第1頁（共1頁）2025年江西省九江市高考數(shù)學(xué)三模試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則A． B． C． D．2．若，則A． B． C． D．3．若，則A． B． C． D．4．含甲、乙的5名同學(xué)分成兩組參加志愿服務(wù)活動，則甲、乙不同組的分配方案有A．6種 B．8種 C．12種 D．16種5．九江銀行“廬山杯”九江馬拉松于3月23日上午鳴槍開跑．此前，為備戰(zhàn)此次馬拉松，小寶同學(xué)制定了一個為期20周的跑步訓(xùn)練計(jì)劃．計(jì)劃第1周跑步2公里，之后一段時間每周的跑步量是前一周的2倍；當(dāng)周跑步量首次超過30公里后，每周比前一周多跑2公里；當(dāng)周跑步量首次超過全馬里程公里）后，保持這個周訓(xùn)練量直至訓(xùn)練結(jié)束．請問：訓(xùn)練計(jì)劃結(jié)束時，小寶同學(xué)跑步的總量是A．736公里 B．724公里 C．692公里 D．660公里6．方程表示的曲線可能是A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為2的直線與交于，兩點(diǎn)，，在準(zhǔn)線上的投影分別為，，線段，分別交軸于點(diǎn)，．若，則A． B．2 C． D．8．某校選拔乒乓球隊(duì)隊(duì)員，選拔時選手與教練對局．若選手連勝兩局則成功入選，若連負(fù)兩局則落選．已知某選手每局測試中（無平局）獲勝的概率為，則該選手成功入選的概率是A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）已知隨機(jī)變量，，，，則下列說法正確的是A．若，則 B． C． D．（多選）10．（6分）如圖，在五面體中，底面是邊長為2的正方形，，平面，，到底面的距離為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)部（含邊界），則下列選項(xiàng)中正確的是A．存在點(diǎn)，使得平面 B．存在點(diǎn)，使得 C．該五面體的體積為 D．若，則點(diǎn)的軌跡長度為（多選）11．（6分）已知函數(shù)和的最小值相等，則下列說法正確的是A． B．的最小值為2 C．在上單調(diào)遞增 D．若直線與和的圖象從左到右的交點(diǎn)分別為，，，，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則．13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上一點(diǎn)，線段，的中點(diǎn)分別是，．若四邊形是周長為6、面積為2的矩形為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的離心率為．14．如表，有一款合成2048游戲，游戲規(guī)則如下：在一個的方格中，游戲開始時，方格中會隨機(jī)出現(xiàn)兩個數(shù)字小方塊，只能是2或4．手指向一個方向（上、下、左、右）滑動，所有含有數(shù)字的小方塊都會向這個方向移動到不能移動為止，滑動過程中相同數(shù)字的兩個小方塊相撞時數(shù)字會相加，稱為一次合并運(yùn)算．每次滑動時，空白處會隨機(jī)刷新出一個含有數(shù)字（只能是2或的小方塊．當(dāng)界面中最大數(shù)字是2048時，最少合并運(yùn)算的次數(shù)為．241681632641024512256128四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在△中，角，，的對邊分別是，，，已知．（1）求；（2）若點(diǎn)滿足，且，，求．16．（15分）如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，為的中點(diǎn)，平面與平面．（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成的角．17．（15分）已知函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．18．（17分）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，在上，．（1）求的方程；（2）過的直線交于另一點(diǎn)（異于，，與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)．19．（17分）箱子中有個小球，標(biāo)號為1，2，，，現(xiàn)從中摸2次球，每次摸一個小球，記錄標(biāo)號后放回．已知每次摸出小球的標(biāo)號服從概率分布，其中，2，，，．當(dāng)不全為0時，該箱子中的小球是不均勻的，否則是均勻的．（1）記第一次摸出的小球標(biāo)號為，第二次摸出的小球標(biāo)號為．當(dāng)時，設(shè)事件“”的概率為，試比較與的大小，并說明理由；（ⅱ）設(shè)事件“”的概率為，證明：．（2）證明：對于任意的，其中，2，，，都有．

2025年江西省九江市高考數(shù)學(xué)三模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BCCBCDBA二．多選題（共3小題）題號91011答案ADACDACD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則A． B． C． D．解：由可得，且，解得，所以，又因?yàn)椋裕蔬x：．2．若，則A． B． C． D．解：因?yàn)?，所以，所以．故選：．3．若，則A． B． C． D．解：，，即，，兩邊平方得：，即，，，，可得．故選：．4．含甲、乙的5名同學(xué)分成兩組參加志愿服務(wù)活動，則甲、乙不同組的分配方案有A．6種 B．8種 C．12種 D．16種解：若一組1人，另一組4人，有種分配方案；若一組2人，另一組3人，有種分配方案．故甲、乙不同組的分配方案共有種．故選：．5．九江銀行“廬山杯”九江馬拉松于3月23日上午鳴槍開跑．此前，為備戰(zhàn)此次馬拉松，小寶同學(xué)制定了一個為期20周的跑步訓(xùn)練計(jì)劃．計(jì)劃第1周跑步2公里，之后一段時間每周的跑步量是前一周的2倍；當(dāng)周跑步量首次超過30公里后，每周比前一周多跑2公里；當(dāng)周跑步量首次超過全馬里程公里）后，保持這個周訓(xùn)練量直至訓(xùn)練結(jié)束．請問：訓(xùn)練計(jì)劃結(jié)束時，小寶同學(xué)跑步的總量是A．736公里 B．724公里 C．692公里 D．660公里解：設(shè)小寶同學(xué)訓(xùn)練期間每周跑步構(gòu)成數(shù)列，由題意可得，前4周的跑步是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，從第5周開始，構(gòu)成以2為公差的等差數(shù)列，則，，，，，，，，故小寶同學(xué)跑步的總量是公里．故選：．6．方程表示的曲線可能是A． B． C． D．解：依題意，得或，，即或，．若，則或（軌跡為兩條直線）或，，（軌跡為一系列雙曲線）．若，則，，（軌跡為一系列同心圓）．故選：．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為2的直線與交于，兩點(diǎn)，，在準(zhǔn)線上的投影分別為，，線段，分別交軸于點(diǎn)，．若，則A． B．2 C． D．解：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，令，與軸的交點(diǎn)分別為，，由，得是線段的中點(diǎn)，同理是的中點(diǎn)，則，直線，設(shè)，，，，由消去得，則，因此，所以．故選：．8．某校選拔乒乓球隊(duì)隊(duì)員，選拔時選手與教練對局．若選手連勝兩局則成功入選，若連負(fù)兩局則落選．已知某選手每局測試中（無平局）獲勝的概率為，則該選手成功入選的概率是A． B． C． D．解：該選手成功入選的概率可以通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移的方法計(jì)算，定義狀態(tài)（最近一局贏）和（最近一局輸）成功入選的概率分別為和，初始狀態(tài)成功入選的概率為，建立方程組，解得，，，該選手成功入選的概率是．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）已知隨機(jī)變量，，，，則下列說法正確的是A．若，則 B． C． D．解：對于，因?yàn)椋?，則，化簡得，解得，故正確；對于，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時，取得最大值，所以，故錯誤；對于，因?yàn)?，所以，故錯誤；對于，因?yàn)?，所以由正態(tài)分布的對稱性，2和6關(guān)于對稱，所以，故正確．故選：．（多選）10．（6分）如圖，在五面體中，底面是邊長為2的正方形，，平面，，到底面的距離為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)部（含邊界），則下列選項(xiàng)中正確的是A．存在點(diǎn)，使得平面 B．存在點(diǎn)，使得 C．該五面體的體積為 D．若，則點(diǎn)的軌跡長度為解：對于，如圖（1）所示，連接，，當(dāng)為的中點(diǎn)時，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，選項(xiàng)正確；對于，如圖（2）所示，作點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，連接，交平面于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，有最小值．此時，，而，故不存在點(diǎn)，選項(xiàng)錯誤；對于，如圖（3）所示，分別沿點(diǎn)和，作平行于且垂直于底面的豎直平面，將幾何體切割成三部分，中間部分為直三棱柱，其底面積，高為1，體積，兩側(cè)部分為全等的四棱錐和，底面積為，高為，體積為，所以該五面體的體積為，選項(xiàng)正確；對于，如圖（4）所示，設(shè)點(diǎn)在底面的投影為，則，由幾何體的對稱性知，位于邊的中垂線上，且到邊的距離是，根據(jù)，可得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，軌跡長度為，選項(xiàng)正確．故選：．（多選）11．（6分）已知函數(shù)和的最小值相等，則下列說法正確的是A． B．的最小值為2 C．在上單調(diào)遞增 D．若直線與和的圖象從左到右的交點(diǎn)分別為，，，，則解：對于，，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為（1）；，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為，即，解得，故正確；對于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，兩者不能同時取等號，，故錯誤；對于，，，，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，總之，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故正確；對于，如圖所示，當(dāng)直線與和交點(diǎn)的上方時，不妨設(shè)，，，，，，，，則，，，，，即，，同理，，，，即．同理，當(dāng)直線與和交點(diǎn)的下方時，，故正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則．解：函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則，所以．故答案為：．13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上一點(diǎn)，線段，的中點(diǎn)分別是，．若四邊形是周長為6、面積為2的矩形為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的離心率為．解：橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上一點(diǎn)，線段，的中點(diǎn)分別是，，，解得．又，即，即．又，，，解得．．故答案為：．14．如表，有一款合成2048游戲，游戲規(guī)則如下：在一個的方格中，游戲開始時，方格中會隨機(jī)出現(xiàn)兩個數(shù)字小方塊，只能是2或4．手指向一個方向（上、下、左、右）滑動，所有含有數(shù)字的小方塊都會向這個方向移動到不能移動為止，滑動過程中相同數(shù)字的兩個小方塊相撞時數(shù)字會相加，稱為一次合并運(yùn)算．每次滑動時，空白處會隨機(jī)刷新出一個含有數(shù)字（只能是2或的小方塊．當(dāng)界面中最大數(shù)字是2048時，最少合并運(yùn)算的次數(shù)為511．241681632641024512256128解：因?yàn)樗闶街恍璩霈F(xiàn)1次，而算式中有2個1024，故算式需出現(xiàn)次，算式需出現(xiàn)次，，以此類推，算式需出現(xiàn)次，故每次出現(xiàn)的都是數(shù)字4，最少合并運(yùn)算次數(shù)為次．故答案為：511．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在△中，角，，的對邊分別是，，，已知．（1）求；（2）若點(diǎn)滿足，且，，求．解：（1）由正弦定理及可得，，又，所以，，所以，即，又，，，所以，即；（2）由可得為的中點(diǎn)，且，又，即，故，又，所以△為等邊三角形，故，在△中，，即，解得．16．（15分）如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，為的中點(diǎn)，平面與平面．（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成的角．解：（1）證明：為的中點(diǎn)，，，，又，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，又平面平面，，又平面，平面，，又，，平面，平面；（2）由，知，四邊形為正方形，故以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，0，，，1，，，，，，，，0，，，，設(shè)為平面的法向量，與平面所成角為，則即令，得，，，則，又，，即直線與平面所成的角為．17．（15分）已知函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．解：（1），①若，即，，在上單調(diào)遞減，②若，即由，得；由，得或．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，③若，即，由，得；由，得或，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：當(dāng)時，，要證成立，即證成立，設(shè)，則，，．又在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，存在唯一的實(shí)數(shù)，使，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，的最小值為，又，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，綜上所述，．18．（17分）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，在上，．（1）求的方程；（2）過的直線交于另一點(diǎn)（異于，，與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)．解：（1）在上，①，，，，，，②由①②解得，，故的方程為；（2）證明：設(shè)直線的方程為，直線的方程為．聯(lián)立，得．聯(lián)立消去，整理得，，，即．直線的斜率為，直線的方程為．令，得，即，直線的斜率為，直線的方程為，即，由，解得，．故直線過定點(diǎn)．19．（17分）箱子中有個小球，標(biāo)號為1，2，，，現(xiàn)從中摸2次球，每次摸一個小球，記錄標(biāo)號后放回．已知每次摸出小球的標(biāo)號服從概率分布，其中，2，，，．當(dāng)不全為0時，該箱子中的小球是不均勻的，否則是均勻的．（1）記第一次摸出的小球標(biāo)