高一數(shù)學(xué)函數(shù)應(yīng)用及習(xí)題解析函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，不僅是數(shù)學(xué)理論體系的基石，更在解決實(shí)際問(wèn)題中扮演著至關(guān)重要的角色。從簡(jiǎn)單的成本核算到復(fù)雜的工程設(shè)計(jì)，函數(shù)思想無(wú)處不在。高一階段，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本概念、性質(zhì)以及幾種重要的基本初等函數(shù)。本章將聚焦于函數(shù)的應(yīng)用，通過(guò)剖析實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)同學(xué)們學(xué)會(huì)如何將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題，并輔以典型習(xí)題的解析，幫助大家深化理解，提升解題能力。一、函數(shù)應(yīng)用的基本思路與步驟將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題并加以解決，是函數(shù)應(yīng)用的核心。其基本思路可以概括為：“實(shí)際問(wèn)題——數(shù)學(xué)模型（函數(shù)關(guān)系）——數(shù)學(xué)結(jié)果——實(shí)際問(wèn)題的解”。具體步驟如下：1.審題與理解：仔細(xì)閱讀題目，明確問(wèn)題的背景、已知條件、所求目標(biāo)以及涉及的基本量。這是解決問(wèn)題的前提，務(wù)必理清各個(gè)量之間的關(guān)系。2.抽象與建模：將實(shí)際問(wèn)題中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，設(shè)出合適的自變量與因變量，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式（即數(shù)學(xué)模型）。這一步是關(guān)鍵，需要較強(qiáng)的抽象概括能力。3.確定定義域：函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，在實(shí)際問(wèn)題中，定義域不僅要使函數(shù)表達(dá)式有意義，更要符合實(shí)際問(wèn)題的背景，例如時(shí)間不能為負(fù)，長(zhǎng)度不能為負(fù)等。4.求解數(shù)學(xué)模型：根據(jù)建立的函數(shù)關(guān)系式和確定的定義域，利用函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、最值、奇偶性等）、代數(shù)運(yùn)算或圖像等方法求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，得到數(shù)學(xué)結(jié)論。5.回歸與作答：將得到的數(shù)學(xué)結(jié)論還原到實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合實(shí)際意義，并給出最終的答案。二、典型應(yīng)用場(chǎng)景與習(xí)題解析（一）生活中的優(yōu)化問(wèn)題這類(lèi)問(wèn)題通常涉及成本最低、利潤(rùn)最高、用料最省、效率最高等目標(biāo)，常?？梢酝ㄟ^(guò)建立二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的最值性質(zhì)來(lái)解決。例題1：某商店經(jīng)營(yíng)一種小商品，已知成批購(gòu)進(jìn)時(shí)單價(jià)是2元。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售單價(jià)滿(mǎn)足如下關(guān)系：在一段時(shí)間內(nèi)，單價(jià)是10元時(shí)，銷(xiāo)售量是100件，而單價(jià)每降低1元，就可以多售出20件。設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為x元（x為整數(shù)，且x≤10），銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元。（1）寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？分析：本題的核心是找出利潤(rùn)與銷(xiāo)售單價(jià)之間的關(guān)系。利潤(rùn)等于（售價(jià)-成本）乘以銷(xiāo)售量。成本單價(jià)已知，售價(jià)為x元，銷(xiāo)售量會(huì)隨著單價(jià)的降低而增加。我們需要根據(jù)題目給出的條件，用x表示出銷(xiāo)售量。解析：（1）由題意，成本單價(jià)為2元，銷(xiāo)售單價(jià)為x元，則每件的利潤(rùn)為(x-2)元。單價(jià)是10元時(shí)，銷(xiāo)售量是100件。單價(jià)每降低1元，多售出20件。那么，單價(jià)從10元降到x元，降低了(10-x)元，因此多售出的數(shù)量為20(10-x)件。所以，銷(xiāo)售量為：100+20(10-x)件?；?jiǎn)銷(xiāo)售量表達(dá)式：100+200-20x=300-20x。因此，利潤(rùn)y=(x-2)(300-20x)。展開(kāi)并整理：y=300x-20x2-600+40x=-20x2+340x-600?？紤]定義域：x為整數(shù)，且x≤10，同時(shí)，銷(xiāo)售量300-20x≥0，即x≤15，結(jié)合x(chóng)≤10，所以x的取值范圍是x≤10且x應(yīng)大于成本價(jià)2元（否則無(wú)利潤(rùn)甚至虧損，實(shí)際中x>2），故x的定義域?yàn)?<x≤10，x為整數(shù)。（2）由（1）得到的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-20x2+340x-600，這是一個(gè)二次函數(shù)，其中a=-20<0，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸處取得最大值。對(duì)稱(chēng)軸為x=-b/(2a)=-340/(2*(-20))=340/40=8.5。因?yàn)閤為整數(shù)，且在定義域2<x≤10內(nèi)，所以x可以取8或9。當(dāng)x=8時(shí)，y=-20*(8)2+340*(8)-600=-20*64+2720-600=-1280+2720-600=840元。當(dāng)x=9時(shí)，y=-20*(9)2+340*(9)-600=-20*81+3060-600=-1620+3060-600=840元。所以，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為8元或9元時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為840元。點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確列出利潤(rùn)（或其他目標(biāo)函數(shù)）的表達(dá)式，并注意自變量的實(shí)際取值范圍。對(duì)于二次函數(shù)最值，如果對(duì)稱(chēng)軸不在整數(shù)點(diǎn)或不在定義域內(nèi)，需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定最值點(diǎn)。（二）幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題幾何圖形中，當(dāng)某些元素（如點(diǎn)、線(xiàn)、面）運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖形的面積、周長(zhǎng)、體積等也會(huì)隨之變化，這類(lèi)問(wèn)題可以通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系來(lái)描述其變化規(guī)律，并解決相關(guān)問(wèn)題。例題2：如圖，在一個(gè)直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<4）。連接PQ，設(shè)△PCQ的面積為Scm2。（1）寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ的面積最大？最大面積是多少？分析：這是一個(gè)動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題。點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致△PCQ的兩條直角邊PC和CQ的長(zhǎng)度隨時(shí)間t變化，從而面積S也隨t變化。我們需要分別用t表示出PC和CQ的長(zhǎng)度，再利用三角形面積公式建立S與t的函數(shù)關(guān)系。解析：（1）根據(jù)題意，點(diǎn)P的速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，所以AP=1*t=tcm。因?yàn)锳C=6cm，所以PC=AC-AP=(6-t)cm。點(diǎn)Q的速度為2cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，所以CQ=2*t=2tcm。∠C=90°，所以△PCQ是直角三角形，其面積S=(1/2)*PC*CQ。將PC和CQ代入，得到S=(1/2)*(6-t)*(2t)=(1/2)*2t(6-t)=t(6-t)=-t2+6t。定義域：0<t<4。（因?yàn)镼點(diǎn)在CB上運(yùn)動(dòng)，CB=8cm，Q的速度是2cm/s，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間t<8/2=4秒；P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)需要6秒，故t<4）。（2）S=-t2+6t，這是一個(gè)二次函數(shù)，a=-1<0，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為t=-b/(2a)=-6/(2*(-1))=3。t=3在定義域0<t<4內(nèi)。所以，當(dāng)t=3時(shí)，S取得最大值。最大面積S_max=-(3)2+6*(3)=-9+18=9cm2。點(diǎn)評(píng)：動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于找到運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不變的量和變化的量，并將變化的量用時(shí)間t（或其他參數(shù)）表示出來(lái)，再根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)（如面積公式、勾股定理等）建立函數(shù)關(guān)系。本題中，PC和CQ的長(zhǎng)度是隨t變化的，而∠C始終是直角。（三）分段函數(shù)的應(yīng)用在實(shí)際生活中，許多變量之間的關(guān)系不能用一個(gè)統(tǒng)一的函數(shù)關(guān)系式來(lái)表示，而是在不同的取值范圍內(nèi)有不同的對(duì)應(yīng)法則，這類(lèi)函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)。如水電費(fèi)計(jì)費(fèi)、出租車(chē)計(jì)價(jià)、通訊套餐等。例題3：某市出租車(chē)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：3公里以?xún)?nèi)（含3公里）收費(fèi)10元；超過(guò)3公里的部分，每公里收費(fèi)2元（不足1公里按1公里計(jì)算）。設(shè)某人乘坐出租車(chē)行駛的路程為x公里，應(yīng)付車(chē)費(fèi)為y元。（1）寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若某人乘坐了8.5公里，應(yīng)付車(chē)費(fèi)多少元？（3）若某人付了26元車(chē)費(fèi)，那么他乘坐的路程最多是多少公里？分析：本題明顯是分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題。車(chē)費(fèi)y與行駛路程x的關(guān)系在x≤3和x>3時(shí)是不同的。需要分別討論。解析：（1）當(dāng)0<x≤3時(shí)，應(yīng)付車(chē)費(fèi)y=10元。當(dāng)x>3時(shí)，前3公里收費(fèi)10元，超過(guò)3公里的部分為(x-3)公里。由于不足1公里按1公里計(jì)算，這里的x在實(shí)際收費(fèi)時(shí)會(huì)被向上取整為整數(shù)公里數(shù)，但在函數(shù)關(guān)系式中，我們可以先按x為實(shí)數(shù)建立，再在應(yīng)用時(shí)處理。通常，此類(lèi)問(wèn)題中x指的是按計(jì)費(fèi)規(guī)則處理后的里程，或直接理解為x為非負(fù)實(shí)數(shù)，超過(guò)3公里部分按“進(jìn)一法”取整。但為簡(jiǎn)便，我們先假設(shè)x為整數(shù)公里數(shù)來(lái)建立基本關(guān)系式，再說(shuō)明實(shí)際情況。若x為整數(shù)且x>3，則y=10+2(x-3)=10+2x-6=2x+4。綜合起來(lái)，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y={10,當(dāng)0<x≤3(x為實(shí)數(shù)，單位：公里)2?x?+4,當(dāng)x>3(其中?x?表示不小于x的最小整數(shù)，即對(duì)x向上取整)}或者，在數(shù)學(xué)題中，如果明確“不足1公里按1公里計(jì)算”，通?？梢詫視為非負(fù)實(shí)數(shù)，將超過(guò)3公里的部分表示為(x-3)，但收費(fèi)時(shí)按整數(shù)公里算，所以也可表示為：當(dāng)x>3時(shí)，y=10+2([x-3]+1)，其中[x-3]表示不大于(x-3)的最大整數(shù)（即取整）。但更簡(jiǎn)潔的寫(xiě)法是：y=10,0<x≤3,y=10+2×(x-3)，當(dāng)x>3且x為整數(shù)；在解題時(shí)，若x不是整數(shù)，例如x=8.5，則超過(guò)部分按9-3=6公里計(jì)算。為了統(tǒng)一，我們可以寫(xiě)成：y=10,0<x≤3,y=10+2×(?x?-3),x>3.（2）某人乘坐了8.5公里，x=8.5>3。超過(guò)3公里的部分為8.5-3=5.5公里，不足1公里按1公里計(jì)算，所以按6公里計(jì)費(fèi)。應(yīng)付車(chē)費(fèi)y=10+2×6=10+12=22元?；蛘咧苯佑茫?）中的函數(shù)，?8.5?=9，y=10+2×(9-3)=22元。（3）某人付了26元車(chē)費(fèi)，y=26>10，所以他乘坐的路程超過(guò)了3公里。設(shè)他乘坐的路程最多是x公里（x>3）。則26=10+2(?x?-3)移項(xiàng)得：2(?x?-3)=16?x?-3=8?x?=11所以x的取值范圍是10<x≤11。即他乘坐的路程最多是11公里（因?yàn)椴蛔?1公里按11公里計(jì)費(fèi)，付26元對(duì)應(yīng)的最大實(shí)際路程是11公里）。點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)分界點(diǎn)，并明確各段的函數(shù)表達(dá)式及定義域。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要特別注意“不足...按...計(jì)算”這類(lèi)表述，通常涉及到取整函數(shù)的思想。對(duì)于第（3）問(wèn)，是已知函數(shù)值求自變量，需要從函數(shù)的分段情況入手，反向推導(dǎo)。三、總結(jié)與提升函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題千變?nèi)f化，但核心思想是一致的，即“數(shù)學(xué)建?！?。通過(guò)以上幾個(gè)典型例題的分析，我們可以看到，解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，首先要冷靜審題，準(zhǔn)確理解題意；其次要善于從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)和關(guān)系式；再次，要注意函數(shù)的定義域必須符合實(shí)際意義；最后，求解后一定要回歸實(shí)際，檢驗(yàn)答案的合理性。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)