】因為C有3個真子集，所以C中有2個元素，故B中有兩個元素，故B=-13,m-1且解得12≤m≤1且故選：C.5．記x，y為實數(shù)，設甲：y>x>0；乙：x-cosy<y-cosA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】令函數(shù)fx=x+cosx，求導得f'由y>x>0，得fy>fx由x-cosy<y-cosx，得x+cos綜上可知，甲是乙的充分不必要條件.故選：A.6．圓C1:(x-1)2+A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】圓C2的方程等價于(x-a)所以圓C2是以a,2-a為圓心，-圓C1是以1,1為圓心，2所以圓C1，圓C2的圓心距為圓C1，圓C2半徑之和為即圓心距等于兩半徑之和，因此兩圓外切，所以圓C1，圓C2有故選：C7．從10雙不同品牌的筷子中任取兩根，若其中一根為品牌A的筷子，則另一根筷子也屬于品牌A的概率為（

）A．137 B．128 C．119【答案】A【解析】設事件M為“從所有筷子中任取兩根均為品牌A”，則PM設事件N為“任取的兩根筷子中有品牌A”，則PN所求概率即為PM故選：A.8．已知定義在R上的函數(shù)fx滿足對于任意實數(shù)x，y均有fxy=yfx，且2f2A．675 B．1350 C．2025 D．4050【答案】D【解析】用x替換y，y替換x可得fxy=yfx=xfy，當x≠0，y≠0時，故可知fxx是常函數(shù)，于是知當x≠0時，fx=cx故選：D.二、多選題9．已知雙曲線E:x2-y2=2025，A,B,C,D為A．菱形 B．等腰梯形 C．正方形 D．矩形【答案】BD【解析】不妨令AB//CD，AB⊥x軸；當AB≠當AB=CD時，四邊形ABCD為矩形，故B，因為E:x2-y2故四邊形ABCD的對角線必不可能相互垂直，故A，C錯誤.故選：BD.10．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，動點M、A．AB．若M、N分別為所在棱的中點，則平面AMN將正方體ABCD-AC．不存在點M，使得點A1與點C到平面AMD．當M由D1向D運動時，平面AMB1【答案】BCD【解析】對于A選項，以點D為坐標原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、不妨設正方體的棱長為1，設DM=m，BN=n，其中0<m<1，0<n<1，則A11,0,1、C0,1,0，M所以A1C=所以A1C?MN=-1+1+m-n=m-n不一定為零，故A對于B選項，若M、N分別為所在線段的中點，A1,0,0、M0,0,12、N1,1,則AM=-1,0,12，所以四邊形AMC1N為平行四邊形，故平面AMC1對于C選項，假設存在點M，使得點A1和點B到平面AM則AM=-1,0,m，設平面AB1M則a?AM=-x+mz=0a?因為AA1=所以點A1到平面AB1點C到平面AB1M若d1=d2，可得m+1=1，解得m=0或m=-2對于D選項，如圖，在C1D1上取一點F，使得MF因為A1D1//BC，A設DA=1，D1M=a0<a<1可得平面AB1FM為過點A、B在梯形AB1FM中，AAM=AD2梯形AB1FM梯形AB1FM令fa=a+1則f'則fa在0,1上單調(diào)遞增，則D正確故選：BCD.11．設函數(shù)f(x)=sinx+sinA．f(x)在區(qū)間[0,2π]上有B．f(x)在區(qū)間[0,2π]上有C．f(x)的圖象有1條對稱軸在區(qū)間[0,2πD．f(x)的圖象有3個對稱中心在區(qū)間[0,2π【答案】ABD【解析】對于A，由f(x)=sin可得sinx=0或cosx=-1所以x=0或x=2π3或x=π或x=4π3對于B，由f(x)=sinx+sin令f'(x)=0，即cosx+4又x∈[0,2π]，故cosx=結(jié)合二次函數(shù)知識可得在每個解的左右兩邊導數(shù)符號不同，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2π]上有4個極值點，故對于C，由B可知cosx=-1±33又f(-x)=sin(-x)+sin又f(2π-x)=sin(2π又f(4π-x)=sin(4π又f(2π+x)=sin所以f(x)的圖象在區(qū)間[0,2π]上沒有對稱軸，f(x)的圖象有3個對稱中心在區(qū)間[0,2π]上，故C故選：ABD.三、填空題12．已知x0ex0【答案】ln【解析】依題意，lnx0e故答案為：ln313．已知2+xn=a0+n∑【答案】9〖祥解〗令t=1+x，得到1+tn=a0+n【解析】由題意可得a5>a3，而由設t=1+x，則1+tn由1+tn=a故am故由a5>a即3!n-3!>5!n-5解得n>8，所以n的最小值是9.故答案為：914．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在C上，記△M【答案】1【解析】設MF1=則t1+t2由∠F1M即t12+t22所以S△又S△又2csin因為AF1=2r解得e=c故答案為：12四、解答題15．已知函數(shù)fx（1）求曲線y=fx在x=0（2）求fx在區(qū)間-2,2上的值域解：（1）依題意，f'x=ex故所求切線方程為y+3=-3x，即3x+y+3=0.（2）由（1）知f'而x∈-2,2，令f'x當x∈-2,1時，f'x<0，當x∈1,2時，f'x>0，而f1=-2e，f2=故fx在區(qū)間-2,2上的值域為-216．某數(shù)學研究小組對一家商鋪進行了研究分析，發(fā)現(xiàn)每日客流量X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)峰值為1152π，均值為100，且商鋪規(guī)定消費一次可以獲得不同數(shù)量的積分：獲得1分的概率為12，獲得2分的概率為310，獲得3（1）求P55<X<70（2）記某顧客消費兩次累計獲得的積分為Z，求Z的分布列與期望.附：正態(tài)密度函數(shù)fx=1σ2πe-x-μ22σ解：（1）由于fx=1所以X～N100,那么P=0.9973-0.9545（2）依題意，Z所有可能的取值為2，3，4，5，6.PZ=2=1PZ=4=3PZ=6所以Z的分布列如下.EZ17．已知△ABC中，cosA+2sin3（1）若BC=2，求△ABC的外接圓面積；（2）若BD=4CD，∠DAB=90°，△ABD的面積為23，求解：（1）依題意，cosA+sin3π2因為A∈0,π，且A≠π2，故故△ABC的外接圓半徑R=BC2sinA=（2）由∠DAB=90°，由（1）知，∠CAD=π6，又BD=4所以S△ABC=3S△ACD，則由△ABD的面積為23，則12AB?AD=23，代入AB=3又S△ABC=34S由余弦定理BC=AB2+AC18．已知四棱錐S-ABCD中，二面角S-AD-B為直二面角，AD=43CD=2SD=4BC=4，∠BCD=∠ADC=∠ASD=90°，M為棱（1）證明：SA⊥SC；（2）若M為DA中點，求二面角B-SC-M的正弦值；（3）若BM//平面SCD，點N在平面SMB上，若直線AN與平面SCD所成角為π6，求MN（1）證明：由∠ADC=90°，得CD⊥AD，二面角S-AD-B為直二面角，即平面SAD⊥平面ABCD，而平面SAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，故CD⊥平面SAD.因為SA?平面SAD，所以SA⊥CD，又SA⊥SD，SD，CD?平面SCD，SD∩CD=D，故SA⊥平面SCD，又SC?平面SCD，故SA⊥SC.（2）解：過點S作SO⊥AD于點O，連接OB，由△ADS～△SDO，得OD=1=BC.又OD//BC，故四邊形OBCD為平行四邊形，因為∠ADC=90°，所以∠DOB=90°，即OD⊥OB，故OA，OB，OS兩兩垂直，以O為坐標原點，OA，OB，OS所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則B0,3,0，S0,0,3，C故BS=0,-3,3，BC=-1,0,0設平面SBC的法向量a=x1令y1=1，則z1=3，x設平面SCM的法向量的b=x令z2=3，則x2=3，y則cosa,b=a（3）解：若BM//平面SCD，BM?平面ABCD，平面ABCD∩平面SCD=CD，則BM//CD，由（2）知OB//DC，故M與O點重合，因為N在平面SMB上，設N0,p,t，p，t∈R，A3,0,0因為S0,0,3，C-1,3,0，D-1,0,0，則設平面SCD的法向量m=x,y,z，則令z=3，則x=-3，y=0，故m=-3,0,故cosm,AN又p2=63由MN=0,p,t，故當且僅當t=-3時等號成立，MN取得最小值為319．記拋物線E:x2=4y的焦點為F，過原點O作斜率為1的直線l，l與E交于另一點P1，取FP1的中點M1，直線OM1與E交于另一點P（1）求點P2（2）證明：kn+1（3）記△OPnPn+1的面積為（1）解：如圖所示，聯(lián)立y=xx2=4y，解得x=0y=0或又F(0,1)，所以M12,52，聯(lián)立y=54xx2=4y，解得（2）證明：聯(lián)立y=knx所以Mn+12k所以kn+1又因為k1=54>0，故kn>0，于是又由kn>0，可知14k（3）解：由（2）得，當n≥2時，Pn4k利用割補法，知S=8=8=8=2k而S1=1而kn≥k又14kn由累乘法可知kn而k1=5故n∑綜上，6n<江西省萍鄉(xiāng)市2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學試題一、單選題1．i3i-2A．-3 B．-3i C．-2 D．【答案】C【解析】因i3i-2故選：C.2．已知向量a=2,-1，b=3,λ，若a⊥A．35 B．33 C．3 D【答案】A【解析】由已知a⊥b，可得，解得λ=6，b=故b=故選：A.3．記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若an的公差為d，S4=7A．7d B．8d C．9d D．10d【答案】C【解析】由S4=7S1?4故選：C.4．已知集合A=xxx+m≤0，B=x3x+1x-m+1=0，C=A∩B，若集合A．-12 B．13 C．3【答案】C【解析】因為C有3個真子集，所以C中有2個元素，故B中有兩個元素，故B=-13,m-1且解得12≤m≤1且故選：C.5．記x，y為實數(shù)，設甲：y>x>0；乙：x-cosy<y-cosA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】令函數(shù)fx=x+cosx，求導得f'由y>x>0，得fy>fx由x-cosy<y-cosx，得x+cos綜上可知，甲是乙的充分不必要條件.故選：A.6．圓C1:(x-1)2+A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】圓C2的方程等價于(x-a)所以圓C2是以a,2-a為圓心，-圓C1是以1,1為圓心，2所以圓C1，圓C2的圓心距為圓C1，圓C2半徑之和為即圓心距等于兩半徑之和，因此兩圓外切，所以圓C1，圓C2有故選：C7．從10雙不同品牌的筷子中任取兩根，若其中一根為品牌A的筷子，則另一根筷子也屬于品牌A的概率為（

）A．137 B．128 C．119【答案】A【解析】設事件M為“從所有筷子中任取兩根均為品牌A”，則PM設事件N為“任取的兩根筷子中有品牌A”，則PN所求概率即為PM故選：A.8．已知定義在R上的函數(shù)fx滿足對于任意實數(shù)x，y均有fxy=yfx，且2f2A．675 B．1350 C．2025 D．4050【答案】D【解析】用x替換y，y替換x可得fxy=yfx=xfy，當x≠0，y≠0時，故可知fxx是常函數(shù)，于是知當x≠0時，fx=cx故選：D.二、多選題9．已知雙曲線E:x2-y2=2025，A,B,C,D為A．菱形 B．等腰梯形 C．正方形 D．矩形【答案】BD【解析】不妨令AB//CD，AB⊥x軸；當AB≠當AB=CD時，四邊形ABCD為矩形，故B，因為E:x2-y2故四邊形ABCD的對角線必不可能相互垂直，故A，C錯誤.故選：BD.10．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，動點M、A．AB．若M、N分別為所在棱的中點，則平面AMN將正方體ABCD-AC．不存在點M，使得點A1與點C到平面AMD．當M由D1向D運動時，平面AMB1【答案】BCD【解析】對于A選項，以點D為坐標原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、不妨設正方體的棱長為1，設DM=m，BN=n，其中0<m<1，0<n<1，則A11,0,1、C0,1,0，M所以A1C=所以A1C?MN=-1+1+m-n=m-n不一定為零，故A對于B選項，若M、N分別為所在線段的中點，A1,0,0、M0,0,12、N1,1,則AM=-1,0,12，所以四邊形AMC1N為平行四邊形，故平面AMC1對于C選項，假設存在點M，使得點A1和點B到平面AM則AM=-1,0,m，設平面AB1M則a?AM=-x+mz=0a?因為AA1=所以點A1到平面AB1點C到平面AB1M若d1=d2，可得m+1=1，解得m=0或m=-2對于D選項，如圖，在C1D1上取一點F，使得MF因為A1D1//BC，A設DA=1，D1M=a0<a<1可得平面AB1FM為過點A、B在梯形AB1FM中，AAM=AD2梯形AB1FM梯形AB1FM令fa=a+1則f'則fa在0,1上單調(diào)遞增，則D正確故選：BCD.11．設函數(shù)f(x)=sinx+sinA．f(x)在區(qū)間[0,2π]上有B．f(x)在區(qū)間[0,2π]上有C．f(x)的圖象有1條對稱軸在區(qū)間[0,2πD．f(x)的圖象有3個對稱中心在區(qū)間[0,2π【答案】ABD【解析】對于A，由f(x)=sin可得sinx=0或cosx=-1所以x=0或x=2π3或x=π或x=4π3對于B，由f(x)=sinx+sin令f'(x)=0，即cosx+4又x∈[0,2π]，故cosx=結(jié)合二次函數(shù)知識可得在每個解的左右兩邊導數(shù)符號不同，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2π]上有4個極值點，故對于C，由B可知cosx=-1±33又f(-x)=sin(-x)+sin又f(2π-x)=sin(2π又f(4π-x)=sin(4π又f(2π+x)=sin所以f(x)的圖象在區(qū)間[0,2π]上沒有對稱軸，f(x)的圖象有3個對稱中心在區(qū)間[0,2π]上，故C故選：ABD.三、填空題12．已知x0ex0【答案】ln【解析】依題意，lnx0e故答案為：ln313．已知2+xn=a0+n∑【答案】9〖祥解〗令t=1+x，得到1+tn=a0+n【解析】由題意可得a5>a3，而由設t=1+x，則1+tn由1+tn=a故am故由a5>a即3!n-3!>5!n-5解得n>8，所以n的最小值是9.故答案為：914．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在C上，記△M【答案】1【解析】設MF1=則t1+t2由∠F1M即t12+t22所以S△又S△又2csin因為AF1=2r解得e=c故答案為：12四、解答題15．已知函數(shù)fx（1）求曲線y=fx在x=0（2）求fx在區(qū)間-2,2上的值域解：（1）依題意，f'x=ex故所求切線方程為y+3=-3x，即3x+y+3=0.（2）由（1）知f'而x∈-2,2，令f'x當x∈-2,1時，f'x<0，當x∈1,2時，f'x>0，而f1=-2e，f2=故fx在區(qū)間-2,2上的值域為-216．某數(shù)學研究小組對一家商鋪進行了研究分析，發(fā)現(xiàn)每日客流量X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)峰值為1152π，均值為100，且商鋪規(guī)定消費一次可以獲得不同數(shù)量的積分：獲得1分的概率為12，獲得2分的概率為310，獲得3（1）求P55<X<70（2）記某顧客消費兩次累計獲得的積分為Z，求Z的分布列與期望.附：正態(tài)密度函數(shù)fx=1σ2πe-x-μ22σ解：（1）由于fx=1所以X～N100,那么P=0.9973-0.9545（2）依題意，Z所有可能的取值為2，3，4，5，6.PZ=2=1PZ=4=3PZ=6所以Z的分布列如下.EZ17．已知△ABC中，cosA+2sin3（1）若BC=2，求△ABC的外接圓面積；（2）若BD=4CD，∠DAB=90°，△ABD的面積為23，求解：（1）依題意，cosA+sin3π2因為A∈0,π，且A≠π2，故故△ABC的外接圓半徑R=BC2sinA=（2）由∠DAB=90°，由（1）知，∠CAD=π6，又BD=4所以S△ABC=3S△ACD，則由△ABD的面積為23，則12AB?AD=23，代入AB=3又S△ABC=34S由余弦定理BC=AB2+AC18．已知四棱錐S-ABCD中，二面角S-AD-B為直二面角，AD=43CD=2SD=4BC=4，∠BCD=∠ADC=∠ASD=90°，M為棱（1）證明：SA⊥SC；（2）若M為DA中點，求二面角B-SC-M的正弦值；（3）若BM//平面SCD，點N在平面SMB上，若直線AN與平面SCD所成角為π6，求MN（1）證明：由∠ADC=90°，得CD⊥AD，二面角S-AD-B為直二面角，即平面SAD⊥平面ABCD，而平面SAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，故CD⊥平面SAD.因為SA?平面SAD，所以SA⊥CD，又SA⊥SD，SD，C