2026屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)專題：01集合與常用邏輯（全國甲卷專用）一、選擇題1．（2025·張掖模擬）已知集合，，則（）A． B． C． D．2．（2025·白云模擬）設(shè)全集．則（）A． B．C． D．3．（2025·四川模擬）已知，；，.下列結(jié)論正確的是（）A．p是真命題，q是真命題 B．p是真命題，是真命題C．是真命題，q是真命題 D．是真命題，是真命題4．（2025·揭陽模擬）已知集合，則（）A． B． C． D．5．（2025·浙江模擬）已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．6．（2025·浙江模擬）已知集合，則（）A． B． C． D．7．（2025·廣東模擬）設(shè)表示非空集合中元素的個(gè)數(shù)，已知非空集合.定義，若，且，則實(shí)數(shù)的所有取值為（）A．0 B．0，C．0， D．，0，8．（2025·豐臺(tái)模擬）已知是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集．設(shè)是中兩點(diǎn)間距離的最大值，是中的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，是表示的圖形的面積，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、多項(xiàng)選擇題9．（2025·德陽模擬）已知是復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A．若，則B．C．是的充要條件D．若，則中至少有一個(gè)為010．（2025·廣東模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋渲袨榻o定的常數(shù)，且不為常函數(shù)，則（）A．B．當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)C．或1是存在的充要條件D．當(dāng)時(shí)，沒有最值11．（2024高三上·長春模擬）已知等比數(shù)列的公比為，且，設(shè)該等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，下列選項(xiàng)正確的是（）A．B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列C．單調(diào)遞增的充要條件為D．當(dāng)時(shí)，滿足的的最小值為9三、填空題12．（2025·金川模擬）現(xiàn)從一含10個(gè)元素的集合的子集中隨機(jī)選出2個(gè)不同的子集，被選出的子集之間必須滿足包含或被包含的關(guān)系，則滿足該選取條件的選法有種.13．（2017·虹口模擬）已知角A是△ABC的內(nèi)角，則“”是“的條件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要條件”、“既非充分又非必要”之一）．14．（2024高三下·湖南模擬）對于非空集合，定義函數(shù)已知集合，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題15．（2025高二下·鄞州期中）若關(guān)于的不等式的解集為A，不等式的解集為．（1）已知A是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)命題，若命題為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．（2025高一下·期中）已知不等式的解集為，設(shè)不等式的解集為集合.（1）求集合.（2）設(shè)全集為R，集合，若是成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．（2025·嘉興模擬）記集合，為集合（）的兩個(gè)子集，且滿足，.定義：（，分別表示集合，中所有元素的和）.（1）當(dāng)時(shí)，求的所有可能的值；（2）求的最小值；（3）設(shè)為不超過的自然數(shù)，且與的奇偶性相同，證明：存在，，使得.18．（2025·四川模擬）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，有．若存在，使得函數(shù)是常函數(shù)，則稱是“階梯函數(shù)”．（1）若是“階梯函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，，寫出的取值范圍；（2）已知滿足：①；②，有．（i）證明：是“階梯函數(shù)”的必要條件是“”；（ii）若所有滿足條件①②的函數(shù)均為“階梯函數(shù)”，猜想的取值范圍并證明．19．（2024高二下·嵩明期中）設(shè)是非空實(shí)數(shù)集，且.若對于任意的，都有，則稱集合具有性質(zhì)；若對于任意的，都有，則稱集合具有性質(zhì).（1）寫出一個(gè)恰含有兩個(gè)元素且具有性質(zhì)的集合，并證明；（2）若非空實(shí)數(shù)集具有性質(zhì)，求證：集合具有性質(zhì)；（3）設(shè)全集，是否存在具有性質(zhì)的非空實(shí)數(shù)集，使得集合具有性質(zhì)？若存在，寫出這樣的一個(gè)集合；若不存在，說明理由.

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】D7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】B,D10．【答案】B,C,D11．【答案】A,B,C12．【答案】13．【答案】充分不必要14．【答案】15．【答案】（1）解：將不等式可化為，

解得，則集合，不等式可化為，

則集合，是的充分不必要條件，是的真子集，

則，的取值范圍是.（2）解：因?yàn)槊}為假命題，所以命題為真命題，則為真命題，令，

則，解得，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．【答案】（1）解：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，則是的兩根，

由韋達(dá)定理可得，則，所以不等式為的解集為：.（2）解：因?yàn)槭浅闪⒌谋匾怀浞謼l件，則是的真子集，當(dāng)時(shí)，，即，符合題意；當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)或兩個(gè)根，

由韋達(dá)定理可知方程兩根同號(hào)，則，所以，

解得，符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.17．【答案】（1）解：若，由于，的對稱性，只需考慮以下情況：，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，，則的所有可能值為：，，，，，；（2）解：首先計(jì)算時(shí)：令，，觀察可知，，且集合，均有項(xiàng)，且這首尾相加為，所以，所以，即此時(shí)的最小值為0.對于其它情況：當(dāng)時(shí)，由為奇數(shù)，由（1）知為奇數(shù)，考慮的子集，中有項(xiàng)，那么參照上面證明存在，滿足，現(xiàn)令，，可知，即此時(shí)最小值為1；當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，為奇數(shù).考慮的子集，中有項(xiàng)，那么參照上面證明存在，滿足，現(xiàn)令，，可知，即此時(shí)最小值為1；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)，為偶數(shù)，考慮的子集，中有項(xiàng)，那么參照上面證明存在，滿足，現(xiàn)令，，可知，

即此時(shí)最小值為0，綜上所述可知當(dāng)或時(shí)，，或時(shí)，；（3）證明：首先證明與的奇偶性相同：由題意知，，因?yàn)槭桥紨?shù)，所以對于任意的，，與的奇偶性相同，下面用數(shù)歸法證明：當(dāng)與奇偶性相同且時(shí)，存在，滿足，當(dāng)或時(shí)，由（2）可知存在，滿足，假設(shè)時(shí)成立（為小于且與其奇偶性相同自然數(shù)），即此時(shí)存在，滿足，由于，不妨令，若此時(shí)，

則可令，），那么，即說明時(shí)命題成立，若此時(shí)，必存在正整數(shù)滿足且（否則有，，此時(shí)有），令，，此時(shí)，滿足：，即時(shí)命題立，由歸納法可知命題成立，當(dāng)時(shí)，令，，，綜上所述命題成立.18．【答案】（1）解：∵當(dāng)時(shí)，，∴，

∵是階梯函數(shù)，∴是常數(shù)，

由于，所以這個(gè)常數(shù)為，

∴，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，∵，都有，

∴，∴的取值范圍是，

∴的取值范圍是．（2）（i）證明：由題意得或，

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，

∵，∴，

根據(jù)已知條件得出，∴，

因?yàn)?，∴?/p>

當(dāng)，同理可得，

所以為階梯函數(shù)的必要條件是．

（ii）解：猜想下面證明這個(gè)結(jié)論．

當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，，不是階梯函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，，不是階梯函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，，不是階梯函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，

若，

則，矛盾，

∴，

∴①，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

②，

由①知時(shí)，②成立，

假設(shè)時(shí)，②成立，

則，

∵，

∴，

，

∴當(dāng)時(shí)，②成立，

同理當(dāng)時(shí)，②成立，∴②成立，

假設(shè)，

則，

即，③，

又因?yàn)椋?/p>

所以，所以，

即，所以，與③矛盾，∴假設(shè)不成立，

所以為階梯函數(shù)，

則的取值范圍是．19．【答案】（1）恰含有兩個(gè)元素且具有性質(zhì)的集合；證明：.（2）若集合具有性質(zhì)，不妨設(shè)，由非空數(shù)集具有性質(zhì)，有.①，易知此時(shí)集合具有性質(zhì).②數(shù)集只含有兩個(gè)元素，不妨設(shè)，由，且，解得：，此時(shí)集合具有性質(zhì).③實(shí)數(shù)集含有兩個(gè)以上的元素，不妨設(shè)不為1的元素，則有，由于集合具有性質(zhì)，所以有，這說明集合具