11.3空間中的平行關(guān)系11.3.1平行直線與異面直線【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握空間中兩條直線平行的判定與性質(zhì),通過空間平行線的傳遞性論證兩條直線的平行關(guān)系,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng);2.理解并掌握等角定理,并會應(yīng)用;3.理解異面直線的定義,借助實物理解異面直線的概念,培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng);4.了解空間四邊形的定義.◆知識點(diǎn)一平行線的傳遞性1.過直線外一點(diǎn)與已知直線平行.

2.空間平行線的傳遞性(1)文字語言:平行于同一條直線的兩條直線.

(2)符號語言:設(shè)a,b,c是三條直線,如果a∥b,a∥c,則.

(3)圖形語言:如圖所示.(4)作用:判斷空間兩條直線.

◆知識點(diǎn)二空間中的等角定理定理:如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別,并且方向,那么這兩個角.

【診斷分析】1.當(dāng)一個角的兩條邊與另一個角的兩條邊分別對應(yīng)平行時,試問這兩個角在什么情況下相等,在什么情況下互補(bǔ)?2.如果兩條直線和第三條直線成等角,那么這兩條直線平行嗎?◆知識點(diǎn)三異面直線及其判定方法1.定義異面直線指的是空間中.兩條直線異面,也就是這兩條直線.

2.判定方法與一個平面相交于一點(diǎn)的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點(diǎn)的直線異面,如圖.【診斷分析】判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若直線l與平面α相交,則l與平面α內(nèi)的任意直線都是異面直線. ()(2)若兩條異面直線中的一條與一個平面平行,則另一條直線一定與該平面相交. ()◆知識點(diǎn)四空間四邊形空間四邊形可以看成由一個四面體的構(gòu)成的圖形.

【診斷分析】1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)平行四邊形是空間四邊形的一種. ()(2)空間四邊形與四面體是一回事. ()2.空間四邊形的對角線之間有何關(guān)系?◆探究點(diǎn)一證明空間中兩直線平行[探索]在平面中,平行于同一條直線的兩條直線互相平行,那么該結(jié)論在空間中還成立嗎?

例1如圖所示,已知E,F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中點(diǎn),求證:四邊形BED1F是平行四邊形.變式如圖所示,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AC,CD,BD,AB的中點(diǎn),且AD=BC,求證:四邊形EFGH是菱形.[素養(yǎng)小結(jié)]證明兩條直線平行的方法:(1)平行線定義;(2)三角形中位線、平行四邊形性質(zhì)等;(3)空間平行線的傳遞性.拓展如圖,A是平面BCD外的一點(diǎn),G,H分別是△ABC,△ACD的重心.求證:GH∥BD.◆探究點(diǎn)二等角定理的應(yīng)用例2如圖,已知棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,AD的中點(diǎn).(1)求證:四邊形MNA1C1是梯形;(2)求證:∠DNM=∠D1A1C1.變式如圖,在四面體A-BCD中,E,F,G分別為棱AB,AC,AD上的點(diǎn).若EF∥BC,FG∥CD,則△EFG和△BCD有什么關(guān)系?為什么?[素養(yǎng)小結(jié)]等角定理,在證出兩個角的對應(yīng)兩邊分別平行后,要借助于圖形判斷兩個角是相等,還是互補(bǔ).在證相等時,不要忽略“對應(yīng)兩邊方向”的判斷.◆探究點(diǎn)三空間異面直線的判定例3如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點(diǎn),則下列敘述正確的是 ()A.直線CC1與直線B1E是異面直線B.直線CC1與直線AE是共面直線C.直線AE與直線B1C1是異面直線D.直線AE與直線BB1是共面直線變式在下列圖中,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則直線GH,MN是異面直線的圖形有.(填上所有正確答案的序號)

[素養(yǎng)小結(jié)]判定或證明異面直線的方法:(1)定義法:由定義法判定兩直線不可能在同一平面內(nèi),常用反證法.(2)判定定理:過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.1.若OA∥O'A',OB∥O'B',且∠AOB=130°,則∠A'O'B'= ()A.130° B.50°C.130°或50° D.不能確定2.若a和b是異面直線,b和c是異面直線,則a和c的位置關(guān)系是 ()A.異面或平行B.異面或相交C.異面D.相交、平行或異面3.若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列說法正確的是 ()A.l至少與l1,l2中的一條相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l與l1,l2都不相交4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別為棱AB,AC的中點(diǎn),則直線B1M與C1N的位置關(guān)