第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年山西大學(xué)附中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，則集合?U(A∪B)=(

)A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}2.已知復(fù)數(shù)z=1?i(i為虛數(shù)單位)，z?是z的共軛復(fù)數(shù)，則|1z?A.1 B.22 C.123.函數(shù)f(x)=x?(1A.(0,14) B.(14,4.在△ABC中，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c=3，A=30°，B=15°，則邊長a=(

)A.32 B.3 C.5.已知f(x)=(2a?1)x+3a,x<1logax,x≥1是定義在R上的減函數(shù)，則A.(0,12) B.(0,12]6.在三棱錐P?ABC中，點(diǎn)A在平面PBC中的投影是△PBC的垂心，若△ABC是等腰直角三角形且AB=AC=1，PC=3，則三棱錐P?ABC的外接球表面積為(

)A.π B.4π3 C.4π D.7.已知函數(shù)f(x)=3sinωx在區(qū)間[?π3,π4]上的最小值為?3A.(?∞,92]∪[6,+∞) B.(?∞,92]∪[二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。8.已知向量a=(2,1)，b=(x,x+1)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若a⊥b，則x=?13 B.若a//b，則x=±2

C.若x=1，則|a?b9.在一次奧運(yùn)會(huì)男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入決賽(比賽采用三局兩勝制，即率先獲得兩局勝利者贏得比賽，隨即比賽結(jié)束).假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4.某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1～5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)1，2或3時(shí)，表示甲獲勝，當(dāng)出現(xiàn)4或5時(shí)，表示乙獲勝，以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組進(jìn)行冠軍模擬預(yù)測，如果產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：423?123?423?344?114?453?525?332?152?342?534?443?512?541?125?432?334?151?314?354，根據(jù)頻率估計(jì)概率的思想，下列說法正確的有(

)A.甲獲得冠軍的概率近似值為0.65

B.甲以2：0的比分獲得冠軍的概率近似值為0.5

C.比賽總共打滿三局的概率近似值為0.55

D.乙以2：0的比分獲得冠軍的概率近似值為0.1510.如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面正方形ABCD邊長為1，AAA.已知直線l為平面A1C1D和平面ABCD的交線，則平面ABB1A1內(nèi)存在直線與l平行

B.三棱錐M?A1C1D的體積為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。11.拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，則“拋擲的兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是7”的概率為______．12.奇函數(shù)f(x)是定義在[?2,2]的減函數(shù)，若f(2a+1)+f(4a?3)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．13.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為3，E，F(xiàn)是棱四、解答題：本題共5小題，共82分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題14分)

在五一假期中，某校組織全校學(xué)生開展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，抽樣調(diào)查了其中的100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間(單位：小時(shí))，并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成如圖的頻率分布直方圖.另外，根據(jù)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間從長到短按4：4：2的比例分別被評(píng)為優(yōu)秀、良好、合格．

(1)求a的值并估計(jì)該學(xué)校學(xué)生在這個(gè)五一假期中參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)；

(2)試估計(jì)至少參加多少小時(shí)的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，方可被評(píng)為優(yōu)秀.(結(jié)果保留兩位小數(shù))．

(3)根據(jù)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的成績，按分層抽樣的方式抽取5名學(xué)生.從這5名學(xué)生中，任選3人，求這3名學(xué)生成績各不相同的概率．15.(本小題16分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=6，AB=2CD=6，AB//CD，AB⊥AD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)．

(1)證明：PE//平面ACF．

(2)證明：AF⊥平面PCD．

(3)求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

16.(本小題16分)

已知函數(shù)f(x)=2sin2ωx+23sinωxcosωx?1(ω>0)，且函數(shù)f(x)的最小正周期為π．

(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π6個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)17.(本小題18分)

△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c=2，(b+c)(sinC?sinB)=a(sinA?sinB)．

(1)求角C的值；

(2)求a+2b的最大值；

(3)若AB邊的中線CD長為2，求△ABC的面積．18.(本小題18分)

對(duì)于集合Ω={θ1,θ2,…,θn}和常數(shù)θ0，定義：μ=cos2(θ1?θ0)+cos2(θ2?θ0)+…+cos2(θn?θ0)n為集合Ω相對(duì)參考答案1.D

2.B

3.B

4.C

5.D

6.C

7.D

8.AD

9.ACD

10.BC

11.1612.[113.314.解：(1)由(0.02+0.06+0.075+a+0.025)×4=1，解得a=0.07，

∵(0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28)×4=20.32，

∴該學(xué)校學(xué)生假期中參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間的平均數(shù)約為20.32小時(shí)．

(2)由題意可知，即求60百分位數(shù)，

又∵(0.02+0.06)×4=0.32，(0.02+0.06+0.075)×4=0.62，

∴60百分位數(shù)位于18～22之間，設(shè)60百分位數(shù)為y，

則y?1822?18=0.6?0.320.3，解得y=18+5615≈21.73

故至少參加21.73小時(shí)的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，方可被評(píng)為優(yōu)秀．

(3)易知，5名學(xué)生中，

優(yōu)秀有5×44+4+2=2人，設(shè)為A，B，

良好有5×44+4+2=2，人，設(shè)為C，D，

合格有5×24+4+2=1人，設(shè)為E．

任選3人，總共有(A,B,C)，(A,B,D)，(A,B,E)，(A,C,D)，(A,C,E)，(A,D,E)(B,C,D)，(B,C,E)，(B,D,E)，(C,D,E)，10種情況，

15.(1)證明：因?yàn)锳B=2CD=6，AB//CD，AB⊥AD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，

連接EC，ED，設(shè)ED∩AC=O，連接OF，

可得四邊形ADCE為矩形，

可得O為DE的中點(diǎn)，所以O(shè)F//PE，

又因?yàn)镻E?平面ACE，OF?平面ACE，

所以PE//平面ACE；

(2)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，

所以AD⊥CD，

易證得CD⊥AD，AD∩PA=A，

所以CD⊥平面PAD，

因?yàn)锳F?平面PAD，

所以AF⊥CD，

又因?yàn)镻A=AD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，

所以AF⊥PD，

又因?yàn)镻D∩CD=D，

所以AF⊥平面PCD；

(3)解：PA=AD=6，AB=2CD=6，

可得AC=AD2+CD2=36+9=35，AF=12PD=12PA2+AD2=1236+36=316.(1)由題意得f(x)=2×1?cos2ωx2+3sin2ωx?1=3sin2ωx?cos2ωx=2sin(2ωx?π6)，

根據(jù)f(x)的最小正周期T=2π2ω=π，解得ω=1，所以f(x)=2sin(2x?π6)，

令?π2+2kπ≤2x?π6≤π2+2kπ(k∈Z)，解得?π6+kπ≤x≤π3+kπ(k∈Z)，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[?π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z；

(2)將f(x)17.(1)因?yàn)?b+c)(sinC?sinB)=a(sinA?sinB)，

正弦定理可得(b+c)(c?b)=a(a?b)，

整理可得a2+b2?c2=ab，

由余弦定理可得a2+b2?c2=2abcosC，

可得cosC=12，

在△ABC中，C∈(0,π)，

可得C=π3；

(2)因?yàn)閏=2，由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=232=43，

可得a=43sinA，b=43sinB，

可得a+2