（新高考）2022屆高三第三次模擬考試卷數(shù)學(xué)（二）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，故選C．2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則復(fù)數(shù)，則，由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可得，故選A．3．在一次獨(dú)立性檢驗(yàn)中得到如下列聯(lián)表：A1A2總計(jì)B12008001000B2180a180＋a總計(jì)380800＋a1180＋a若這兩個(gè)分類變量A和B沒(méi)有關(guān)系，則a的可能值是（）A．200 B．720 C．100 D．180【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，易知此時(shí)兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系，故選B．4．某大學(xué)開(kāi)設(shè)選修課，要求學(xué)生根據(jù)自己的專業(yè)方向以及自身興趣從個(gè)科目中選擇個(gè)科目進(jìn)行研修，已知某班級(jí)名學(xué)生對(duì)科目的選擇如下所示，則、的一組值可以是（）科目國(guó)際金融統(tǒng)計(jì)學(xué)市場(chǎng)管理二戰(zhàn)歷史市場(chǎng)營(yíng)銷會(huì)計(jì)學(xué)人數(shù)A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】依題意，，故，觀察可知，故選D．5．在高為3的直三棱柱中，△ABC是以C為直角的等腰三角形，且，其中D為棱的中點(diǎn)，M為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則AM+MD的最小值為（）A． B． C． D．5【答案】B【解析】將等腰直角三角形翻折到與矩形共面，如圖所示，的最小值為，由于，，所以，故選B．6．若對(duì)于任意，函數(shù)在區(qū)間上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，∵，又對(duì)于任意，函數(shù)在區(qū)間上總不為單調(diào)函數(shù)，∴，即，∴，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A．7．勾股定理被稱為幾何學(xué)的基石，相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，又稱商高定理．漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，如圖1），證明了商高結(jié)論的正確性．現(xiàn)將弦圖中的四條股延長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度（如將延長(zhǎng)至）得到圖2．在圖2中，若，，、兩點(diǎn)間的距離為，則弦圖中小正方形的邊長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由條件可得，在中，由余弦定理得，所以，，所以，，，，所以弦圖中小正方形的邊長(zhǎng)為，故選C．8．在平面直角坐標(biāo)系中，從軸上點(diǎn)向圓作一條切線，設(shè)切線長(zhǎng)為，點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（）A．2 B．3 C． D．4【答案】B【解析】圓的圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線PA，A為切點(diǎn)，連接PC，AC，如圖，則有，，表示動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離，令直線為l，過(guò)P作于點(diǎn)R，則，過(guò)M作于N，交x軸于點(diǎn)Q，連PM，MR，，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q重合時(shí)取“=”，直線的斜率為，其方程為，令，得，則，當(dāng)取最小值時(shí)，的值為3，故選B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖，在圓錐SO中，AC為底面圓O的直徑，B是圓O上異于A，C的一點(diǎn)，，，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A．圓錐的體積為B．圓錐的表面積為C．三棱錐的體積的最大值為D．存在點(diǎn)B使得直線SB與平面SAC所成角為【答案】AC【解析】圓錐的體積為，故A正確；圓錐的母線長(zhǎng)為，所以圓錐的側(cè)面積為，底面面積為，故圓錐的表面積為，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)為，故C正確；過(guò)作于，顯然底面，所以，，平面，所以平面，連接，∴為直線與平面所成角，由為定值，∴當(dāng)時(shí)，與平面所成角最大，此時(shí)，所以，即，故D錯(cuò)誤，故選AC．10．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．為偶函數(shù) B．的值域?yàn)镃．在上單調(diào)遞減 D．的圖象關(guān)于直線不對(duì)稱【答案】AB【解析】對(duì)于A：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：由題意，得，即，當(dāng)時(shí)，，則，即；當(dāng)時(shí)，，則，即，綜上所述，的值域?yàn)?，即選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，且，令，得，令，得，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由選項(xiàng)B得的最大值為，且，即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選AB．11．若正整數(shù)，只有1為公約數(shù)，則稱，互質(zhì)．對(duì)于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 D．，【答案】AC【解析】因?yàn)?，故A正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故B不正確；因?yàn)榕c互質(zhì)的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有個(gè)，所以，則數(shù)列為等比數(shù)列，故C正確；因?yàn)?，故D不正確，故選AC．12．如圖1，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD中點(diǎn)，若沿AE、AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使得B、C、D三點(diǎn)重合于S，得到四面體（圖2），點(diǎn)G為SE的中點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（）A．四面體的外接球體積為B．頂點(diǎn)S在面AEF上的射影為△AEF的重心C．SA與面AEF所成角的正切值為D．過(guò)點(diǎn)G的平面截四面體的外接球所得截面圓面積取值范圍是【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由翻折的性質(zhì)可知，、、兩兩垂直，將其補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體外接球和四面體外接球相同，因?yàn)?，，則其體對(duì)角線長(zhǎng)，所以長(zhǎng)方體外接球的半徑為，故外接球的體積為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)椤?、兩兩互相垂直，所以點(diǎn)在平面上的射影為的垂心，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作平面，交平面于點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，，，、平面，則平面，又平面，故，又，、平面，所以平面，又平面，故；同理可證，，故點(diǎn)在平面上的射影為的垂心，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)為的中點(diǎn)，則，，又，，平面，所以平面，又平面，故平面平面，則在平面上的射影為，所以與平面所成的角為，因?yàn)椋?，，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，設(shè)為四面體的外接球的球心，則平面，連接、，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的截面經(jīng)過(guò)球心時(shí)截面圓的面積最大，最大面積為；當(dāng)垂直截面圓時(shí)，截面圓面積最小，此時(shí)，，，，故截面圓的面積為，所以截面圓面積的取值范圍為，故選項(xiàng)D正確，故選ACD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為28，則________．【答案】1【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，由，得，∴，解得，故答案為1．14．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則__________．【答案】【解析】由拋物線方程可得，由拋物線定義可得，即，則，則，故答案為．15．已知直線與圓交于、兩點(diǎn)，且中點(diǎn)為，若為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)__________．【答案】【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)橹悬c(diǎn)為，則，且，所以，，，，所以，即，所以，故答案為．16．已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù)，若在處取得極值，則a的值為_(kāi)_____；若不等式對(duì)任意都成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)______．【答案】1，【解析】，由于函數(shù)在處取得極值，∴，即，∴；不等式，即對(duì)任意都成立，亦即對(duì)任意都成立，設(shè)，由于，則對(duì)任意，一次函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)()，∴對(duì)任意，恒成立的充要條件是，即，∴，于是x的取值范圍是，故答案為1，．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積．（1）求角A的值；（2）延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使得，且，若，求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解：由題得，，因?yàn)?，．?）解：如圖，設(shè)，在△ABC中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，即，②，①②得，，所以△ABC的周長(zhǎng)為，所以△ABC的周長(zhǎng)為．18．（12分）如圖，在三棱錐中，平面，．（1）證明：；（2）若，求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）由于平面ABC，所以，由于，，所以平面，所以．（2）過(guò)作交AC于E，過(guò)作于，連接，如圖，由，，，所以平面，所以，又，，所以平面，所以，所以是二面角的平面角，設(shè)，則，，，在中，，在中，，所以，即二面角的大小為．19．（12分）已知數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記這個(gè)數(shù)的公差為，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意，．由，①得，②①②，得，所以．又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，上式也成立，所以的通項(xiàng)公式為．（2）由題可知，令，③，④③④，得，故．20．（12分）2022年2月4日，第24屆北京冬奧會(huì)在國(guó)家體育館隆重開(kāi)幕，本屆冬奧會(huì)吸引了全球91個(gè)國(guó)家和地區(qū)的2892名冰雪健兒前來(lái)參賽．各國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)健兒在“一起向未來(lái)”的愿景中，共同詮釋“更快、更高、更強(qiáng)、更團(tuán)結(jié)”的奧林匹克新格言，創(chuàng)造了一項(xiàng)又一項(xiàng)優(yōu)異成績(jī)，中國(guó)隊(duì)9金4銀2銅收官，位列金牌榜第三，金牌數(shù)和獎(jiǎng)牌數(shù)均創(chuàng)歷史新高．中國(guó)健兒在賽場(chǎng)上努力拼搏，激發(fā)了全國(guó)人民參與冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情，憨態(tài)可掬的外貌加上富有超能量的冰晶外殼的吉祥物“冰墩墩”備受大家喜愛(ài)．某商場(chǎng)舉行“玩摸球游戲，領(lǐng)奧運(yùn)禮品”的促銷活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)定：顧客在該商場(chǎng)一次性消費(fèi)滿300元以上即可參加摸球游戲．摸球游戲規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的袋子中裝有10個(gè)大小相同、四種不同顏色的小球，其中白色、紅色、藍(lán)色、綠色小球分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)，每個(gè)小球上都標(biāo)有數(shù)字代表其分值，白色小球上標(biāo)30、紅色小球上標(biāo)20、藍(lán)色小球上標(biāo)10、綠色小球上標(biāo)5．摸球時(shí)一次只能摸一個(gè)，摸后不放回．若第一次摸到藍(lán)色或綠色小球，游戲結(jié)束，不能領(lǐng)取奧運(yùn)禮品；若第1次摸到白色小球或紅色小球，可再摸2次．若摸到球的總分不低于袋子中剩下球的總分，則可免費(fèi)領(lǐng)取奧運(yùn)禮品．（1）求參加摸球游戲的顧客甲能免費(fèi)領(lǐng)取奧運(yùn)禮品的概率；（2）已知顧客乙在第一次摸球中摸到紅色小球，設(shè)其摸球所得總分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，．【解析】（1）解：因所有小球的總分為120分，若甲第1次摸到白球，再摸兩個(gè)球的顏色若都是紅色，或者一紅一藍(lán)即可領(lǐng)取奧運(yùn)禮品，其概率為；若甲第1次摸到紅球，再摸2個(gè)球的顏色若是一白一紅，一白一藍(lán)即可領(lǐng)取奧運(yùn)禮品，其概率為，所以顧客甲能免費(fèi)領(lǐng)取奧運(yùn)禮品的概率為．（2）解：由條件可知，，，，，，，，，于是的分布列為：7060555045403530其數(shù)學(xué)期望為．21．（12分）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，且過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的下頂點(diǎn)為點(diǎn)，若不過(guò)點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別與軸交于，兩點(diǎn)．若，的橫坐標(biāo)之積是2，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）依題意，，橢圓E方程為，又橢圓過(guò)，于是有，解得，，所以橢圓的方程為．（2）由（1）知，依題意，設(shè)直線的方程為，，，直線的方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，同理得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由消去y并整理得，，即，，，因此，，即，解得，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)，所以直線過(guò)定點(diǎn)．22．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：．【