江西省吉安市2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級數(shù)學(xué)期中練習(xí)卷一、單選題1．下列關(guān)于的方程中，一定是一元二次方程的是（

）A．（，，為常數(shù)） B．C． D．2．在一個(gè)不透明的口袋里裝著只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20只，某學(xué)習(xí)小組作摸球?qū)嶒?yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下表示活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m5896116295484601摸到白球的頻率0.580.640.580.590.6050.601請估算口袋中白球約是()只．A．8 B．9 C．12 D．133．下列命題，其中是真命題的為（

）A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．對角線相等的四邊形是矩形D．一組鄰邊相等的矩形是正方形4．如圖，△PQR是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形，下列正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形與△PQR相似的是（

）A． B． C． D．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形對角線與軸重合，，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)，，則的值是（

）A． B． C． D．6．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝60°，E是BC的中點(diǎn)，連接ED交AC于點(diǎn)G，若點(diǎn)F是AG的中點(diǎn)，則△EFD的周長為（）A．52 B．10 C．9 D．5二、填空題7．已知，則．8．如圖是某校的旗桿，米，是的黃金分割點(diǎn)（）則（用含根號的式子表示）．9．已知，是一元二次方程的兩個(gè)根，則．10．若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是.11．將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子（圖中的所有點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)），若，，則．

12．如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)分別在軸，軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，且，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)．三、解答題13．解方程：(1)；(2)如圖，矩形對角線，相交于，若，，求的長度．14．如圖，，，，，，求的長．

15．2023年9月21日，“天宮課堂”第四課在中國空間站開講，“太空教師”景海鵬、朱楊柱、桂海潮為廣大青少年帶來一場精彩的太空科普課，航天員們演示了“球形火焰”“奇妙乒乓球”“動(dòng)量守恒”和“又見陀螺”四個(gè)實(shí)驗(yàn)．本次授課活動(dòng)分別在北京、內(nèi)蒙古阿拉善盟、陜西延安、安徽桐城及浙江寧波設(shè)置了5個(gè)地面課堂．(1)若航天員們隨機(jī)連線一個(gè)地面課堂，求北京地面課堂被連線的概率；（請直接寫出結(jié)果，不必寫求解過程）(2)某班組織同學(xué)們收看了本次太空科普課，并隨機(jī)對李明和張敏兩位同學(xué)進(jìn)行了關(guān)于“你最感興趣的實(shí)驗(yàn)”的采訪，若將以上四個(gè)實(shí)驗(yàn)分別記為，，，，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求他們兩人最感興趣的實(shí)驗(yàn)恰好是同一個(gè)實(shí)驗(yàn)的概率．16．如圖，在正方形中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．(1)在圖1中，將點(diǎn)E繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；(2)在圖2中，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．17．如圖，中，，垂直平分，垂足為，交于點(diǎn)，，連接，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．18．如圖，大小質(zhì)地完全相同的兩個(gè)圓形轉(zhuǎn)盤，都被平均分成份，并涂上紅、白兩種顏色．其中：涂有白色份，紅色份；涂有紅色份，白色份．兩個(gè)轉(zhuǎn)盤都是指針固定，轉(zhuǎn)盤可自由轉(zhuǎn)動(dòng)（若指針指向分界線，則重轉(zhuǎn)）．(1)自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，求轉(zhuǎn)盤停止后指針指向白色的概率；(2)游戲規(guī)則：甲、乙兩人讓兩個(gè)轉(zhuǎn)盤分別自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，若兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)竻^(qū)域的顏色相同，則甲獲勝；若顏色不同，則乙獲勝．請問這個(gè)游戲規(guī)則對誰更有利？在不改變上述游戲規(guī)則的情況下，若將轉(zhuǎn)盤重新涂上紅、白兩種顏色（轉(zhuǎn)盤仍以份均分），是否有可能使這個(gè)游戲?qū)﹄p方都公平？若能，轉(zhuǎn)盤中紅、白應(yīng)各涂幾份？若不能，請說明理由．19．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，F(xiàn)為AE上的一點(diǎn)，且∠BFE＝∠C（1）求證：△ABF∽△EAD；（2）若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的長；（3）在（1）、（2）的條件下，若AD＝3，求BF的長（計(jì)算結(jié)果可含根號）20．2020年4月，“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)在全國各地積極開展．某品牌頭盔的銷量逐月攀升，已知4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月平均增長率；(2)若此頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，經(jīng)測算當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為300個(gè)；售價(jià)每上漲1元，則月銷售量減少10個(gè)，為使月銷售利潤達(dá)到3960元，并盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？21．矩形，，，四邊形的頂點(diǎn)、在矩形的邊、上；頂點(diǎn)、在矩形的對角線上．

圖1

圖2

（1）如圖1，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求證：．（2）如圖2，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，求的長．22．（1）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次初步探究活動(dòng)中，將兩塊大小不同的等腰直角和等腰直角，按如圖1的方式擺放，隨后保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)如圖2，連接，，直線交直線于點(diǎn)，則線段與線段的數(shù)量關(guān)系是__________（圖中所有的點(diǎn)在同一平面內(nèi)）（2）該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)一步探究活動(dòng)中，將兩塊大小不同的含的直角和直角，按如圖3的方式擺放，隨后保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)如圖4，連接，，直線交直線于點(diǎn)，請寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系和的大小，并說明理由．（圖中所有的點(diǎn)在同一平面內(nèi)）（3）在（2）的條件下若旋轉(zhuǎn)，，，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請直接寫出線段的長度．23．如圖1，的對角線與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別在邊，上，且．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是與，的交點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接交于點(diǎn)H，連接，．（?。┤鐖D2，若，求證：；（ⅱ）如圖3，若為菱形，且，，求的值．參考答案1．B【詳解】、中沒有說明，原選項(xiàng)不符合題意；、是一元二次方程，原選項(xiàng)符合題意；、中整理得，是一元一次方程，原選項(xiàng)不符合題意；、中等號左邊是分式，故不是一元二次方程，原選項(xiàng)不符合題意；故選：．2．C【詳解】根據(jù)表格，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率為0.6，則可估計(jì)口袋中白球的個(gè)數(shù)約為(個(gè))，故選：C.3．D解：A選項(xiàng)，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B選項(xiàng)，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C選項(xiàng)，對角線相等的平行四邊形是矩形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D選項(xiàng)，一組鄰邊相等的矩形是正方形，故D選項(xiàng)正確，符合題意故選D．4．A解：根據(jù)勾股定理，PQ=，PR=，QR=，∴PQ2+PR2=RQ2，∴△PQR是直角三角形，且夾直角的兩邊的比為=2，觀各選項(xiàng)，只有A選項(xiàng)三角形符合，與所給圖形的三角形相似．故選：A．5．D解：如圖，過作軸于點(diǎn)，∴，∵，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)，，∴，，，，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，整理得：∴，（舍去），故選：．6．D解：連接BD、BF，如下圖：∵四邊形ABCD是菱形，AB＝6，∴AB＝BC＝CD＝6，BC∥AD，∵∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∠CDA＝120°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴DE⊥BC，CE＝3，∴，∠CDE＝30°，∴，∴，，由勾股定理可得：解得：，∴DF＝2，∵BC＝DC，∠BCF＝∠DCF，CF＝CF，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CBF＝∠CDF，BF＝DF＝2，∵DF＝AF，∠CAD＝30°，∠ACD＝30°，∴∠DAF＝∠ADF＝30°，∴∠CFD＝60°，∴∠CDF＝90°，∴∠CBF＝90°，∴∠EBF＝90°，∵BF＝3，BF＝2，∴，∴△EFD的周長為：ED+DF+EF＝325，故選：D．7．/解：∵，∴，∴．故答案為：．8．解：∵點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，，∴，∴，故答案為：．9．解：∵，是一元二次方程的兩個(gè)根，∴，，∴，∴，故答案為：2023．10．解：∵一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得：，∴的取值范圍是：且.故答案為且.11．解：∵，是等腰直角三角形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．12．或．解：如圖，過作軸于，∵，設(shè)，而，，∴，整理得：，解得：，，∴或．13．(1)，；(2)．（1）解：，；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，在中，由勾股定理得，∴．14．解：，，，，，，，，解得：．15．(1)(2)（1）解：航天員們隨機(jī)連線一個(gè)地面課堂有5種可能，北京地面課堂被連線1種可能，∴北京地面課堂被連線的概率為；（2）列表如下：李明張敏共有16種等可能的結(jié)果，其中李明和張敏抽到兩人最感興趣的實(shí)驗(yàn)恰好是同一個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果有4種，∴兩人最感興趣的實(shí)驗(yàn)恰好是同一個(gè)實(shí)驗(yàn)的概率為．16．(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）如圖1中，連接、得到交點(diǎn)，連接交點(diǎn)與點(diǎn)并延長線段與交于點(diǎn)，點(diǎn)F即為所求；（2）如圖2中，連接、交于點(diǎn)，連接，延長交于點(diǎn)，連接，延長交延長線于點(diǎn)，連接，即為所求．17．(1)證明見解析；(2)．（1）證明：∵，，垂直平分，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是菱形；（2）解：，，，，∴，又∵，四邊形是平行四邊形，，由（）可知，，．18．(1)(2)這個(gè)游戲規(guī)則對乙更有利；沒辦法使這個(gè)游戲規(guī)則對雙方都公平，理由見解析（1）解：自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，指針指向白色的可能為次，紅色的可能為次，∴轉(zhuǎn)盤停止后指針指向白色的概率，（2）解：如表：由上表可知，共有種等可能的結(jié)果，指針?biāo)竻^(qū)域顏色相同的結(jié)果共有種，∴甲獲勝的概率為，∵顏色不同的結(jié)果共有種，∴乙獲勝的概率為，∴這個(gè)游戲規(guī)則對乙更有利，沒有可能使這個(gè)游戲?qū)﹄p方都公平。因?yàn)闊o論如何涂色都是有種等可能的結(jié)果，若使游戲?qū)﹄p方都公平，那么顏色相同和顏色不同的結(jié)果都應(yīng)為或種，而不可能出現(xiàn)種結(jié)果，∴不可能使這個(gè)游戲?qū)﹄p方都公平．19．（1）證明見解析；（2）；（3）．（1）證明：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADE=180°．∵∠BFE=∠C，∴∠AFB=∠EDA．∵AB∥DC，∴∠BAE=∠AED．∴△ABF∽△EAD．（2）∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE=90°，∵AB=4，∠BAE=30°，（3）即20．(1)(2)48元/個(gè)（1）解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為x，，解得：，（舍）答：該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為．（2）解：設(shè)售價(jià)增加了x元．由題意可得：，，，解得：（舍），∴售價(jià)（元/個(gè)）答：該品牌頭盔的售價(jià)應(yīng)定為48元/個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21．（1）見詳解；（2）.解：（1）連，交于點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，即，∴；（2）如圖，連，交于點(diǎn)，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即．22．（1），；（2），；（3）為或解：（1）∵等腰直角和等腰直角，∴，，，∴，∴，∴，，如圖，記，的交點(diǎn)為，∵，∴．（2）如圖，記，的交點(diǎn)為，∵兩塊大小不同的含的直角和直角，∴，，∴，，∴，∴，，∵，∴；（3）∵，，，∴，∴，∵，同理可得：，，如圖，∵當(dāng)B，D，E三點(diǎn)在同一直