4.2.4隨機變量的數(shù)字特征（第2課時）人教B版（2019）選擇性必修第二冊第四章

概率與統(tǒng)計學習目標通過具體實例，理解離散型隨機變量的方差及標準差的概念01掌握二項分布的方差02掌握離散型隨機變量的方差的性質，解決一些實際問題03探索新知情境與問題某省要從甲、乙兩名射擊運動員中選一人參加全運會，根據(jù)以往數(shù)據(jù)，這兩名運動員射擊環(huán)數(shù)的分布列分別如下.上述情境中，不難算出

E(X1)＝E(X2)＝9.這就是說，如果僅從平均水平的角度考慮，是不能決定誰參加全運會.思考：從發(fā)揮穩(wěn)定性方面，要如何衡量呢？甲的環(huán)數(shù)X18910P0.20.60.2乙的環(huán)數(shù)X28910P0.40.20.4(1)若從平均水平的角度考慮，能否決定誰參加全運會?說明理由.探索新知(2)

怎樣來衡量他們的發(fā)揮穩(wěn)定性呢？設甲、乙兩人每人都重復射擊足夠多次(設為n次)，則甲所得環(huán)數(shù)可估計為8，8，…，8，9，9，…，9，10，10，…，10.

0.2n個

0.6n個

0.2n個甲這組數(shù)的方差為類似地，乙這組數(shù)的方差為由于0.4＜0.8，因此可以認為甲的發(fā)揮更穩(wěn)定，應該派甲參加全運會.探索新知離散型隨機變量的方差因為

X的均值為

E(X)，所以D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋···＋[xn－E(X)]2

如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn

能夠刻畫

X相對于均值的離散程度(或波動大小)，這稱為離散型隨機變量

X的方差.探索新知

離散型隨機變量

X

的方差

D(X)

也可用

DX

表示.由此可知，情境與問題中，D(X1)＝0.4，D(X2)＝0.8.更進一步，如果將甲、乙射擊環(huán)數(shù)的分布列用圖直觀地表示，如圖(1)

(2)

所示，則從圖上也可看出D(X1)

與D(X2)

的相對大小.探索新知

典型例題例3已知隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布，求D(X).解：因為

X只能取1，0這兩個值，而且

P(X＝1)＝p

，E(X)＝p，所以D(X)＝(1－p)2×p＋(0－p)2×(1－p)＝p(1－p).類似地，若X服從參數(shù)為n，p的二項分布，即

X～B(n，p)，則由離散型隨機變量方差的定義，可以算得

D(X)＝np(1－p).探索新知特殊分布的方差X

兩點分布二項分布X～B

(n，p)D(X)

?(其中p為成功概率)____________________p(1－p)

np(1－p)

兩點分布與二項分布的方差間存在怎樣的聯(lián)系？由于兩點分布是特殊的二項分布，故兩者之間是特殊與一般的關系.即若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)，取n＝1，

則

D(X)＝p(1－p)就是兩點分布的方差.探索新知嘗試與發(fā)現(xiàn)已知X是一個隨機變量，且分布列如下表所示.設a，b都是實數(shù)且a≠0，則Y＝aX＋b也是一個隨機變量，而且

E(Y)＝aE(X)＋b.那么，這兩個隨機變量的方差之間有什么聯(lián)系呢？Xx1x2···xk···xnPp1p2···pk···pn若X與Y都是離散型隨機變量，且Y＝aX＋b(a≠0)，則由X與Y之間分布列的關系及

E(X)

與

E(Y)之間的關系可知

典型例題例4

已知一批產(chǎn)品的次品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品數(shù).(1)求D(X)；(2)假設抽出的產(chǎn)品需要專門檢測，檢測費用Y元與次品數(shù)X有關，且Y＝10X＋300，求D(Y).解：(1)因為

X服從的是參數(shù)為

50，0.02的二項分布，即

X~B(50，0.02)，所以D(X)＝50×0.02×(1－0.02)＝0.98.(2)由

Y＝10X＋300可知D(Y)＝D(10X＋300)＝102D(X)＝100×0.98＝98.當