第1頁（共1頁）2025年福建省部分地市高考數(shù)學診斷試卷（4月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數(shù)滿足，則A． B． C． D．2．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，，為其終邊上一點，則A． B．4 C． D．13．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．4．在菱形中，若且在上的投影向量為，則A． B． C． D．5．已知，，，則A． B． C． D．6．棱長為1的正方體中，點為上的動點，為底面的中心，則的最小值為A． B． C． D．7．若直線與曲線相切，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，8．函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對任意的實數(shù)，在上不單調(diào)，則的取值范圍為A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）雙曲線的左、右焦點分別為、，且的兩條漸近線的夾角為，若為的離心率），則A． B． C． D．的一條漸近線的斜率為（多選）10．（6分）定義在上的函數(shù)的值域為，且，則A． B．（4）（1） C． D．（多選）11．（6分）投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，設(shè)隨機變量，2，．記表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”則A．和互為對立事件 B．事件和不互斥 C．事件和相互獨立 D．事件和相互獨立三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在的展開式中常數(shù)項為．（用數(shù)字作答）13．某圓錐的體積為，其側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的母線長為．14．設(shè)為數(shù)列的前項積，若，其中常數(shù)，則（結(jié)果用表示）；若數(shù)列為等差數(shù)列，則．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（13分）中，角，，的對邊分別是，，，且，．（1）求；（2）若面積為，求邊上中線的長．16．（15分）如圖，在三棱柱中，平面平面，，．（1）設(shè)為中點，證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．17．（15分）從一副撲克牌中挑出4張和4張，將其中2張和2張裝在一個不透明的袋中，剩余的2張和2張放在外面．現(xiàn)從袋中隨機抽出一張撲克牌，若抽出，則把它放回袋中；若抽出，則該撲克牌不再放回，并將袋外的一張放入袋中．如此操作若干次，直到將袋中的全部置換為．（1）在操作2次后，袋中的張數(shù)記為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望；（2）記事件“在操作次后，恰好將袋中的全部置換為”為，記．（?。┰诘?次取到的條件下，求總共4次操作恰好完成置換的概率；（ⅱ）試探究與的遞推關(guān)系，并說明理由．18．（17分）在直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，過的直線與交于，兩點，且當?shù)男甭蕿?時，．（1）求的方程；（2）設(shè)與的準線交于點，直線與交于點（異于原點），線段的中點為，若，求面積的取值范圍．19．（17分）若實數(shù)集，對，，均有，則稱具有型關(guān)系．（1）若集合，，，判斷是否具有型關(guān)系，并說明理由；（2）設(shè)集合，，若具有型關(guān)系，求非負實數(shù)的取值范圍；（3）當時，證明：．

2025年福建省部分地市高考數(shù)學診斷試卷（4月份）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BDABBCAD二．多選題（共3小題）題號91011答案ABDACDBC一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數(shù)滿足，則A． B． C． D．解：，，．故選：．2．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，，為其終邊上一點，則A． B．4 C． D．1解：始邊與軸非負半軸重合，，為其終邊上一點，則，解得．故選：．3．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．解：因為函數(shù)的定義域為，排除，又，即為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，排除．故選：．4．在菱形中，若且在上的投影向量為，則A． B． C． D．解：在菱形中，由可得：，則△為等邊三角形，過點作的垂線，與交于點，則為中點，由投影向量的定義可知，即為在上的投影向量，故，故．故選：．5．已知，，，則A． B． C． D．解：，，，故．故選：．6．棱長為1的正方體中，點為上的動點，為底面的中心，則的最小值為A． B． C． D．解：由正方體棱長為1，可得，，在正方體中，點為上的動點，為底面的中心，如圖，過點作，垂足為點，則此時最小，由△，可得，即，故的最小值為．故選：．7．若直線與曲線相切，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，解：設(shè)直線與曲線相切于，由，得，可得切線的斜率為，又，可得，，由，得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，（1），又當時，，的取值范圍為，．故選：．8．函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對任意的實數(shù)，在上不單調(diào)，則的取值范圍為A． B． C． D．解：因為，又因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，因為對任意的實數(shù)，在上不單調(diào)，所以的周期，所以，所以．故選：．二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）雙曲線的左、右焦點分別為、，且的兩條漸近線的夾角為，若為的離心率），則A． B． C． D．的一條漸近線的斜率為解：雙曲線的，，，由，可得，解得，故正確，錯誤；由雙曲線的漸近線方程，可得，故、正確．故選：．（多選）10．（6分）定義在上的函數(shù)的值域為，且，則A． B．（4）（1） C． D．解：令，則，函數(shù)的值域為，，選項正確；令，，則（2）（1），令，，則（4）（2）（1），選項錯誤；令，則，，即，選項正確；，，，當且僅當時取等號，，故選項正確．故選：．（多選）11．（6分）投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，設(shè)隨機變量，2，．記表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”則A．和互為對立事件 B．事件和不互斥 C．事件和相互獨立 D．事件和相互獨立解：根據(jù)題意，表示事件“”，即前兩次拋擲中，一次正面，一次反面，則（A），表示事件“”，即第二次拋擲中，正面向上，則（B），表示事件“”，即前兩次拋擲中，一次正面，兩次次反面，（C），依次分析選項：對于，事件、可能同時發(fā)生，則事件、不是對立事件，錯誤；對于，事件、可能同時發(fā)生，則事件和不互斥，正確；對于，事件，即前兩次拋擲中，第一次反面，第二次正面，，由于（A）（B），則事件和相互獨立，正確；對于，事件，即前兩次拋擲中，第一次和第三次反面，第二次正面，，（B）（C），事件、不是相互獨立事件，錯誤．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在的展開式中常數(shù)項為160．（用數(shù)字作答）解：在的展開式中的通項公式為，令，求得，可得常數(shù)項為，故答案為：160．13．某圓錐的體積為，其側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的母線長為2．解：設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，則圓錐的高為，由題意可得，解得，所以該圓錐的母線長為2．故答案為：2．14．設(shè)為數(shù)列的前項積，若，其中常數(shù)，則（結(jié)果用表示）；若數(shù)列為等差數(shù)列，則．解：因為為數(shù)列的前項積，，時，，當時，，即，時，，則，若數(shù)列為等差數(shù)列，則，所以，整理得，，解得或．故答案為：；1或2．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（13分）中，角，，的對邊分別是，，，且，．（1）求；（2）若面積為，求邊上中線的長．解：（1），，，，或（舍，又，；（2），，，，，即，得，由正弦定理，得，設(shè)邊的中點為，連接，如下圖：，即，即，解得．16．（15分）如圖，在三棱柱中，平面平面，，．（1）設(shè)為中點，證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【解答】（1）證明：因為為中點，且，所以在中，有，且，又平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，則，由，，得，因為，，，所以由勾股定理，得，又，，所以平面；（2）解：如圖所示，以為原點，建立空間直角坐標系，可得，，設(shè)平面的法向量為，由，令，得，，所以，1，，由（1）知，平面，所以平面的一個法向量為，記平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．17．（15分）從一副撲克牌中挑出4張和4張，將其中2張和2張裝在一個不透明的袋中，剩余的2張和2張放在外面．現(xiàn)從袋中隨機抽出一張撲克牌，若抽出，則把它放回袋中；若抽出，則該撲克牌不再放回，并將袋外的一張放入袋中．如此操作若干次，直到將袋中的全部置換為．（1）在操作2次后，袋中的張數(shù)記為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望；（2）記事件“在操作次后，恰好將袋中的全部置換為”為，記．（?。┰诘?次取到的條件下，求總共4次操作恰好完成置換的概率；（ⅱ）試探究與的遞推關(guān)系，并說明理由．解：（1）由題意可知，的所有取值為0，1，2，則，，，所以的分布列為：012所以；（2）記事件表示“第1次取到”，事件表示“總共4次操作恰好完成置換”，則（E），依題意，若第一次取到，則剩余的3次操作，須將袋中全部置換為，①若第二次也取出，則第三次和第四次均須取出，其概率為，②若第二次取出，則第三次取出，第四次取出，其概率為，綜上所述，，所以，即在第1次取到的條件下，總共4次操作恰好完成置換的概率為；，理由如下：設(shè)事件表示“次操作后袋中還剩1張”，依題意，為次操作后，恰好將袋中的全部置換為，而發(fā)生這樣的情況需次操作后袋中還剩1張，且第次抽中，則，即（B），為次操作后，恰好將袋中的全部置換為，發(fā)生這樣需2種情況：①次操作后袋中還剩2張（即前次全取，概率為，并且第次和次全取，②次操作后袋中還剩1張，第次取，第次取，所以（B）（B），又因為（B），所以．18．（17分）在直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，過的直線與交于，兩點，且當?shù)男甭蕿?時，．（1）求的方程；（2）設(shè)與的準線交于點，直線與交于點（異于原點），線段的中點為，若，求面積的取值范圍．解：（1）不妨設(shè)的方程為，，，，，聯(lián)立，得，，，則，由題可知當時，，，的方程為；（2）由（1）知，將的縱坐標代入，得，，易知的準線方程為，又與的準線交于點，，則直線的方程為，聯(lián)立與的方程，得，即，，，，的縱坐標相等，直線軸，，，點異于原點，，，，，即．19．（17分）若實數(shù)集，對，，均有，則稱具有型關(guān)系．（1）若集合，，，判斷是否具有型關(guān)系，并說明理由；（2）設(shè)集合，，若具有型關(guān)系，求非負實數(shù)的取值范圍；（3）當時，證明：．解：（1）依題意，是否具有型關(guān)系，等價于判定以下兩個不等式對于是否