峨眉二中高2016級高二上期1月月考數(shù)學(xué)科試題命題教師：謝向榮審題教師：李全勇本試卷分選擇題和非選擇題兩部分,第Ⅰ卷(選擇題)1至2頁,第Ⅱ卷(非選擇題)3至4頁,共4頁,滿分150分,考試時間120分鐘。注意事項：1.答題前,務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。2.答選擇題時,必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號。3.答非選擇題時,必須使用0.5毫米黑色簽字筆,將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。4.所有題目必須在答題卡上作答,在試題卷上答題無效。5.考試結(jié)束后,只將答題卡交回。第Ⅰ卷(選擇題)選擇題：本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1、“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示雙曲線”的()A．必要但不充分條件 B．充分但不必要條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件2、給出下列幾個命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形,且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等．其中正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．33、(理科)直線l的方向向量,平面α的法向量分別是a＝(3,2,1),u＝(－1,2,－1),則l與α的位置關(guān)系是()A．l⊥αB．l∥αC．l與α相交但不垂直 D．l∥α或l?α(文科)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率為eq\r(3),則其漸近線方程為()A．y＝±2x B．y＝±eq\r(2)x C．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±eq\f(\r(2),2)x4、拋物線y＝－4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標(biāo)是()A．－eq\f(17,16) B．－eq\f(15,16) C.0 D.－25、命題“若α＝eq\f(π,4),則tanα＝1”的逆否命題是 ()A．若α≠eq\f(π,4),則tanα≠1 B．若α＝eq\f(π,4),則tanα≠1C．若tanα≠1,則α≠eq\f(π,4) D．若tanα≠1,則α＝eq\f(π,4)已知△ABP的頂點A、B分別為雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左,右焦點,頂點P在雙曲線上,則eq\f(|sinA－sinB|,sinP)的值等于()A.eq\f(4,5)B．eq\f(\r(7),4)C.eq\f(5,4)D．eq\r(7)7、如圖,在下列四個正方體中,A、B為正方體的兩個頂點,M、N、Q為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()ABCD8、已知橢圓E：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1,對于任意實數(shù)k,下列直線被橢圓E截得的弦長與l：y＝kx＋1被橢圓E截得的弦長不可能相等的是()A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝09、某四面體的三視圖如圖所示,在該四面體的四個面中,直角三角形的面積和是()10、已知p:?x∈R,mx2＋2≤0,q:?x∈R,x2－2mx＋1>0,若p∨q為假命題,則m的取值范圍是()A．[1,＋∞)B．(－∞,－1]C．(－∞,－2]D．[－1,1]11、如圖F1、F2是橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點,A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(6),2)A．D．第Ⅱ卷(非選擇題)二、填空題：本題共4小題,每小題5分13．命題:“?x∈R,cos2x≤cos2x”的否定是________．14、一水平位置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底平行于軸,底角為,兩腰和上底長均為１的等腰梯形,則這個平面圖形的面積是．16、(理科)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時,AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時,AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最小值為60°.其中正確命題的序號是．(文科)已知a、b、l表示三條不同的直線,α、β、γ表示三個不同的平面,有下列四個命題：①若α∩β＝a,β∩γ＝b,且a∥b,則α∥γ；②若a、b相交,且都在α、β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,則α∥β；③若α⊥β,α∩β＝a,b?β,a⊥b,則b⊥α；④若a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,則l⊥α.其中正確命題的序號是．三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.AABBCCDDEE1AAAABBCCDDEE1AA11BB11CC11DD118、(12分)已知雙曲線經(jīng)過點(－2,0),且一條漸近線方程為x＋y＝0；(1)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線y＝kx－1和該雙曲線只有一個公共點,求k的取值范圍.20、(12分)如圖所示,拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點在坐標(biāo)原點,點P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線上．(1)求該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時,求y1+y2的值及直線AB的斜率．(1)求證：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；(3)證明：在線段BC1上存在點D,使得AD⊥A1B,并求eq\f(BD,BC1)的值．(文科)(12分)如圖在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD＝eq\f(π,2),AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a,E是AD的中點,O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到圖中△A1BE的位置,得到四棱錐A1-BCDE.(1)證明：CD⊥平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時,四棱錐A1-BCDE的體積為36eq\r(2),求a的值．(1)求軌跡的方程；峨眉二中高2016級高二上期1月月考數(shù)學(xué)科試題(答案)選擇題：本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1、“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示雙曲線”的(A)A．必要但不充分條件B．充分但不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析:若ax2＋by2＝c表示雙曲線,即eq\f(x2,\f(c,a))＋eq\f(y2,\f(c,b))＝1表示雙曲線,則eq\f(c2,ab)<0,這就是說“ab<0”是必要條件,然而若ab<0,c可以等于0,即“ab<0”不是充分條件．2、給出下列幾個命題:①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形,且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等．其中正確命題的個數(shù)是(B)A．0B．1 C．2 D．3[解析]①不一定,只有這兩點的連線平行于軸時才是母線；②正確；③錯誤,棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形,各側(cè)棱延長線交于一點,但是側(cè)棱長不一定相等．3(理科)直線l的方向向量,平面α的法向量分別是a＝(3,2,1),u＝(－1,2,－1),則l與α的位置關(guān)系是(D)A．l⊥α B．l∥αC．l與α相交但不垂直 D．l∥α或l?α解析:∵a·u＝－3＋4－1＝0,∴a⊥u,∴l(xiāng)∥α或l?α.(文科)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率為eq\r(3),則其漸近線方程為(B)A．y＝±2xB．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\f(1,2)xD．y＝±eq\f(\r(2),2)x解:雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(3),可得eq\f(b,a)＝eq\r(2),故所求的雙曲線的漸近線方程是y＝±eq\r(2)x.4、拋物線y＝－4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標(biāo)是(B)A．－eq\f(17,16) B．－eq\f(15,16)C.eqC.eq\f(7,16)D.eq D.eq\f(15,16)解析:拋物線方程可化為x2＝－eq\f(y,4),其準(zhǔn)線方程為y＝eq\f(1,16).設(shè)M(x0,y0),則由拋物線的定義,可知eq\f(1,16)－y0＝1?y0＝－eq\f(15,16).5、命題“若α＝eq\f(π,4),則tanα＝1”的逆否命題是(C)A．若α≠eq\f(π,4),則tanα≠1 B．若α＝eq\f(π,4),則tanα≠1C．若tanα≠1,則α≠eq\f(π,4) D．若tanα≠1,則α＝eq\f(π,4)解析命題“若α＝eq\f(π,4),則tanα＝1”的逆否命題是“若tanα≠1,則α≠eq\f(π,4)”.6、已知△ABP的頂點A,B分別為雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左,右焦點,頂點P在雙曲線上,則eq\f(|sinA－sinB|,sinP)的值等于(A)A.eq\f(4,5)B．eq\f(\r(7),4) C.eq\f(5,4) D．eq\r(7)答案:在△ABP中,由正弦定理知eq\f(|sinA－sinB|,sinP)＝eq\f(||PB|－|PA||,|AB|)＝eq\f(2a,2c)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).7、如圖,在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,Q為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是(A)ABCD解析:B選項中,AB∥MQ,且AB?平面MNQ,MQ?平面MNQ,則AB∥平面MNQ；C選項中,AB∥MQ,且AB?平面MNQ,MQ?平面MNQ,則AB∥平面MNQ；D選項中,AB∥NQ,且AB?平面MNQ,NQ?平面MNQ,則AB∥平面MNQ.8、已知橢圓E:eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1,對于任意實數(shù)k,下列直線被橢圓E截得的弦長與l:y＝kx＋1被橢圓E截得的弦長不可能相等的是(D)A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝0解析:A選項中,當(dāng)k＝－1時,兩直線關(guān)于y軸對稱,兩直線被橢圓E截得的弦長相等；B選項中,當(dāng)k＝1時,兩直線平行,兩直線被橢圓E截得的弦長相等；C選項中,當(dāng)k＝1時,兩直線關(guān)于y軸對稱,兩直線被橢圓E截得的弦長相等．A．2B．4C．2＋eq\r(5)D．4＋2eq\r(5)10、已知p:?x∈R,mx2＋2≤0,q:?x∈R,x2－2mx＋1>0,若p∨q為假命題,則實數(shù)m的取值范圍是(A)A．[1,＋∞)B．(－∞,－1]C．(－∞,－2]D．[－1,1]解析:因為p∨q為假命題,所以p和q都是假命題．由p:?x∈R,mx2＋2≤0為假命題,得綈p:?x∈R,mx2＋2>0為真命題,所以m≥0.①由q:?x∈R,x2－2mx＋1>0為假命題,得綈q:?x∈R,x2－2mx＋1≤0為真命題,所以Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1.②由①和②得m≥1.11、如圖,F1,F2是橢圓C1:eq\f(x2,4)＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點,A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是(D)A.eq\r(2)B.eq B.eq\r(3)C.eqC.eq\f(3,2)D.eqD.eq\f(\r(6),2)解析設(shè)|AF1|＝x,|AF2|＝y(tǒng),因為點A為橢圓C1:eq\f(x2,4)＋y2＝1上的點,所以2a＝4,b＝1,c＝eq\r(3)；所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝4,即x＋y＝4； ①又四邊形AF1BF2為矩形,所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2,即x2＋y2＝(2c)2＝(2eq\r(3))2＝12, ②由①②得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4,x2＋y2＝12)),解得x＝2－eq\r(2),y＝2＋eq\r(2),設(shè)雙曲線C2的實軸長為2a,焦距為2c,則2a＝|AF2|－|AF1|＝y(tǒng)－x＝2eq\r(2),2c＝2eq\r(22－12)＝2eq\r(3),所以雙曲線C2的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(6),2).二、填空題：本題共4小題,每小題5分13．命題:“?x∈R,cos2x≤cos2x”的否定是________．答案:?x∈R,cos2x>cos2x15、過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1內(nèi)一點P(3,1),且被這點平分的弦所在直線的方程是________.解:設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,由于A,B兩點均在橢圓上,故eq\f(xeq\o\al(2,1),16)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),4)＝1,eq\f(xeq\o\al(2,2),16)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),4)＝1,兩式相減得eq\f(（x1＋x2）（x1－x2）,16)＋eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,4)＝0.又∵P是A,B的中點,∴x1＋x2＝6,y1＋y2＝2,∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(3,4).∴直線AB的方程為y－1＝－eq\f(3,4)(x－3).即3x＋4y－13＝0.答案3x＋4y－13＝016、(理科)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:①當(dāng)直線AB與a成60°角時,AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時,AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最小值為60°.其中正確的是________.(填寫所有正確結(jié)論的編號)【答案】②③(文科)已知a、b、l表示三條不同的直線,α、β、γ表示三個不同的平面,有下列四個命題:①若α∩β＝a,β∩γ＝b,且a∥b,則α∥γ；②若a、b相交,且都在α、β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,則α∥β；③若α⊥β,α∩β＝a,b?β,a⊥b,則b⊥α；④若a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,則l⊥α.其中正確命題的序號是．【解析】①如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可令平面A1B1CD為α,平面DCC1D1為β,平面A1B1C1D1為γ,又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD,平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1,則CD與C1D1所在的直線分別表示a,b,因為CD∥C1D1,但平面A1B1CD與平面A1B1C1D1不平行,即α與γ不平行,故①錯誤．②因為a、b相交,假設(shè)其確定的平面為γ,根據(jù)a∥α,b∥α,可得γ∥α.同理可得γ∥β,因此α∥β,②正確．③由兩平面垂直,在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線和另一個平面垂直,易知③正確．④當(dāng)a∥b時,l垂直于平面α內(nèi)兩條不相交直線,不可得出l⊥α,④錯誤．【答案】②③三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.為直角三角形…………9分為鱉臑.……………10分18、(12分)已知雙曲線經(jīng)過點(2,0),且一條漸近線方程為x＋y＝0；(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線y＝kx－1和該雙曲線只有一個公共點,求k的取值范圍。解析(1)雙曲線x2－y2＝4.(2)直線與雙曲線只有一個公共點,則①式方程只有一解．當(dāng)1－k2＝0,即k＝±1時,①式方程只有一解；當(dāng)1－k2≠0時,應(yīng)滿足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0,解得k＝±eq\f(\r(5),2),故k的值為±1或±eq\f(\r(5),2).所以平面MOC平面VAB.又因為三棱錐VABC的體積與三棱錐CVAB的體積相等,所以三棱錐VABC的體積為.20．(12分)如圖所示,拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點在坐標(biāo)原點,點P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線上．(1)求該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時,求y1－y2的值及直線AB的斜率．解析:(1)由已知條件,可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)．因為點P(1,2)在拋物線上,所以22＝2p×1,解得p＝2.故所求拋物線的方程是y2＝4x,準(zhǔn)線方程是x＝－1.(2)設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB,則kPA＝eq\f(y1－2,x1－1)(x1≠1),kPB＝eq\f(y2－2,x2－1)(x2≠1),因為PA與PB的斜率存在且傾斜角互補,所以kPA＝－kPB.由A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線上,得yeq\o\al(2,1)＝4x1,①yeq\o\al(2,2)＝4x2,②所以eq\f(y1－2,\f(1,4)y\o\al(2,1)－1)＝－eq\f(y2－2,\f(1,4)y\o\al(2,2)－1),所以y1＋2＝－(y2＋2)．所以y1＋y2＝－4.由①－②得,yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2),所以kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝－1(x1≠x2)．21、(理科)(12分)如圖,在三棱柱ABC－A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB＝3,BC＝5.(1)求證:AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；(3)證明:在線段BC1上存在點D,使得AD⊥A1B,并求eq\f(BD,BC1)的值．(1)證明因為AA1C1C為正方形,所以AA1⊥AC.因為平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個平面的交線AC,所以AA1⊥平面ABC.(2)解由(1)知AA1⊥AC,AA1⊥AB.由題知AB＝3,BC＝5,AC＝4,所以AB⊥AC.如圖,以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),設(shè)平面A1BC1的法向量為n＝(x,y,z),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1B,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1C1,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3y－4z＝0，,4x＝0，))令z＝3,則x＝0,y＝4,所以n＝(0,4,3)．同理可得,平面BB1C1的法向量為m＝(3,4,0),所以cos〈n,m〉