689期【導數(shù)】處理雙變量問題的10大視角在近兩個月，優(yōu)質(zhì)模擬試卷中大都以雙變量作為壓軸題考察，比如齊魯名校4月三聯(lián)、寧波二模、浙江臺州二模、武漢四調(diào)、浙江嘉興四月?？?、湖北省七市州3月聯(lián)考、武漢二調(diào)等等。從這些比較優(yōu)秀的?？荚嚲韥砜?，今年高考考察雙變量的趨勢還是很大的，而且2022甲卷導數(shù)也再一次考察了雙變量中的極值點偏移問題！更甚至在2022新高考全國I卷首次出現(xiàn)三變量問題的端倪后，多地二模甚至三模的導數(shù)多變量問題真的是越來越卷了！從雙變量到三變量，甚至是多變量！通常，我們遇到的極值點或極值點偏移問題多以二元為主，但是在近兩個月的模考卷中出現(xiàn)了三元極值點問題或三變量問題，比如廣東二模、湖北七市（州）一調(diào)、金華十校聯(lián)考等等都以三變量問題作為壓軸。同雙變量一樣，解決這些三變量甚至多變量導數(shù)題的核心思想是不變的——消元！消元的方法有很多，在雙變量問題中可以差值比值代換，主元法，構(gòu)造偏差函數(shù)等等，這些方法同樣適用于多變量！這一期，給一輪復習中的同學們梳理并系統(tǒng)介紹一下處理雙變量問題的10大視角。一、極值點偏移構(gòu)造偏差函數(shù)二、比（差）值代換消元三、三極值點三變量問題命制背景——帕德逼近四、整體劃歸，統(tǒng)一變量法五、同構(gòu)型雙變量六、切線估計與“剪刀差模型”七、主元法八、不等式放縮九、多項式擬合十、從對數(shù)均值到指數(shù)均值不等式【知識精講】一、極值點偏移構(gòu)造偏差函數(shù)【【極值點偏移現(xiàn)象】（1）.已知函數(shù)的圖象的極值點為，若的兩根的中點剛好滿足即極值點在兩根的正中間，此時極值點沒有偏移，函數(shù)在兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，如圖(1)．（2）．若，則極值點偏移，此時函數(shù)在兩側(cè)的函數(shù)值變化快慢不同，如圖(2)(3)．【【極值點偏移題目特征】①.函數(shù)的極值點為；②.函數(shù)，然后證明：或.【【構(gòu)造偏差證明極值點偏移的基本方法】①.構(gòu)造一元差函數(shù)或是；②.對差函數(shù)求導，判斷單調(diào)性；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）③.結(jié)合或，判斷的符號，從而確定與的大小關(guān)系；④.由的大小關(guān)系，得到，（橫線上為不等號）；⑤.結(jié)合單調(diào)性得到，進而得到.【【拐點偏移現(xiàn)象】當理解到偏差函數(shù)的本質(zhì)時，很多不是極值點偏移的雙變量問題也可利用它來解決，例如下面的拐點偏移.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）無偏移偏移之后所以，拐點偏移類的題目的命制特點便是：已知函數(shù)滿足，證明：或者，讀者應該注意其與極值點偏移在命題表述上的區(qū)別.下面我們通過幾個例題來展示拐點偏移類問題的解法，其依然是構(gòu)造偏差函數(shù)來證明偏移.類型1.構(gòu)造偏差函數(shù)證明極值點偏移【例1】（2021新高考1卷）【例1】（2021新高考1卷）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)為兩個不相等的正實數(shù)，且，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，又，當時，，當時，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）因為，故，即，故，設(shè)，由（1）可知不妨設(shè).因為時，，時，，故.先證：，若，必成立.若，要證：，即證，而，故即證，即證：，其中.設(shè)，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）則，因為，故，故，所以，故在為增函數(shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立.【例2】（2016全國1卷）已知函數(shù)【例2】（2016全國1卷）已知函數(shù)有兩個零點.（1）求的取值范圍；（2）設(shè)是的兩個零點，證明：.【解析】（1）過程略去，綜上，的取值范圍為．（2）不妨設(shè)，由（1）知，，在單調(diào)遞減，所以等價于，即．由于，而，所以．設(shè)，則．所以當時，，而，故當時，．從而，故．【點睛】從上述的例子可以看出，構(gòu)造偏差函數(shù)的實質(zhì)是利用函數(shù)單調(diào)性在解（證明）不等式，當雙變量分別位于極值點兩側(cè)時，可將一側(cè)的變量利用所證結(jié)論（極值點偏移）轉(zhuǎn)化到同一側(cè)利用函數(shù)單調(diào)性完成證明.于是，構(gòu)造偏差函數(shù)還可以用于下面的乘積型偏移.類型2.乘積型偏移【例3】（2022全國甲卷）【例3】（2022全國甲卷）已知函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個零點，則．【解析】（1）的取值范圍為（2）由題知，一個零點小于1，一個零點大于1，不妨設(shè)，要證,即證，因為，即證，因為,即證即證，即證下面證明時，，設(shè)，則，設(shè)所以，所以，所以，所以在單調(diào)遞增即,所以，令，所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上，，所以.【點睛】因為，即證，實質(zhì)就是偏差函數(shù)的核心思想！類型3.拐點偏移【例4】已知函數(shù)【例4】已知函數(shù).（1）求的極大值；（2）設(shè)，是兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【解析】因為的定義域為，，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)的極大值為.（2）證明：因為，則，即，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為、是兩個不相等的正數(shù)，且滿足，不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則.當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減，又因為函數(shù)在上連續(xù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，即，故函數(shù)在上為增函數(shù)，故，所以，，且，函數(shù)在上為減函數(shù)，故，則.二、比（差）值代換消元【【比值代換】比值代換.它不僅可以解決很多極值點偏移問題，還可以解決很多其他的雙變量問題.通過比值代換，我們可以將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題來處理，達到消元的效果.在處理比值代換時，首先應該注意一些常見的變換結(jié)構(gòu)：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）方法1.假設(shè)，這樣的話欲證即證，于是，我們需要進一步找尋與的關(guān)系，從而實現(xiàn)比值代換.方法2.對數(shù)減法：或是方法3.齊次分式：例如：等；方法4.合分比結(jié)構(gòu)：如果，則.方法5.非對稱型：如或者商型結(jié)構(gòu)：或分式型等是應用比值代換的天然沃土.【【對數(shù)均值不等式】兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義為對數(shù)平均與算術(shù)平均?幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對數(shù)平均不等式），取等條件：當且僅當時，等號成立．【證明】不失一般性，可設(shè)．（1）先證：……①不等式①（其中）構(gòu)造函數(shù)，則．因為時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立.（2）再證：……②（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）不等式②（）構(gòu)造函數(shù)，則．因為時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式②成立；綜合（1）（2）知，對，都有對數(shù)平均不等式成立，當且僅當時，等號成立．【注意】對數(shù)均值不等式實際上是對數(shù)不等式鏈：在雙變元情形下的應用.【例5】（【例5】（23屆福建七市聯(lián)考）已知函數(shù)．（1）討論的極值點個數(shù)；（2）若有兩個極值點，且，當時，證明：．【解析】（1）當時，函數(shù)沒有極值點；當時，函數(shù)有兩個極值點．（2）由（1）中知，則是方程的兩根，不妨令，則，令解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，大致圖像如圖所示，由圖像可知當時，，，下先證（*）由，兩邊取對數(shù)得，作差得，（*）等價于證明，令，，故在上單調(diào)遞增，從而，即證得，所以，再證明，令，故在上單調(diào)遞減，則，所以，再令，，則在上單調(diào)遞增，故，即證得．【例6】（【例6】（23屆武漢二月調(diào)考）已知關(guān)于的方程有兩個不相等的正實根，且.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)為常數(shù)，當變化時，若有最小值，求常數(shù)的值.【解析】（2）因為，由（1）得，則，設(shè)，則，即，由有最小值，即有最小值.設(shè)，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）那么.記，由于，若，則，可得單調(diào)遞增，此時，即單調(diào)遞增，此時在沒有最小值，不符合題意.若，時，，則在單調(diào)遞減，時，，則在單調(diào)遞增.又，，且趨向于時趨向，故且唯一，使得.此時時，，即，此時在上單調(diào)遞減；時，，即，在上單調(diào)遞增.所以時，有最小值，而，即，整理得，故.由題意知.設(shè)設(shè).設(shè)，故遞增，.此時遞增，有，令且，則，即在上遞增，故，此時，故在遞增，而知，的唯一解是.故的唯一解是，即.綜上所述，.【例7】（【例7】（23屆南通二模）已知函數(shù)．（1）若，，求實數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：．【解析】（1）實數(shù)a的取值范圍是.（2）由（1）知，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點，是的極小值點.由（1）知，，，則.綜上，要證，只需證，因為，設(shè)，.

（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以，即得成立．所以原不等式成立.三、三極值點三變量問題命制背景——帕德逼近通常，我們遇到的極值點或極值點偏移問題多以二元為主，但是在最近的?？季碇谐霈F(xiàn)了三元極值點問題或三變量問題，比如湖北七市（州）一調(diào)、金華十校聯(lián)考等等都以三變量問題作為壓軸。解決這些三變量導數(shù)題的核心思想就是消元，但是如何做到快速又合理地消元，需要我們了解一些關(guān)于高觀點的導數(shù)背景——帕德逼近。【帕德逼近】【帕德逼近】給定兩個正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德逼近定義為：且滿足：；.實際上，由定義可知，若令，即的階帕德逼近便是在處的泰勒逼近。這便是兩個展開之間的基本關(guān)系，換句話說，帕德逼近是比泰勒逼近使用范圍更廣的一種逼近。下圖是兩個常用函數(shù)：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的低階帕德逼近（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）【帕德不等式】【帕德不等式】從上表可以推出一些重要的帕德不等式：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）【三變量命題中常用的兩個函數(shù)】【三變量命題中常用的兩個函數(shù)】三變量命題中常用的兩個函數(shù)，.（1）要特別注意這兩個函數(shù)的零點，首先，一定是一個零點，其次，當滿足一定條件時，還會再有兩個零點出現(xiàn)，并且，這兩個函數(shù)有一個很重要的特點，若，則有，這就意味著剩下的兩個零點會有隱含關(guān)系：，這個關(guān)系在解決相關(guān)多極值點問題時至關(guān)重要?。?）要注意特殊的零點，比如上面兩個函數(shù)中的特殊點，換句話說，有的多元極值點問題就是個紙老虎，會有個別極值點（零點是可求）.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）（3）注意一些可能的極值點偏移情形：如果上述可得：，當時，會有兩個零點且，下面典例中會證明。【【例8】（湖北七市州一調(diào)）（12分）已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有3個零點，，，其中．（?。┣髮崝?shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．【解析】（1）當時，，，（1分）則在恒成立，所以在單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．（2分）（2）（ⅰ），，，則除1外還有兩個零點，（3分），令，當時，在恒成立，則，所以在單調(diào)遞減，不滿足，舍去；當時，要是除1外還有兩個零點，則不單調(diào)，所以存在兩個零點，所以，解得，（5分）當時，設(shè)的兩個零點為，則，，所以．當時，，，則單調(diào)遞增；當時，，，則單調(diào)遞減；當時，，，則單調(diào)遞增；又，所以，，而，且，，且，所以存在，，使得，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）即有3個零點，，．綜上，實數(shù)a的取值范圍為．（7分）（ⅱ）因為，所以若，則，所以．當時，先證明不等式恒成立，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即當時，不等式恒成立．（10分）由，可得，因為，所以，即，兩邊同除以，得，所以．（12分）【【例9】（金華十校聯(lián)考）已知函數(shù)，記.（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)有三個零點，且.（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：.【解析】注意到，故只需證明，依題.于是，由可得：，同除，且注意到，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）可得：.【點睛】更多三變量例題可參考小π之前的推文《621期【導數(shù)】三極值點三變量問題命制背景——帕德逼近》鏈接：/s/FAdDoMEN7f7A1bpJ2KQoaw四、整體劃歸，統(tǒng)一變量法【例10】（【例10】（23屆泉州一診）．已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若在有兩個極值點，求證：．【解析】（1）綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當或時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.在上由兩個極值點，或，且為方程的兩個根，即，，，，即，將，代入上式，可得：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派），由題意，需證，令，求導得，當時，，則在上單調(diào)遞減，即，故.【點睛】背景分析：若，設(shè)的兩個極值點為，下面我們來計算的表達式.，則是方程的兩個根（不妨設(shè)）.由，得，同理，由求根公式得：，，則，.于是本題中，，最后考慮兩個極值點的范圍，即，可得證.【例11】（【例11】（23屆溫州二模）已知函數(shù)．（1）若，求方程的解；（2）若有兩個零點且有兩個極值點，記兩個極值點為，求的取值范圍并證明．【解析】（1）方程的解為.（2）令，得，設(shè)，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，當時，當時，若有兩個零點，則，故，，令，得，設(shè)，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，當時，當時，若有兩個極值點，則，綜上，.不妨令，因為且，由與圖象得，由為的兩根得，兩式分別乘并整理得，所以，要證，即證，即證：，由于，所以，只需證，即證，（），令，（），當時，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，得證.五、同構(gòu)型雙變量【多變量同構(gòu)型零點的基本規(guī)律】【多變量同構(gòu)型零點的基本規(guī)律】1、，圖象如下，左端為，右端為.性質(zhì)：（1）；（2）同構(gòu)特性：（3）若方程存在三個實數(shù)根，分別記為，則有（4）若方程存在四個實根，記為，且有，則有：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）2、，圖象如下：，左端為，右端為.性質(zhì)：（1）；（2）同構(gòu)特性：（3）若方程存在三個實數(shù)根，分別記為，則有（4）若方程存在四個實根，記為，且有，則有：【例12】已知函數(shù)【例12】已知函數(shù)和有相同的最大值.（1）求a；（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數(shù)列.【解析】（1）；（2）由（1）知，由于時，，時，，因此只有才可能滿足題意，記，且，由（1）得在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以存在，使得，設(shè)，則，設(shè)，則，時，，遞減，時，，遞增，所以，所以，是增函數(shù)，時，，，又，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）所以存在，使得，即此時與有兩個交點，其中一個交點在內(nèi)，另一個交點在內(nèi)，同理與也有兩個交點，其中一個交點在內(nèi)，另一個交點在內(nèi)，若與和共有三個不同的交點，則其中一個交點為兩條曲線和的公共點，記其橫坐標為，令，則，記與的三個交點的橫坐標從左到右依次為，且滿足，且，即，又，且，且在和上分別單調(diào)，所以，即，所以為的等比中項，所以從左到右的三個交點的橫坐標成等比數(shù)列.六、切線估計與“剪刀差模型”【“剪刀模型”原理】【“剪刀模型”原理】函數(shù)凸凹性：若函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).反之，稱為區(qū)間上的凹函數(shù).切線不等式：在上為凸函數(shù)，，有.反之，若為區(qū)間上的凹函數(shù)，則，有.注：切線不等式是剪刀模型的理論依據(jù).剪刀模型（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）已知函數(shù)為定義域上的凸函數(shù)，且圖象與交于兩點，其橫坐標為，這樣如下圖所示，我們可以利用凸函數(shù)的切線與的交點將的范圍予以估計，這便是切線放縮的基本原理.如圖，在函數(shù)圖象先減后增的情形下，兩條切線和兩條割線即可估計出零點的一個上下界，而切割線的方程均為一次函數(shù)，這樣我們就可以得到一個顯式解（精確解）的估計.【例13】（2023屆皖南八校聯(lián)考）【例13】（2023屆皖南八校聯(lián)考）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）設(shè)曲線與軸正半軸相交于點，曲線在點處的切線為，求證：曲線上的點都不在直線的上方；（2）若關(guān)于的方程（為正實數(shù)）有兩個不等實根，求證：.【解析】（1）證明：由題意可得：，，可得曲線在點處的切線為.令，，當時，，當時，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，曲線上的點都不在直線的上方.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）（2）證明：由（1）可得，解得，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以的最大值為，，曲線在點處的切線為，由（1）得，令，，，∴由零點的存在性定理知，同理可得曲線在點處的切線為，設(shè)與的交點的橫坐標分別為，則，.下面證明：.，，且，.七、主元法【含參函數(shù)的恒成立證明】【含參函數(shù)的恒成立證明】例如，對于含有參數(shù)a的函數(shù)，，現(xiàn)要證明，，．假若此時的單調(diào)性與值域難以分析，可考慮將看作為關(guān)于a的函數(shù)，此時只需證，，即可，若的單調(diào)性或值域容易分析，那么將a做為主元來研究將會是一個不錯的選擇【同范圍雙獨立變量的不等式證明】【同范圍雙獨立變量的不等式證明】像“對數(shù)平均值不等式”“指數(shù)平均值不等式”“二元形式的琴生不等式”，可以說是這類題目的代表了，類似于這樣的不等式都可以考慮用主元法來證明．例如，例如，已知是定義D上的函數(shù)，為的導函數(shù)，且在D上單調(diào)遞增，證明：，．【證明】主元法對于而言，可以任選a或b為主元，來研究的值域，比如設(shè)，此時的b為參變量，則．由于單調(diào)遞增，容易得出：時，，，即，單調(diào)遞減；時，，，即，單調(diào)遞增；即．所以，．當然，解決數(shù)學題目的方法絕對不是一成不變且套路化的，遇到多元的數(shù)學問題，也不要刻意使用主元法，先分析式子結(jié)構(gòu)和變量之間的關(guān)系，權(quán)衡各種方法的利弊，選擇合適的角度切入．比如，下面這個不等式的兩種證明方法中，【解法2】反倒更勝一籌？又又例如，證明：，．【解法1】主元法等箏價于．設(shè)，，則，當時，，單調(diào)遞增，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）即．所以，，．【解法2】換元法（整體代換）等價于，即．則只需證，．令，．當時，，單調(diào)遞增，．所以，時，．【例14】（2022北京卷）【例14】（2022北京卷）已知函數(shù)．（1）求曲線在點，處的切線方程；（2）設(shè)，討論函數(shù)在，上的單調(diào)性；（3）證明：對任意的，，有．【解析】（1）（2）由（1）有：，，令，令，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）設(shè)，恒成立，故在，單調(diào)遞增，又因為，故在，恒成立，故，故在，單調(diào)遞增；（3）設(shè),其中，，由（2）有在,單調(diào)遞增，又因為,所以在，即，所以在，單調(diào)遞增，因為，則,而，故，得證.八、不等式放縮首先來梳理常見的不等式及其構(gòu)造原理.1.切線不等式：高中幾個重要的函數(shù)1.切線不等式：高中幾個重要的函數(shù)都具有凸凹性，這樣我們便可通過切線來構(gòu)造不等式，具體的原理請見《422期【導數(shù)】精講系列3——放縮》，鏈接/s/lkyHdSh6sG0q28ZTm0_u2g這里只列舉一些重要的切線不等式：；1.2；將這兩個切線不等式進行合適的取值與加減項，又可得到更多的不等式：①②；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）③；2.高次不等式放縮2.1；2.2；2.3；2.4.3.分式不等式放縮3.13.24.數(shù)列不等式4.數(shù)列不等式?。簞t：取：則：以上不等式證明可以參考小π之前的文章《導數(shù)找點技巧中常用的放縮不等式》鏈接：/s/NYJGLGZrYB3QZgGaX4EcUA【例15】（【例15】（2023屆湖北七市州聯(lián)考T22）．已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有3個零點，，，其中．（ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．【解析】（1）當時，，，則在恒成立，所以在單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．（2）（?。?，，，則除1外還有兩個零點，，令，當時，在恒成立，則，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）所以在單調(diào)遞減，不滿足，舍去；當時，除1外還有兩個零點，則不單調(diào)，所以存在兩個零點，所以，解得，當時，設(shè)的兩個零點為，則，，所以．當時，，，則單調(diào)遞增；當時，，，則單調(diào)遞減；當時，，，則單調(diào)遞增；又，所以，，而，且，，且，所以存在，，使得，即有3個零點，，．綜上，實數(shù)a的取值范圍為．證明：因為，所以若，則，所以．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）欲證，代入可得只需證明：時，，構(gòu)造函數(shù)證明.（區(qū)別于標準答案的直接構(gòu)造，那誰想得到，消掉參數(shù)是解題方向）當時，先證明不等式恒成立，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即當時，不等式恒成立．由，可得，因為，所以，即，兩邊同除以，得，即，所以．九、多項式擬合【例16】（2021新高考1卷）【例16】（2021新高考1卷）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【解析】如圖，考慮用二次函數(shù)擬合上述曲線，只需保證二次函數(shù)在頂點處的鄰域內(nèi)擬合即可.可將在處二階泰勒展開，故只需滿足方程組，求得：.即.這樣的話，的根為，且，由，得證.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）【例17】【例17】（2020浙江）已知，函數(shù).證明：函數(shù)在上有唯一零點；記為函數(shù)在上的零點，證明：；.．【解析】（1）略.（2）記.可證得：，且的根為，同理，的根為.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）最后，結(jié)合三個函數(shù)的圖象可知.【點睛】實際上還可以用多項式曲線來擬合指對項，從而使得零點可解進而估計出零點范圍.十、從對數(shù)均值到指數(shù)均值不等式【【對數(shù)均值不等式】兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義為對數(shù)平均與算術(shù)平均?幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對數(shù)平均不等式），取等條件：當且僅當時，等號成立．【證明】不失一般性，可設(shè)．（1）先證：……①不等式①（其中）構(gòu)造函數(shù)，則．因為時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立.（2）再證：……②（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）不等式②（）構(gòu)造函數(shù)，則．因為時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式②成立；綜合（1）（2）知，對，都有對數(shù)平均不等式成立，當且僅當時，等號成立．注意：對數(shù)均值不等式實際上是對數(shù)不等式鏈：在雙變元情形下的應用.【【對數(shù)不等式鏈】【形式1】【形式2】；【形式3】.【【對數(shù)均值不等式的推廣命題】已知恒成立，求之間的關(guān)系？【【對數(shù)均值不等式推論】不等式恒成立的必要條件是。【證明】關(guān)于該問題是否成立，可以求導證明。（下面將寫成）.令分子，，，當時，，則恒成立，所以，在單調(diào)遞增，，所以恒成立。當時，在存在兩個零點，記為且，則（因為）。所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。所以在存在極小值。因此，當時，不等式恒成立。又因為，所以，因此滿足，為求出與關(guān)系，考慮臨界情況，不妨令，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學派）兩式相除消去得：，代入解得（關(guān)注微信公接下來，怎樣得到與的關(guān)系，這需要一些技巧！我們知道關(guān)于的不等式，則綜上所述，不等式恒成立的必要條件是。此推論的的典型應用就是在武漢二調(diào)中的壓軸題，如下【【武漢二調(diào)