一元二次方程經(jīng)典測試題集與詳解一元二次方程作為初中代數(shù)的核心內(nèi)容之一，不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)更高級數(shù)學(xué)知識的基石，其蘊含的轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想以及廣泛的實際應(yīng)用價值，使其成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的一環(huán)。掌握一元二次方程，不僅意味著能夠熟練求解，更在于理解其本質(zhì)，并能靈活運用于解決各類問題。本測試題集旨在幫助學(xué)習(xí)者全面梳理一元二次方程的知識點，鞏固解題技能，提升綜合應(yīng)用能力。以下題目精選自各類經(jīng)典題型，涵蓋基礎(chǔ)概念、基本解法、判別式應(yīng)用、根與系數(shù)關(guān)系以及實際應(yīng)用題等多個方面，并附有詳細(xì)解析，希望能為你的學(xué)習(xí)之路提供有力的支持。一、知識要點回顧在開始測試之前，讓我們簡要回顧一下一元二次方程的核心知識點，這將有助于你更好地理解和解答后續(xù)題目：1.定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程。其一般形式為：\(ax^2+bx+c=0\)（其中\(zhòng)(a\)、\(b\)、\(c\)是常數(shù)，且\(a\neq0\)）。2.解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法（提公因式法、公式法、十字相乘法）。3.判別式：對于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)，其判別式為\(\Delta=b^2-4ac\)。*當(dāng)\(\Delta>0\)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；*當(dāng)\(\Delta=0\)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；*當(dāng)\(\Delta<0\)時，方程沒有實數(shù)根。4.根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）：若一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的兩個實數(shù)根為\(x_1\)和\(x_2\)，則有：*\(x_1+x_2=-\frac{a}\)*\(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}\)5.應(yīng)用：列一元二次方程解決實際問題的一般步驟：審題、設(shè)元、列方程、解方程、檢驗、作答。二、經(jīng)典測試題集與詳解（一）基本概念與解法題目1：解方程\(x^2-5x+6=0\)詳解：分析：觀察方程特點，嘗試因式分解法。我們需要找到兩個數(shù)，它們的和為-5，積為6。顯然，-2和-3滿足條件。解：\(x^2-5x+6=0\)因式分解，得\((x-2)(x-3)=0\)于是有\(zhòng)(x-2=0\)或\(x-3=0\)解得\(x_1=2\)，\(x_2=3\)點評：對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程，若常數(shù)項易于分解成兩個整數(shù)的乘積，且這兩個整數(shù)的和恰好等于一次項系數(shù)（考慮符號），則優(yōu)先選用因式分解法（十字相乘法），快捷高效。題目2：用配方法解方程\(2x^2-4x-1=0\)詳解：分析：配方法的關(guān)鍵是將方程左邊配成一個完全平方式。首先要確保二次項系數(shù)為1。解：\(2x^2-4x-1=0\)移項，得\(2x^2-4x=1\)二次項系數(shù)化為1，得\(x^2-2x=\frac{1}{2}\)配方：在等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，即\((-2/2)^2=1\)\(x^2-2x+1=\frac{1}{2}+1\)即\((x-1)^2=\frac{3}{2}\)開平方，得\(x-1=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\)解得\(x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}\)，\(x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}\)點評：配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，不僅用于解方程，還廣泛應(yīng)用于求最值、代數(shù)式變形等。其核心思想是“創(chuàng)造完全平方”。題目3：解方程\(3x^2-2x-2=0\)（精確到0.01）詳解：分析：此方程不易用因式分解法，且系數(shù)為小數(shù)或分?jǐn)?shù)時，配方法也可能較繁瑣，此時公式法是通用的選擇。解：這里\(a=3\)，\(b=-2\)，\(c=-2\)判別式\(\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times3\times(-2)=4+24=28>0\)，方程有兩個不相等的實數(shù)根。由求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)，得\(x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{28}}{2\times3}=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{7}}{3}\)計算\(\sqrt{7}\approx2.6458\)則\(x_1=\frac{1+2.6458}{3}\approx\frac{3.6458}{3}\approx1.215\approx1.22\)\(x_2=\frac{1-2.6458}{3}\approx\frac{-1.6458}{3}\approx-0.5486\approx-0.55\)點評：求根公式是解一元二次方程的“萬能鑰匙”，適用于所有一元二次方程。使用時需先將方程化為一般形式，準(zhǔn)確確定a、b、c的值，并計算判別式的值，以判斷根的情況。（二）判別式的應(yīng)用題目4：當(dāng)k為何值時，關(guān)于x的一元二次方程\((k-1)x^2+2kx+k+3=0\)（1）有兩個不相等的實數(shù)根？（2）有兩個相等的實數(shù)根？（3）沒有實數(shù)根？詳解：分析：首先，題目明確指出是“一元二次方程”，因此二次項系數(shù)不能為0。其次，根據(jù)判別式的值來判斷根的情況。解：依題意，二次項系數(shù)\(k-1\neq0\)，即\(k\neq1\)。判別式\(\Delta=(2k)^2-4(k-1)(k+3)\)\(=4k^2-4[(k^2+3k-k-3)]\)\(=4k^2-4(k^2+2k-3)\)\(=4k^2-4k^2-8k+12\)\(=-8k+12\)（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，則\(\Delta>0\)且\(k\neq1\)即\(-8k+12>0\)解得\(k<\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\)所以，當(dāng)\(k<\frac{3}{2}\)且\(k\neq1\)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。（2）方程有兩個相等的實數(shù)根，則\(\Delta=0\)且\(k\neq1\)即\(-8k+12=0\)解得\(k=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\)所以，當(dāng)\(k=\frac{3}{2}\)時，方程有兩個相等的實數(shù)根。（3）方程沒有實數(shù)根，則\(\Delta<0\)且\(k\neq1\)即\(-8k+12<0\)解得\(k>\frac{3}{2}\)所以，當(dāng)\(k>\frac{3}{2}\)時，方程沒有實數(shù)根。點評：利用判別式解題時，務(wù)必注意前提條件是“一元二次方程”，即二次項系數(shù)不為0。這是極易忽略的易錯點。題目5：已知關(guān)于x的一元二次方程\(x^2+(2m+1)x+m^2-2=0\)的兩個實數(shù)根的平方和等于11，求m的值。詳解：分析：題目涉及到根的平方和，可以考慮利用韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）來表示。但必須首先保證方程有實數(shù)根，即判別式非負(fù)。解：設(shè)方程的兩個實數(shù)根為\(x_1\)，\(x_2\)。由韋達(dá)定理，得\(x_1+x_2=-(2m+1)\)，\(x_1x_2=m^2-2\)。已知\(x_1^2+x_2^2=11\)。而\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)，代入得：\([-(2m+1)]^2-2(m^2-2)=11\)展開，得\((4m^2+4m+1)-2m^2+4=11\)化簡，得\(2m^2+4m+5=11\)即\(2m^2+4m-6=0\)兩邊同除以2，得\(m^2+2m-3=0\)因式分解，得\((m+3)(m-1)=0\)解得\(m_1=-3\)，\(m_2=1\)。檢驗判別式：方程有兩個實數(shù)根，需\(\Delta\geq0\)。\(\Delta=(2m+1)^2-4\times1\times(m^2-2)=4m^2+4m+1-4m^2+8=4m+9\)當(dāng)\(m=-3\)時，\(\Delta=4(-3)+9=-12+9=-3<0\)，此時方程無實數(shù)根，應(yīng)舍去。當(dāng)\(m=1\)時，\(\Delta=4(1)+9=13>0\)，方程有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意。所以，m的值為1。點評：涉及到根的代數(shù)式求值問題，韋達(dá)定理是常用工具。但務(wù)必記住，使用韋達(dá)定理的前提是方程有實數(shù)根，因此判別式的檢驗必不可少，否則可能會得到錯誤的增解。（三）根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）題目6：已知方程\(2x^2+mx-3=0\)的一個根是3，求它的另一個根及m的值。詳解：分析：已知一個根，求另一個根和參數(shù)，既可以將已知根代入方程求出m，再解方程求另一根；也可以直接利用韋達(dá)定理。解法一（代入法）：將\(x=3\)代入方程\(2x^2+mx-3=0\)，得\(2(3)^2+m(3)-3=0\)即\(18+3m-3=0\)\(3m=-15\)解得\(m=-5\)原方程為\(2x^2-5x-3=0\)因式分解，得\((2x+1)(x-3)=0\)解得\(x_1=3\)，\(x_2=-\frac{1}{2}\)所以，另一個根是\(-\frac{1}{2}\)，m的值是-5。解法二（韋達(dá)定理）：設(shè)方程的另一個根為\(x_1\)。由韋達(dá)定理，得\(3\cdotx_1=\frac{-3}{2}\)（兩根之積等于c/a）解得\(x_1=-\frac{1}{2}\)又由\(3+x_1=-\frac{m}{2}\)（兩根之和等于-b/a）即\(3+(-\frac{1}{2})=-\frac{m}{2}\)\(\frac{5}{2}=-\frac{m}{2}\)解得\(m=-5\)所以，另一個根是\(-\frac{1}{2}\)，m的值是-5。點評：兩種方法各有千秋。代入法直接明了，韋達(dá)定理有時更為簡便。對于這類問題，韋達(dá)定理往往能體現(xiàn)其優(yōu)越性。題目7：已知兩個數(shù)的和為5，積為-6，求這兩個數(shù)。詳解：分析：這是典型的可以用韋達(dá)定理逆定理來解決的問題。已知兩數(shù)之和與積，可以構(gòu)造以這兩個數(shù)為根的一元二次方程。解：設(shè)這兩個數(shù)分別為\(x_1\)和\(x_2\)。根據(jù)題意，有\(zhòng)(x_1+x_2=5\)，\(x_1x_2=-6\)。由韋達(dá)定理的逆定理可知，\(x_1\)和\(x_2\)是一元二次方程\(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\)的兩個根。即方程為\(x^2-5x-6=0\)因式分解，得\((x-6)(x+1)=0\)解得\(x_1=6\)，\(x_2=-1\)所以，這兩個數(shù)是6和-1。點評：韋達(dá)定理的逆定理同樣重要，它為我們構(gòu)造方程解決問題提供了思路。（四）一元二次方程的應(yīng)用題目8：某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件。若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？詳解：分析：這是一道典型的利潤問題。關(guān)鍵在于找出降價金額、銷售量、單件利潤以及總利潤之間的關(guān)系。解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元。那么，每件襯衫的盈利為\((40-x)\)元。每天可多售出\(2x\)件，故每天的銷售量為\((20+2x)\)件。根據(jù)“總利潤=單件利潤×銷售量”，可列出方程：\((40-x)(20+2x)=1200\)展開，得\(800+80x-20x-2x^2=1200\)整理，得\(-2x^2+60x