高中數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)同步練習(xí)題解析函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，其思想方法更是解決眾多數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)。為了幫助同學(xué)們更好地理解和掌握函數(shù)的概念、性質(zhì)及應(yīng)用，我們精心選取了本章節(jié)具有代表性的同步練習(xí)題，并進(jìn)行深入解析。希望通過(guò)這些題目的剖析，能夠引領(lǐng)大家夯實(shí)基礎(chǔ)，提升解題能力，領(lǐng)悟函數(shù)的精髓。一、函數(shù)的概念與表示函數(shù)的概念是學(xué)好函數(shù)的第一塊基石，理解“兩個(gè)非空數(shù)集間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”以及“定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域”三要素至關(guān)重要。函數(shù)的表示方法則是我們研究函數(shù)性質(zhì)、解決函數(shù)問(wèn)題的工具。例1：判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為從集合A到集合B的函數(shù)：(1)A={x|x是三角形}，B={x|x>0}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：對(duì)A中的三角形求面積與B中元素對(duì)應(yīng)。(2)A=Z，B=Z，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y=x2。解析：要判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)，需緊扣函數(shù)定義：對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)。(1)對(duì)于集合A中的任意一個(gè)三角形，其面積是唯一確定的正數(shù)，且該正數(shù)屬于集合B。因此，此對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足函數(shù)定義的要求，是函數(shù)。這里需要注意的是，集合A、B并非數(shù)集，但在更廣泛的函數(shù)定義中，只要A、B是非空集合即可，中學(xué)階段我們主要研究數(shù)集上的函數(shù)，本題意在強(qiáng)調(diào)“每一個(gè)”和“唯一確定”這兩個(gè)核心。(2)對(duì)于集合A（整數(shù)集）中的任意一個(gè)整數(shù)x，通過(guò)平方運(yùn)算x2得到的結(jié)果y仍然是整數(shù)，且在集合B（整數(shù)集）中是唯一確定的。因此，此對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)。例如，當(dāng)x=2時(shí)，y=4；當(dāng)x=-3時(shí)，y=9，均符合要求。例2：已知函數(shù)f(x)=√(x+2)+1/(x-1)，求函數(shù)f(x)的定義域。解析：函數(shù)的定義域是指使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的取值范圍。對(duì)于不同類型的函數(shù)表達(dá)式，有不同的限制條件。本題中函數(shù)f(x)由兩部分組成：根式√(x+2)和分式1/(x-1)。對(duì)于根式√(x+2)，被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)的，即x+2≥0，解得x≥-2。對(duì)于分式1/(x-1)，分母不能為零，即x-1≠0，解得x≠1。因此，函數(shù)f(x)的定義域是這兩個(gè)條件的公共部分。綜合可得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤≥-2且x≠1，用區(qū)間表示即為[-2,1)∪(1,+∞)。思路點(diǎn)撥：求函數(shù)定義域時(shí)，務(wù)必全面考慮各種限制條件，常見(jiàn)的有：偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；分式分母不為零；零次冪的底數(shù)不為零；對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1等。若函數(shù)由多個(gè)部分構(gòu)成，則定義域?yàn)楦鞑糠侄x域的交集。二、函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì)主要包括單調(diào)性、奇偶性、最值等，它們是描述函數(shù)圖像特征和變化規(guī)律的重要工具，也是解決函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵。例3：證明函數(shù)f(x)=x3+x在R上是增函數(shù)。解析：證明函數(shù)的單調(diào)性，定義法是最基本也是最重要的方法。其步驟通常為：取值、作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)、下結(jié)論。任取x?，x?∈R，且x?<x?。則f(x?)-f(x?)=(x?3+x?)-(x?3+x?)=(x?3-x?3)+(x?-x?)。對(duì)x?3-x?3進(jìn)行因式分解，可得(x?-x?)(x?2+x?x?+x?2)。因此，f(x?)-f(x?)=(x?-x?)(x?2+x?x?+x?2)+(x?-x?)=(x?-x?)(x?2+x?x?+x?2+1)。因?yàn)閤?<x?，所以x?-x?<0。接下來(lái)分析x?2+x?x?+x?2+1的符號(hào)。x?2+x?x?+x?2可以變形為[(x?+x?/2)2+(3x?2)/4]，由于平方項(xiàng)恒非負(fù)，所以[(x?+x?/2)2+(3x?2)/4]≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x?=x?=0時(shí)取等號(hào)。因此，x?2+x?x?+x?2+1≥0+1=1>0。所以，(x?-x?)(x?2+x?x?+x?2+1)<0，即f(x?)-f(x?)<0，從而f(x?)<f(x?)。由單調(diào)性的定義可知，函數(shù)f(x)=x3+x在R上是增函數(shù)。思路點(diǎn)撥：利用定義證明單調(diào)性，關(guān)鍵在于作差后的變形和符號(hào)判斷。變形的方向通常是分解因式或配方，以利于判斷差的符號(hào)。對(duì)于三次多項(xiàng)式的因式分解要熟練掌握。例4：判斷函數(shù)f(x)=(x2+1)/x的奇偶性，并說(shuō)明理由。解析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先要檢查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的前提條件。若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。若定義域?qū)ΨQ，再根據(jù)f(-x)與f(x)的關(guān)系進(jìn)行判斷。首先，求函數(shù)f(x)=(x2+1)/x的定義域。分母x不能為零，所以定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)，該定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。接下來(lái)，計(jì)算f(-x)。f(-x)=[(-x)2+1]/(-x)=(x2+1)/(-x)=-(x2+1)/x=-f(x)。由于f(-x)=-f(x)，根據(jù)奇函數(shù)的定義，函數(shù)f(x)=(x2+1)/x是奇函數(shù)。思路點(diǎn)撥：先看定義域，再驗(yàn)f(-x)與f(x)關(guān)系。若f(-x)=f(x)，則為偶函數(shù)；若f(-x)=-f(x)，則為奇函數(shù)；若兩者都不滿足，則為非奇非偶函數(shù)。對(duì)于分式函數(shù)，化簡(jiǎn)后再判斷有時(shí)會(huì)更簡(jiǎn)便，但要注意定義域是否變化。三、函數(shù)的圖像與應(yīng)用函數(shù)的圖像是函數(shù)關(guān)系的直觀體現(xiàn)，通過(guò)圖像可以形象地理解函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式等相關(guān)問(wèn)題。例5：已知二次函數(shù)f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)A(0,-3)，B(1,0)，C(-3,0)，求此二次函數(shù)的解析式。解析：求二次函數(shù)的解析式，通常有三種形式：一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)；頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h,k)為頂點(diǎn)坐標(biāo)；交點(diǎn)式（兩根式）y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)，其中x?,x?是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。選擇合適的形式可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。本題中，已知二次函數(shù)圖像與x軸交于點(diǎn)B(1,0)和C(-3,0)，因此選用交點(diǎn)式比較方便。設(shè)二次函數(shù)的解析式為f(x)=a(x-1)(x+3)(a≠0)。又因?yàn)楹瘮?shù)圖像過(guò)點(diǎn)A(0,-3)，將x=0，f(x)=-3代入解析式得：-3=a(0-1)(0+3)，即-3=a(-1)(3)，-3=-3a，解得a=1。所以，二次函數(shù)的解析式為f(x)=(x-1)(x+3)。將其展開(kāi)化為一般式：f(x)=x2+3x-x-3=x2+2x-3。驗(yàn)證：將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，均滿足，故所求解析式正確。思路點(diǎn)撥：已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，可選用一般式；已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸，可選用頂點(diǎn)式；已知與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可選用交點(diǎn)式。合理選擇表達(dá)式形式是快速解題的關(guān)鍵。例6：利用函數(shù)圖像解不等式x2-2x-3>0。解析：利用函數(shù)圖像解不等式，通常是將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值大小比較的問(wèn)題，或者研究函數(shù)值大于零（或小于零）的自變量取值范圍。對(duì)于一元二次不等式，可通過(guò)研究對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)來(lái)求解。令f(x)=x2-2x-3，這是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線（因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)1>0）。首先，求方程f(x)=0的根，即x2-2x-3=0。解方程：(x-3)(x+1)=0，得x?=-1，x?=3。所以，函數(shù)f(x)的圖像與x軸交于點(diǎn)(-1,0)和(3,0)。由于拋物線開(kāi)口向上，其圖像在x軸上方的部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍，即為不等式f(x)>0的解集。觀察圖像可知，當(dāng)x<-1或x>3時(shí)，拋物線在x軸上方。因此，不等式x2-2x-3>0的解集為(-∞,-1)∪(3,+∞)。思路點(diǎn)撥：解一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）的步驟通常是：1.確定對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的開(kāi)口方向；2.求出對(duì)應(yīng)二次方程的根（若有）；3.根據(jù)圖像寫(xiě)出不等式的解集。開(kāi)口方向和根的情況是關(guān)鍵。四、函數(shù)綜合問(wèn)題函數(shù)的綜合問(wèn)題往往涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交叉應(yīng)用，需要我們具備較強(qiáng)的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。例7：已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，若f(a)<f(2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性。對(duì)于偶函數(shù)，有f(x)=f(|x|)，這個(gè)性質(zhì)在解決問(wèn)題時(shí)非常有用，可以將自變量轉(zhuǎn)化到非負(fù)區(qū)間進(jìn)行討論，再利用單調(diào)性脫去“f”。因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(a)=f(|a|)。原不等式f(a)<f(2)可轉(zhuǎn)化為f(|a|)<f(2)。又因?yàn)閒(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)遞增函數(shù)的性質(zhì)：對(duì)于x?,x?∈[0,+∞)，若f(x?)<f(x?)，則x?<x?。所以，|a|<2。解這個(gè)絕對(duì)值不等式，得-2<a<2。因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,2)。思路點(diǎn)撥：利用函數(shù)的奇偶性將變量轉(zhuǎn)化到已知單調(diào)性的區(qū)間是解決此類問(wèn)題的常用技巧。偶函數(shù)的f(a)=f(|a|)，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性具有一致性，這些性質(zhì)要靈活運(yùn)用。總結(jié)與提升函數(shù)章節(jié)的學(xué)習(xí)，概念是基礎(chǔ)，性質(zhì)是核心，圖像是工具。在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，首先要準(zhǔn)確理解題意，明確所涉及的函數(shù)類型和知識(shí)點(diǎn)；其次，要善于運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性等）簡(jiǎn)化問(wèn)題；再次，要重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，函數(shù)圖像能為我們提供