全國高中數(shù)學(xué)競賽函數(shù)專題試題集引言：函數(shù)在競賽中的核心地位函數(shù)是高中數(shù)學(xué)競賽的“靈魂模塊”，其試題既考察基本概念（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等），又注重綜合運(yùn)用能力，常與不等式、數(shù)列、數(shù)論、幾何深度融合。本專題通過梳理核心考點(diǎn)、剖析典型試題、提煉解題策略，助力競賽學(xué)子構(gòu)建“知識—方法—應(yīng)用”的完整體系。一、函數(shù)基本性質(zhì)專題：單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性（一）考點(diǎn)梳理函數(shù)的基本性質(zhì)是競賽命題的“基石”：單調(diào)性：常與不等式證明、最值求解結(jié)合，需把握“單調(diào)函數(shù)的不等式等價于自變量的不等式”；奇偶性：利用$f(-x)=\pmf(x)$簡化結(jié)構(gòu)，結(jié)合對稱性轉(zhuǎn)化問題（如奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱）；周期性：核心是推導(dǎo)周期（如$f(x+a)=-f(x)$則周期為$2|a|$），常與對稱性結(jié)合（如“周對稱”函數(shù)$f(x+a)=f(-x+b)$的對稱軸為$x=\frac{a+b}{2}$）。（二）典型試題解析例1（單調(diào)性與函數(shù)方程）已知$f(x)$在$\mathbb{R}$上單調(diào)遞增，且滿足$f(x+y)=f(x)+f(y)-1$，$f(3)=4$，解不等式$f(x^2-2x)<3$。分析：通過賦值法挖掘函數(shù)值，再利用單調(diào)性解不等式。令$x=y=1$，得$f(2)=2f(1)-1$；令$x=2,y=1$，得$f(3)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2$。結(jié)合$f(3)=4$，解得$f(1)=2$。令$x=1,y=1$，得$f(2)=2×2-1=3$。因$f(x)$單調(diào)遞增，故$f(x^2-2x)<f(2)\impliesx^2-2x<2$，解得$1-\sqrt{3}<x<1+\sqrt{3}$。例2（周期性與奇偶性）設(shè)$f(x)$是$\mathbb{R}$上的奇函數(shù)，且$f(x+2)=-f(x)$，當(dāng)$x\in[0,1]$時，$f(x)=x$，求$f(7.5)$的值。分析：先推導(dǎo)周期，再結(jié)合奇偶性轉(zhuǎn)化。由$f(x+2)=-f(x)$，得$f(x+4)=-f(x+2)=f(x)$，故周期$T=4$。$f(7.5)=f(7.5-8)=f(-0.5)$（周期為4）。又$f(x)$是奇函數(shù)，$f(-0.5)=-f(0.5)$。當(dāng)$x\in[0,1]$時，$f(0.5)=0.5$，故$f(7.5)=-0.5$。二、函數(shù)方程專題：賦值、代換與構(gòu)造（一）考點(diǎn)概述函數(shù)方程是“抽象函數(shù)”的核心，常見類型：柯西型：如$f(x+y)=f(x)+f(y)$，結(jié)合單調(diào)性（或連續(xù)性）得$f(x)=kx$；多項式型：已知$f(x)$為多項式，通過“比較次數(shù)+賦值”求系數(shù)（如$f(f(x))=x^4-2x^2$）；迭代型：如$f(f(x))=x$（對合函數(shù)），需分析不動點(diǎn)或周期。（二）典型試題解析例3（柯西型函數(shù)方程）設(shè)$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，滿足$f(x+y)=f(x)+f(y)$對所有$x,y\in\mathbb{R}$成立，且$f(1)=2$，求$f(x)$的表達(dá)式。分析：通過數(shù)學(xué)歸納法+有理數(shù)延拓推導(dǎo)。令$y=x$，得$f(2x)=2f(x)$；歸納得$f(nx)=nf(x)$（$n\in\mathbb{N}^*$）。令$x=0$，得$f(0)=0$；令$y=-x$，得$f(-x)=-f(x)$（奇函數(shù)）。對有理數(shù)$\frac{p}{q}$（$p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N}^*$），$f(p)=qf(\frac{p}{q})\impliesf(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}f(1)=2\cdot\frac{p}{q}$。結(jié)合單調(diào)性（競賽題隱含），對任意實(shí)數(shù)$x$，$f(x)=2x$。例4（多項式型函數(shù)方程）已知$f(x)$是二次函數(shù)，且$f(f(x))=x^4-2x^2$，求$f(x)$的表達(dá)式。分析：設(shè)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），通過比較次數(shù)+系數(shù)匹配求解。$f(f(x))$的首項為$a\cdot(ax^2)^2=a^3x^4$，故$a^3=1\impliesa=1$。設(shè)$f(x)=x^2+bx+c$，展開$f(f(x))=(x^2+bx+c)^2+b(x^2+bx+c)+c$，與$x^4-2x^2$比較：三次項系數(shù)：$2b=0\impliesb=0$；二次項系數(shù)：$b^2+2c+b=-2\impliesc=-1$；驗證：$f(f(x))=(x^2-1)^2-1=x^4-2x^2$，符合。故$f(x)=x^2-1$。三、復(fù)合函數(shù)與抽象函數(shù)：定義域、值域與對應(yīng)法則（一）考點(diǎn)聚焦復(fù)合函數(shù)：需把握“內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域”（如$f(g(x))$的定義域由$g(x)\inf$的定義域確定）；抽象函數(shù)：通過賦值、代換挖掘性質(zhì)（如周期性、奇偶性），常與函數(shù)方程結(jié)合。（二）典型試題解析例5（復(fù)合函數(shù)定義域與值域）已知$f(x)$的定義域為$(0,2)$，求$f(x^2-1)$的定義域；若$f(x)$的值域為$[1,3]$，求$f(x^2-1)$的值域。分析：定義域：由$0<x^2-1<2$，解得$x\in(-\sqrt{3},-1)\cup(1,\sqrt{3})$；值域：$f(x^2-1)$的值域與$f(x)$在$(0,2)$上的值域相同（因$x^2-1\in(0,2)$），故值域為$[1,3]$。例6（抽象函數(shù)的周期性）設(shè)$f(x)$滿足$f(x+1)=f(x-1)$，且當(dāng)$x\in[0,2)$時，$f(x)=x^2$，求$f(2023)$的值。分析：由$f(x+1)=f(x-1)$，令$t=x-1$，得$f(t+2)=f(t)$，故周期$T=2$。$2023=2×1011+1$，故$f(2023)=f(1)$（周期為2）。當(dāng)$x\in[0,2)$時，$f(1)=1^2=1$，故$f(2023)=1$。四、函數(shù)與其他知識的綜合：不等式、數(shù)列、數(shù)論（一）考點(diǎn)特征函數(shù)常與不等式（恒成立、參數(shù)范圍）、數(shù)列（遞推數(shù)列的單調(diào)性、有界性）、數(shù)論（函數(shù)值的整數(shù)性、素數(shù)分布）交叉，需跨模塊知識遷移。（二）典型試題解析例7（函數(shù)與不等式）設(shè)$f(x)=x^2+ax+b$，若對任意$x\in[0,1]$，有$|f(x)|\leq1$，求$a,b$的取值范圍。分析：利用“閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值在端點(diǎn)或極值點(diǎn)”分析：端點(diǎn)：$x=0$時，$|b|\leq1$；$x=1$時，$|1+a+b|\leq1$；極值點(diǎn)：若$-\frac{a}{2}\in[0,1]$（即$-2\leqa\leq0$），則$f(-\frac{a}{2})=b-\frac{a^2}{4}$，需$|b-\frac{a^2}{4}|\leq1$。結(jié)合三式，最終得$a\in[-2,2]$，$b\in[-1,1]$（需驗證頂點(diǎn)處不等式）。例8（函數(shù)與數(shù)列）設(shè)數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=f(a_n)$（$f(x)=\frac{x^2+2}{2x}$），證明$\{a_n\}$收斂并求極限。分析：通過不動點(diǎn)+單調(diào)有界定理分析：不動點(diǎn)：令$f(x)=x$，得$x=\sqrt{2}$（$x>0$）。單調(diào)性與有界性：$f(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$，在$(0,\sqrt{2})$遞減、$(\sqrt{2},+\infty)$遞增，最小值為$\sqrt{2}$。由數(shù)學(xué)歸納法，$a_n\geq\sqrt{2}$（$n\geq2$）且$\{a_n\}$遞減（因$a_{n+1}-a_n=\frac{2-a_n^2}{2a_n}<0$）。收斂性：由單調(diào)有界定理，$\{a_n\}$收斂，極限為$\sqrt{2}$。五、解題策略與技巧提煉（一）常用方法1.賦值法：對函數(shù)方程，代入特殊值（如$x=0,y=0$，$x=y$）挖掘性質(zhì)；2.代換法：通過變量代換（如$t=x+a$）轉(zhuǎn)化為已知形式，推導(dǎo)周期、對稱性；3.數(shù)形結(jié)合：利用函數(shù)的幾何意義（對稱軸、周期區(qū)間的圖像重復(fù)）分析不等式、最值；4.構(gòu)造法：構(gòu)造輔助函數(shù)（如$g(x)=f(x)-h(x)$）或數(shù)列（如遞推函數(shù)的不動點(diǎn)）；5.分類討論：按參數(shù)范圍（如對稱軸位置）分類，逐一分析。（二）易錯點(diǎn)警示復(fù)合函數(shù)定義域：混淆“$f(g(x))$的定義域”與“$g(x)$的值域”；函數(shù)方程的隱含條件：如柯西型方程需結(jié)合單調(diào)性（或連續(xù)性）推導(dǎo)通解；周期性與對稱性：嚴(yán)格推導(dǎo)周期（如$f(x+a)=-f(x)$的周期為$2|a|$），避免直覺判斷。六、備考建議（一）階段規(guī)劃1.基礎(chǔ)夯實(shí)期（1-2個月）：系統(tǒng)復(fù)習(xí)函數(shù)基本概念，熟練掌握初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)；2.專題突破期（2-3個月）：分類刷競賽真題（如近10年聯(lián)賽、CMO試題），總結(jié)解題套路；3.模擬沖刺期（1個月）：限時完成模擬卷，訓(xùn)練速度與心態(tài)，重點(diǎn)分析錯題。（二）資源推薦教材：《數(shù)學(xué)競賽研究教程》（單墫）、《高中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)教程》（李勝宏）；真題：《全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題匯編》《中國數(shù)學(xué)奧林匹克試題集》；網(wǎng)課：嗶哩嗶哩“一數(shù)”“數(shù)學(xué)競賽小課堂”。（三