專題082024年新高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)試題挑戰(zhàn)140沖刺985模擬卷（一）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)函數(shù)．若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，則（

）A． B．0 C．1 D．【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用差角的正弦公式變形等式，借助恒成立建立關(guān)系，并分析計(jì)算即得.【詳解】函數(shù)，依題意，對(duì)任意的恒成立，即對(duì)恒成立，因此對(duì)恒成立，于是，顯然，否則且，矛盾，則，顯然，否則且，矛盾，從而，解得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：把給定的等式利用差角的正弦公式按角展開(kāi)，借助恒等式建立方程組是解決本問(wèn)題的關(guān)鍵.2．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A，B為C上兩點(diǎn)，且均在第一象限，過(guò)A，B作l的垂線，垂足分別為D，E.若，，則的外接圓面積為（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線的定義及平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及二倍角公式可得，進(jìn)而由正弦定理可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，

由拋物線的定義可知，，所以，，所以，故，易知為銳角，且由可知，所以.設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理可知，又，所以，所以的外接圓面積為.故選：A.3．已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．為奇函數(shù) B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)賦值法可得，，進(jìn)而可得，即可判斷A，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷在上為減函數(shù)，即可求解B，代值逐步求解即可判斷CD.【詳解】令，，，所以；令，，則．令，得，故為偶函數(shù)．A錯(cuò)誤，任取，，，則，則，故在上為減函數(shù)．由已知，可得，故，解得，且．B錯(cuò)誤，若，則，C正確，若，則，，，所以，故D錯(cuò)誤，故選：C．4．若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指對(duì)混合型不等式，利用指對(duì)運(yùn)算將不等式轉(zhuǎn)化成，根據(jù)結(jié)構(gòu)相同設(shè)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性及取值情況，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，令，求導(dǎo)確定最值即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】依題意得，，故，令，則，令可得，所以時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；則由，得，則令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，則，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D．5．在中，角所對(duì)邊分別為，且，若，，則的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．2或4【答案】C【分析】利用余弦定理先得B，結(jié)合余弦的和差公式構(gòu)造齊次式弦化切解方程計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理得，即，，所以或，又，所以.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由余弦定理先求，根據(jù)條件及余弦的和差角公式、弦化切構(gòu)造齊次式方程解方程即可.6．設(shè)函數(shù)在上至少有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先令得，并得到，從小到大將的正根寫(xiě)出，因?yàn)?，所以，從而分情況，得到不等式，求出答案.【詳解】令得，因?yàn)?，所以，令，解得或，從小到大將的正根?xiě)出如下：，，，，，……，因?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，，解得，此時(shí)無(wú)解，當(dāng)，即時(shí)，，解得，此時(shí)無(wú)解，當(dāng)，即時(shí)，，解得，故，當(dāng)，即時(shí)，，解得，故，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上至少有兩個(gè)不同零點(diǎn)，綜上，的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:在三角函數(shù)圖象與性質(zhì)中，對(duì)整個(gè)圖象性質(zhì)影響最大，因?yàn)榭筛淖兒瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間，極值個(gè)數(shù)和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求解的取值范圍是經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容，綜合性較強(qiáng)，除掌握三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，還要準(zhǔn)確發(fā)掘題干中的隱含條件，找到切入點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求出相關(guān)性質(zhì)，如最小正周期，零點(diǎn)個(gè)數(shù)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)等，此部分題目還常常和導(dǎo)函數(shù)，去絕對(duì)值等相結(jié)合考查綜合能力.7．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為3．以點(diǎn)為球心，為半徑的球與過(guò)點(diǎn)的球相交，相交圓的面積為，則球的半徑為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】分公共圓面在四棱錐內(nèi)部與外部討論，設(shè)相交圓的圓心為，點(diǎn)為相交圓上的一點(diǎn)，球的半徑為，可求得相交圓半徑為1，由勾股定理得，，組成方程組求解.【詳解】當(dāng)公共圓面在四棱錐內(nèi)部時(shí)，如下圖所示，設(shè)相交圓的圓心為，點(diǎn)為相交圓上的一點(diǎn)，也是兩球的公共點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，因?yàn)橄嘟粓A的面積為，所以相交圓的半徑為1，即底面正方形邊長(zhǎng)為，所以，由勾股定理有，所以，設(shè)，則①，②，聯(lián)立①②解得．當(dāng)公共圓面在四棱錐外部時(shí)，如下圖所示，同上可求，，，則③，④，聯(lián)立③④解得．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在球與截面的計(jì)算中方法：球心與圓心之間的距離為，球半徑為，截面半徑為，可以根據(jù)勾股定理建立關(guān)系式.8．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)，，得到，再構(gòu)造函數(shù)，比較出，得到結(jié)論.【詳解】，，，下證時(shí)，，設(shè)，射線與單位圓相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)D，單位圓與軸正半軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊥軸，交射線于點(diǎn)，連接，則，設(shè)扇形的面積為，因?yàn)椋裕矗?，所以，，所以，因?yàn)?，令，，則，其中，令，則，，令，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，則因?yàn)?，令，，則，令，則，令，則，令，則在上恒成立，所以在單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，又，故，即，故，其中，則，D正確.故選：D【點(diǎn)睛】麥克勞林展開(kāi)式常常用于放縮法進(jìn)行比較大小，常用的麥克勞林展開(kāi)式如下：，，，，，二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9．已知函數(shù)的定義域均為，，且的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．和均為奇函數(shù) B．C． D．【答案】BCD【分析】利用函數(shù)奇偶性，對(duì)稱性與周期性的性質(zhì)，逐一分析各選項(xiàng)即可得解.【詳解】對(duì)于B，由，得，又，，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，，則是周期函數(shù)，且周期為，所以，故B正確；對(duì)于A，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，是偶函數(shù)，若為奇函數(shù)，則恒成立，不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，，因?yàn)椋瑒t，所以是周期函數(shù)，且周期為，則，故C正確；對(duì)于D，由，得，又，由，得，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問(wèn)題，常見(jiàn)結(jié)論：（1）關(guān)于對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對(duì)稱，則，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.10．已知對(duì)任意角，均有公式.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C滿足.面積S滿足.記a，b，c分別為A，B，C所對(duì)的邊，則下列式子一定成立的是(

)A． B．C． D．【答案】CD【分析】結(jié)合已知對(duì)進(jìn)行變形化簡(jiǎn)即可得的值，從而判斷A；根據(jù)正弦定理和三角形面積，借助于△ABC外接圓半徑R可求的范圍，從而判斷B；根據(jù)的值，結(jié)合△ABC外接圓半徑R即可求abc的范圍，從而判斷C；利用三角形兩邊之和大于第三邊可得，從而判斷D﹒【詳解】∵△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足，∴，即，∴，由題可知，，∴，∴∴，∴有，故A錯(cuò)誤；設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由正弦定理可知，，∴，∴，∴，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確．故選：CD．11．如圖，在中，，，，過(guò)中點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)．將沿直線翻折至，且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在線段上，連接交于點(diǎn)，是直線上異于的任意一點(diǎn)，則（

）

A．B．C．點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為D．直線與平面所成角的余弦值的最小值為【答案】BCD【分析】A、B選項(xiàng)結(jié)合線面角最小，二面角最大可判斷;對(duì)于C，先由旋轉(zhuǎn)，易判斷出，故其軌跡為圓弧，即可求解.對(duì)于D求直線與平面所成角的余弦值，即求，，用表示，再結(jié)合三角恒等變換求出函數(shù)的最值即可【詳解】

依題意，將沿直線翻折至，連接,由翻折的性質(zhì)可知，關(guān)于所沿軸對(duì)稱的兩點(diǎn)連線被該軸垂直平分，故，又在平面內(nèi)的射影在線段上，所以平面，平面，所以，，平面，平面所以平面.平面，平面，平面，，，且即為二面角的平面角對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，為與平面所成的線面角，故由線面角最小可知，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，即為二面角的平面角，故由二面角最大可知，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，恒成立，故的軌跡為以為直徑的圓弧夾在內(nèi)的部分，易知其長(zhǎng)度為，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示

設(shè)，在中，，，在中，，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確．故選：BCD．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計(jì)制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡，這種望遠(yuǎn)鏡的特點(diǎn)是，鏡銅可以很短而觀察天體運(yùn)動(dòng)又很清楚．某天文儀器廠設(shè)計(jì)制造的一種反射式望遠(yuǎn)鏡，其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為雙曲線一個(gè)分支．已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中同時(shí)又是拋物線的焦點(diǎn)，且，的面積為10，，則拋物線方程為．

【答案】【分析】設(shè)，由，解出得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合得拋物線方程.【詳解】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)．由，則有，解得，又，解得，，則有，故拋物線方程為．故答案為：13．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為．【答案】.【分析】由，得出構(gòu)成成等比數(shù)列，求得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】由題意，實(shí)數(shù)，滿足，可得構(gòu)成成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，整理得，解得，可得，所以，故的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最值問(wèn)題的求解，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件，合理轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．14．已知，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，先分析其值域，從而得到的最大值，進(jìn)而利用解絕對(duì)值不等式得到或，結(jié)合集合的并集運(yùn)算即可得解.【詳解】設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，則，且，由絕對(duì)值的性質(zhì)可知的最大值為或，因?yàn)榈葍r(jià)于，又，即關(guān)于的不等式或在上恒成立，由，得；由，得；所以，則，整理得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，將等價(jià)于關(guān)于的不等式或在上恒成立，從而得解.四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15．某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：測(cè)試指標(biāo)元件數(shù)（件）121836304(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機(jī)抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；(2)關(guān)于隨機(jī)變量，俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對(duì)任意正數(shù)，均有成立.（i）若，證明：；（ii）利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機(jī)變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%，那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請(qǐng)結(jié)合“切比雪夫不等式”說(shuō)明該工廠所提供的合格率是否可信？（注：當(dāng)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率小于0.05時(shí)，可稱事件A為小概率事件）【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）不可信.【分析】（1）由條件概率的公式進(jìn)行求解即可；（2）（i）由求出，再結(jié)合切比雪夫不等式即可證明；（ii）設(shè)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為，，由切比雪夫不等式判斷出，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】（1）記事件為抽到一件合格品，事件為抽到兩個(gè)合格品，（2）（i）由題：若，則又所以或由切比雪夫不等式可知，所以；（ii）設(shè)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為，假設(shè)廠家關(guān)于產(chǎn)品合格率為的說(shuō)法成立，則，所以，由切比雪夫不等式知，，即在假設(shè)下100個(gè)元件中合格品為70個(gè)的概率不超過(guò)0.0225，此概率極小，由小概率原理可知，一般來(lái)說(shuō)在一次試驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的，據(jù)此我們有理由推斷工廠的合格率不可信.16．已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，且．(1)求證：平面平面；(2)已知點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）不妨設(shè)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明，利用勾股定理證明，再根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定定理即可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）不妨設(shè)，因?yàn)槠矫嫫矫?，故，在中，，由余弦定理，，得，故，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，所以平面平面；?）由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，所以，設(shè)，則，即，所以；設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，因?yàn)檩S平面，則可取為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，故．17．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求a的取值范圍．【答案】(1)增區(qū)間，減區(qū)間(2)【分析】（1）將代入求導(dǎo)，然后確定單調(diào)性即可；（2）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)根寫(xiě)出韋達(dá)定理，代入，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，研究函數(shù)性質(zhì)進(jìn)而求出a的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），所以，設(shè)，令，由于有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得．由，，得，即，令，則，所以在上單調(diào)遞減，且，所以，故a的取值范圍是．18．已知橢圓C：短軸長(zhǎng)為2，左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，其中M，N分別在x軸上方和下方，，，直線與直線MO交于點(diǎn)，直線與直線NO交于點(diǎn)．(1)若的坐標(biāo)為，求橢圓C的方程；(2)在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)并垂直于x軸的直線交C于點(diǎn)B，橢圓上不同的兩點(diǎn)A，D滿足，，成等差數(shù)列．求弦AD的中垂線的縱截距的取值范圍；(3)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)可得，再由兩中線的交點(diǎn)為重心和重心的性質(zhì)得到點(diǎn)，代入橢圓方程可得即可；（2）由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到，再由弦長(zhǎng)公式得到，然后分當(dāng)AB斜率存在時(shí)由點(diǎn)差法得到，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出弦的中垂線方程，當(dāng)時(shí)，得到；當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，此時(shí)AD：，；最后得到范圍；（3）解法一：根據(jù)重心性質(zhì)及面積公式得，，再結(jié)合已知不等式條件解不等式組可得，然后直曲聯(lián)立得到；轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的t恒成立，解不等式即可；解法二：根據(jù)重心的性質(zhì)可得，再由幾何圖形的面積關(guān)系結(jié)合三角形的面積公式得到；，后同解法一.【詳解】（1）依題意，，故橢圓C：；易知點(diǎn)為的重心，則，故，代入橢圓方程得∴橢圓C的方程為；（2