海盜埋寶模型1．（2025春?渠縣校級(jí)期末）已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰直角和等腰直角，，連接，是的中點(diǎn)，連接、（1）如圖1，當(dāng)與在同一直線(xiàn)上時(shí)，求證：；（2）如圖1，若，，求，的長(zhǎng)；（3）如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：．2．（2025?臺(tái)安縣模擬）（1）如圖1所示，在等腰三角形中，，分別以和為斜邊，向的外側(cè)作等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，連接和．則線(xiàn)段，之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2所示，在任意三角形中，分別以和為斜邊向的外側(cè)作等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，連接和，探究與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并說(shuō)明理由．（3）如圖3所示，在任意三角形中，分別以和為斜邊，向的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，連接、、，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)．

3．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）在，中，，連接，為中點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，若，，三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，，已知，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；（2）如圖2，若，求證：為等腰直角三角形；（3）如圖3，若，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．4．（2024?長(zhǎng)興縣二模）如圖，兩個(gè)等腰，，，與在同一直線(xiàn)上，連接，是的中點(diǎn)，連接、．（1）求證：；（2）若，．求、的長(zhǎng)．

5．（2025?沂源縣一模）已知如圖1，在中，，，點(diǎn)在上，交于，點(diǎn)是的中點(diǎn)（1）寫(xiě)出線(xiàn)段與線(xiàn)段的關(guān)系并證明；（2）如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變，線(xiàn)段與線(xiàn)段的關(guān)系是否變化，寫(xiě)出你的結(jié)論并證明；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如果，，直接寫(xiě)出線(xiàn)段的范圍．6．（2025秋?荔城區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)為對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)．（1）問(wèn)題解決：如圖①，連接，分別取，的中點(diǎn)，，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．（2）問(wèn)題探究：如圖②，將圖①中的繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）拓展延伸：如圖③，將圖①中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．若正方形的邊長(zhǎng)為1，求線(xiàn)段的長(zhǎng)

7．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知，邊的中點(diǎn)，（1）分別以和為腰，向的外側(cè)作等腰三角形，其中，，且，如圖1所示．①若，求的度數(shù)；②求證：；（2）分別以和為斜邊，向的外側(cè)作等腰直角三角形，其中，如圖2所示，連接和，則和具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程．8．（2025?越秀區(qū)校級(jí)模擬）在中，，．點(diǎn)在邊上（不與，重合），連接，為中點(diǎn)．（1）若過(guò)點(diǎn)作于，連接、、，如圖1．設(shè)，則；（2）若將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得、、三點(diǎn)共線(xiàn)，點(diǎn)仍為中點(diǎn)，如圖2．求證：；（3）若，點(diǎn)在邊的三等分點(diǎn)處，將線(xiàn)段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)始終為中點(diǎn)，求線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍．

9．（2024?槐蔭區(qū)一模）如圖1，在中，，，為邊上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)．（3）如圖3，在繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、．求證：．10．（2025?東明縣校級(jí)二模）已知等腰和等腰中，，且（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上且點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，若點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則與的位置關(guān)系是，與的數(shù)量關(guān)系是（2）探究：若把（1）小題中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，連接和，并連接、的中點(diǎn)、，則與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系仍然能成立嗎？若成立，請(qǐng)以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的圖形（圖為例給予證明位置關(guān)系成立，以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的圖形（圖為例給予證明數(shù)量關(guān)系成立，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

11．（2024?太原二模）如圖（1），點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，以為邊在正方形的外部作，使，，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，，請(qǐng)?zhí)骄烤€(xiàn)段，的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．小穎的思路：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決．（1）請(qǐng)按小穎的思路解決圖（1）中的問(wèn)題：①證明：；②直接寫(xiě)出，的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．（2）將圖（1）中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使落在對(duì)角線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其余條件都不變，請(qǐng)寫(xiě)出此時(shí)，的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明；（3）將圖（2）中的正方形變?yōu)榱庑危渲?，將等腰的頂角變?yōu)?，其余條件都不變，此時(shí)線(xiàn)段，的位置關(guān)系為，．12．（2024?義烏市模擬）已知：是等腰直角三角形，四邊形是正方形，是的中點(diǎn)．（1）如圖，當(dāng)、、在同一直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄亢偷臄?shù)量關(guān)系有，位置關(guān)系有．（2）如圖，把等腰直角繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好在射線(xiàn)上時(shí)：?jiǎn)栴}①：（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)加以證明．問(wèn)題②：若正方形的面積為1，等腰直角的面積為，的長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（3）如圖，把等腰直角繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到一般位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出（1）中得到的結(jié)論一定（填“成立”或“不成立”．13．（2024?南昌）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：（1）操作發(fā)現(xiàn)：在等腰中，，分別以和為斜邊，向的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中于點(diǎn)，于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接和，則下列結(jié)論正確的是（填序號(hào)即可）①；②；③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；④．（2）數(shù)學(xué)思考：在任意中，分別以和為斜邊，向的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，是的中點(diǎn)，連接和，則和具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；（3）類(lèi)比探究：在任意中，仍分別以和為斜邊，向的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，是的中點(diǎn)，連接和，試判斷的形狀．答：．在三邊互不相等的中（見(jiàn)備用圖），仍分別以和為斜邊，向的內(nèi)側(cè)作（非等腰）直角三角形和（非等腰）直角三角形，是的中點(diǎn)，連接和，要使（2）中的結(jié)論此時(shí)仍然成立，你認(rèn)為需增加一個(gè)什么樣的條件？（限用題中字母表示）并說(shuō)明理由．14．如圖，在等腰中，，，為射線(xiàn)上一點(diǎn)不與重合）．（1）當(dāng)時(shí)，求證：是直角三角形．（2）當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的面積．（3）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與中或所在直線(xiàn)垂直時(shí)，求的長(zhǎng)．

1．（2025春?渠縣校級(jí)期末）已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰直角和等腰直角，，連接，是的中點(diǎn)，連接、（1）如圖1，當(dāng)與在同一直線(xiàn)上時(shí)，求證：；（2）如圖1，若，，求，的長(zhǎng)；（3）如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：．【解答】證明：（1）如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，且，，在等腰直角和等腰直角中，，，，且（2）由（1）可知：，，，，且是等腰直角三角形，，且，（3）如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，是等腰直角三角形，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，．同理可得：，．在與中，，，．2．（2025?臺(tái)安縣模擬）（1）如圖1所示，在等腰三角形中，，分別以和為斜邊，向的外側(cè)作等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，連接和．則線(xiàn)段，之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2所示，在任意三角形中，分別以和為斜邊向的外側(cè)作等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，連接和，探究與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并說(shuō)明理由．（3）如圖3所示，在任意三角形中，分別以和為斜邊，向的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，連接、、，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)．【解答】解：（1）．和是等腰直角三角形，，在和中，，，，，是的中點(diǎn)，．，，，即．在和中，，，．故答案為；（2），．理由如下：取，的中點(diǎn)，，連接，，，，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖2，和都是等腰直角三角形，，，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，和都是的中位線(xiàn)，，，四邊形是平行四邊形，，，．在和中，，，，，，．，，，即；（3）線(xiàn)段的長(zhǎng)為，理由如下：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，設(shè)和交于點(diǎn)，如圖3，和都是等腰直角三角形，，，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，和都是的中位線(xiàn)，，，四邊形是平行四邊形，，，．在和中，，，，．，．即．又，，是等腰直角三角形，在中，，由勾股定理，得．3．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）在，中，，連接，為中點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，若，，三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，，已知，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；（2）如圖2，若，求證：為等腰直角三角形；（3）如圖3，若，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）連接，在，中，，，，，，，三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，，為的中點(diǎn)，，，，，同理：，，為等腰直角三角形，，，．（2）證明：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，為的中點(diǎn)，為的一條中位線(xiàn)，，，四邊形為平行四邊形，，，，在中，為的中點(diǎn)，，，同理：，，，，．，，，，．為等腰直角三角形；（3）證明：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，為的中點(diǎn)，為的一條中位線(xiàn)，，，四邊形為平行四邊形，，，，在中，為的中點(diǎn)，，，同理：，，，，．，，，，．為等邊三角形．4．（2024?長(zhǎng)興縣二模）如圖，兩個(gè)等腰，，，與在同一直線(xiàn)上，連接，是的中點(diǎn)，連接、．（1）求證：；（2）若，．求、的長(zhǎng)．【解答】證明：（1）延長(zhǎng)交于，則三角形與三角形為等腰直角三角形為中點(diǎn)又為中點(diǎn)為三角形中位線(xiàn)（2）延長(zhǎng)交于又為等腰直角三角形為等腰直角三角形．5．（2025?沂源縣一模）已知如圖1，在中，，，點(diǎn)在上，交于，點(diǎn)是的中點(diǎn)（1）寫(xiě)出線(xiàn)段與線(xiàn)段的關(guān)系并證明；（2）如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變，線(xiàn)段與線(xiàn)段的關(guān)系是否變化，寫(xiě)出你的結(jié)論并證明；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如果，，直接寫(xiě)出線(xiàn)段的范圍．【解答】解：（1）結(jié)論：，．理由：如圖1中，，，，，，，，，，，，，．（2）結(jié)論不變．理由：如圖2中，延長(zhǎng)到使得，延長(zhǎng)到，使得，連接、．、，延長(zhǎng)交于，交于．，，，同法，，，，，，，，，，同法，，，，，，，，．方法二：延長(zhǎng)到．使得，連接，，，，證明是等腰直角三角形即可解決問(wèn)題．（3）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，的長(zhǎng)最大，最大值如圖4中，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，的值最小，最小值．綜上所述，．6．（2025秋?荔城區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)為對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)．（1）問(wèn)題解決：如圖①，連接，分別取，的中點(diǎn)，，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．（2）問(wèn)題探究：如圖②，將圖①中的繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）拓展延伸：如圖③，將圖①中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．若正方形的邊長(zhǎng)為1，求線(xiàn)段的長(zhǎng)【解答】（1）解：點(diǎn)為對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，，；故答案為：，．（2）結(jié)論：．證明：如圖②中，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，四邊形是正方形，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△，△是等腰直角三角形，，，，，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，，△，，，，，△為等腰直角三角形．，，也為等腰直角三角形．又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，．解法二：如圖，取的中點(diǎn)，連接，．，，，，，，平分線(xiàn)段，點(diǎn)在上，，，，．（3）解：如圖③中，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，連接，．四邊形是正方形，是對(duì)角線(xiàn)，，由旋轉(zhuǎn)得，四邊形是矩形，，，為等腰直角三角形．點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，△，，，，，△為等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，．解法二：連接，取的中點(diǎn)，連接，．，，，，．，，，，，，．7．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知，邊的中點(diǎn)，（1）分別以和為腰，向的外側(cè)作等腰三角形，其中，，且，如圖1所示．①若，求的度數(shù)；②求證：；（2）分別以和為斜邊，向的外側(cè)作等腰直角三角形，其中，如圖2所示，連接和，則和具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程．【解答】（1）①解：，，，．②證明：如圖1中，延長(zhǎng)到，使得，連接，．，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（2）解：如圖2，取、的中點(diǎn)、，連接，，，，設(shè)交于．，．和是等腰直角三角形，，，，，，，．是的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，，．，，，，，，，，，，，，，即，，，．8．（2025?越秀區(qū)校級(jí)模擬）在中，，．點(diǎn)在邊上（不與，重合），連接，為中點(diǎn)．（1）若過(guò)點(diǎn)作于，連接、、，如圖1．設(shè)，則1；（2）若將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得、、三點(diǎn)共線(xiàn)，點(diǎn)仍為中點(diǎn)，如圖2．求證：；（3）若，點(diǎn)在邊的三等分點(diǎn)處，將線(xiàn)段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)始終為中點(diǎn)，求線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍．【解答】解：（1）于，為中點(diǎn)．，，．，；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為．由題意，，．、、三點(diǎn)共線(xiàn)，．，，．，，．．．．是中點(diǎn)，是中點(diǎn)．在中，，；（3）情況1：如圖，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接和，，，且，，．為中點(diǎn)，，，．為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，．當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)且在線(xiàn)段上時(shí)最大，此時(shí)．同理最小值為．情況2：如圖，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接和，類(lèi)似于情況1，可知的最大值為．綜合情況1與情況2，可知當(dāng)點(diǎn)在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度取得最大值為．同理最小值為．9．（2024?槐蔭區(qū)一模）如圖1，在中，，，為邊上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)．（3）如圖3，在繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、．求證：．【解答】解：（1），，，（1分）在中，，即，解得：，（2分）；（2）由題意得：，，（3分）則，（4分），即，，即是的中點(diǎn)．（5分）；（3）點(diǎn)，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，，（6分），（7分）由（2）可知，，，，（8分），、、、四點(diǎn)共圓，（9分），（10分），、、、四點(diǎn)共圓，（11分），，．（12分）10．（2025?東明縣校級(jí)二模）已知等腰和等腰中，，且（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上且點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，若點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則與的位置關(guān)系是，與的數(shù)量關(guān)系是（2）探究：若把（1）小題中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，連接和，并連接、的中點(diǎn)、，則與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系仍然能成立嗎？若成立，請(qǐng)以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的圖形（圖為例給予證明位置關(guān)系成立，以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的圖形（圖為例給予證明數(shù)量關(guān)系成立，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1），；理由：當(dāng)點(diǎn)在上且點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，是三角形的中位線(xiàn)，，等腰和等腰中，，且，，，與的位置關(guān)系是：，與的數(shù)量關(guān)系是：．故答案為：，；（2），；理由：如圖3，連接并延長(zhǎng)到，使，連接、、．在和中，，，，，，在和中，，，，，，，又點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，如圖4，連接并延長(zhǎng)交于，，，，，在和中，，，，，．11．（2024?太原二模）如圖（1），點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，以為邊在正方形的外部作，使，，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，，請(qǐng)?zhí)骄烤€(xiàn)段，的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．小穎的思路：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決．（1）請(qǐng)按小穎的思路解決圖（1）中的問(wèn)題：①證明：；②直接寫(xiě)出，的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．（2）將圖（1）中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使落在對(duì)角線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其余條件都不變，請(qǐng)寫(xiě)出此時(shí)，的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明；（3）將圖（2）中的正方形變?yōu)榱庑危渲?，將等腰的頂角變?yōu)椋溆鄺l件都不變，此時(shí)線(xiàn)段，的位置關(guān)系為，．【解答】解：（1）①四邊形是正方形，，．，，，．．是線(xiàn)段的中點(diǎn)，．在和中，，．②，．．，．，，，，，．故答案為：，；（2），．理由：延長(zhǎng)交于，四邊形是正方形，，．，，，，．．．是線(xiàn)段的中點(diǎn)，．在和中，，．．．，．在和中，，．，，即，，，．（3）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，．．是線(xiàn)段的中點(diǎn)，．在和中，，．．．，．四邊形是菱形，．，是等邊三角形，．，，，，，，．在和中，，．，，即，為等邊三角形，．，，．設(shè)，則，在中，由勾股定理，得．故答案為：，．12．（2024?義烏市模擬）已知：是等腰直角三角形，四邊形是正方形，是的中點(diǎn)．（1）如圖，當(dāng)、、在同一直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄亢偷臄?shù)量關(guān)系有，位置關(guān)系有．（2）如圖，把等腰直角繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好在射線(xiàn)上時(shí)：?jiǎn)栴}①：（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)加以證明．問(wèn)題②：若正方形的面積為1，等腰直角的面積為，的長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（3）如圖，把等腰直角繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到一般位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出（1）中得到的結(jié)論一定（填“成立”或“不成立”．【解答】解：（1）是等腰直角三角形，，是的中點(diǎn)，，，四邊形是正方形，，同理證得：，，，，，故答案為：，．（2）①成立；如圖，在上截取，連接、，，，，在和中，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，四邊形是正方形，，，（3）成立；如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使和重合，到位置，連接，則，，，，，，，在和中，，，，，，四邊形是正方形，，．13．（2024?南昌）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：（1）操作發(fā)現(xiàn)：在等腰中，，分別以和為斜邊，向的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中于點(diǎn)，于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接和，則下列結(jié)論正確的是①②③④（填序號(hào)即可）①；②；③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；④．（2）數(shù)學(xué)思考：在任意中，分別以和為斜邊，向的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，是的中點(diǎn)，連接和，則和具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；（3）類(lèi)比探究：在任意中，仍分別以和為斜邊，向的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，是的中