728期【數(shù)列】盤點(diǎn)新教材上數(shù)列求和23個(gè)命題方向命題方向1公式法求和分組轉(zhuǎn)化法求和5模型命題方向2分組轉(zhuǎn)化求和之等差+等比型求和型命題方向3分組轉(zhuǎn)化求和之等差（等比）+裂項(xiàng)型命題方向4分組轉(zhuǎn)化求和之絕對(duì)值求和（分段求和）型命題方向5分組轉(zhuǎn)化求和之奇偶型求和型命題方向6分組轉(zhuǎn)化求和之正負(fù)相間求和(并項(xiàng)求和）型命題方向7倒序相加法求和錯(cuò)位相減法求和2模型命題方向8錯(cuò)位相減求和之等差×等比型命題方向9錯(cuò)位相減求和之等差/等比型裂項(xiàng)相消法求和9模型命題方向10裂項(xiàng)相消求和之等差型命題方向11裂項(xiàng)相消求和之無理型命題方向12裂項(xiàng)相消求和之指數(shù)型命題方向13裂項(xiàng)相消求和之對(duì)數(shù)型命題方向14裂項(xiàng)相消求和之冪型命題方向15裂項(xiàng)相消求和之三角函數(shù)型命題方向16裂項(xiàng)相消求和之通項(xiàng)與前n項(xiàng)和、前n項(xiàng)積關(guān)系型命題方向17裂項(xiàng)相消求和之正負(fù)相間型裂項(xiàng)型命題方向18裂項(xiàng)相消求和之先放縮后裂項(xiàng)求和型命題方向19插入或構(gòu)造新數(shù)列求和命題方向20利用周期求和數(shù)列求和實(shí)際應(yīng)用命題方向21數(shù)列求和實(shí)際應(yīng)用之分期付款模型命題方向22數(shù)列求和實(shí)際應(yīng)用之產(chǎn)值增長(zhǎng)模型命題方向23數(shù)列求和實(shí)際應(yīng)用之其他模型1、公式法公式法：如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式來求和.對(duì)于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))③數(shù)列前項(xiàng)和重要公式：（1）（2）（3）（4）（5）等差數(shù)列中，；（6）等比數(shù)列中，.2、分組轉(zhuǎn)化法有一類數(shù)列SKIPIF1<0，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求{an}的前n項(xiàng)和．注：①形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減②形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減③形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減(2)通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．注：（1）分奇偶各自新數(shù)列求和（2）要注意處理好奇偶數(shù)列對(duì)應(yīng)的項(xiàng)：①可構(gòu)建新數(shù)列；②可“跳項(xiàng)”求和(3)正負(fù)相間求和：①奇偶項(xiàng)正負(fù)相間型求和，可以兩項(xiàng)結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。②如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時(shí)候，直接代入偶數(shù)項(xiàng)公式，再加上最后的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)。（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）注：在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.3、倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)便使用了此法.用倒序相加法解題的關(guān)鍵，就是要能夠找出首項(xiàng)和末項(xiàng)之間的關(guān)系，因?yàn)橛袝r(shí)這種關(guān)系比較隱蔽.注：倒序求和，多是具有中心對(duì)稱的4、錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減求和方法(1)適用條件：若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；(2)基本步驟(3)四步法用錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和過程可概括為“一加、二乘、三減、四除”八字,以為例第一步——“一加”.“一加”,即將數(shù)列的各項(xiàng)展開相加,對(duì)于數(shù)列bn有第二步——“乘”.“二乘”,即對(duì)數(shù)列的每一項(xiàng)都乘上等比數(shù)列的公比,對(duì)于bn=n3n,包含的等差數(shù)列的通項(xiàng)為n,等比數(shù)列的通項(xiàng)為第三步—“減”.“三減”,用“一加”所得等式減去“二乘”所得等式,相減過程注意錯(cuò)位,即Tn?13第四步——“四除”.“四除”,將“三減”所得等式的兩邊同時(shí)除以相同系數(shù),再整理結(jié)果,可得Tn(4)注意事項(xiàng)：①注意題目類型,特別是數(shù)列中等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形;②在寫出Sn與qSn的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出Sn－qSn；③若等比數(shù)列的公比為參數(shù),則需要討論公比為1和不為1兩種情形.④作差后，等式右邊有第一項(xiàng)、中間n－1項(xiàng)的和式、最后一項(xiàng)三部分組成；⑤運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常把b2＋b3＋…＋bn這n－1項(xiàng)和看成n項(xiàng)和，把－anbn＋1寫成＋anbn＋1導(dǎo)致錯(cuò)誤．(5)通法探究即萬能公式從上述對(duì)錯(cuò)位相減法的構(gòu)建過程的探究中可知,該過程較為固定,故可將其整理為適用的萬能公式,后續(xù)直接代人即可求解.即對(duì)于可分為等差數(shù)列和等比數(shù)列相乘形式的數(shù)列Cn(通項(xiàng)公式Cn=(a?n+b)qn已知bn=n3n,變形可得bn=13n.5、裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的通項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的，其解題的關(guān)鍵就是準(zhǔn)確裂項(xiàng)和消項(xiàng)．(1)裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)在利用裂項(xiàng)相消求和時(shí)應(yīng)注意：善于識(shí)別裂項(xiàng)類型（1）在把通項(xiàng)裂開后，是否恰好能利用相應(yīng)的兩項(xiàng)之差，相應(yīng)的項(xiàng)抵消后是否只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，或者只剩下前邊兩項(xiàng)和后邊兩項(xiàng)，有時(shí)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面剩兩項(xiàng),或者前面剩幾項(xiàng),后面也剩幾項(xiàng);（2）對(duì)于不能由等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求和問題，一般需要將數(shù)列的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的拆分，將通項(xiàng)裂項(xiàng)后,有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項(xiàng)之差或系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.轉(zhuǎn)化成某個(gè)新的等差或者等比數(shù)列進(jìn)行求和。應(yīng)用公式時(shí)，要保證公式的準(zhǔn)確性，區(qū)分是等差還是等比數(shù)列的通項(xiàng)還是前n項(xiàng)和公式。（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（3）使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫末被消去的項(xiàng)，末被消去的項(xiàng)前后對(duì)稱的特點(diǎn)，漏掉的系數(shù)裂項(xiàng)過程中易出現(xiàn)丟項(xiàng)或者多項(xiàng)的錯(cuò)誤，造成計(jì)算結(jié)果上的錯(cuò)誤，實(shí)質(zhì)上也是造成正負(fù)相消是此法的根源目的。(4)常見的裂項(xiàng)技巧①等差型等差型是裂項(xiàng)相消法中最常見的類型，也是最容易掌握的。設(shè)等差數(shù)列的各項(xiàng)不為零，公差為，則，另外常見的類型有：（1）特別注意拓展：（3）分式的裂項(xiàng)：解答過程通過在分母上“減項(xiàng)”實(shí)現(xiàn)了通項(xiàng)的升冪，從而達(dá)到把通項(xiàng)裂項(xiàng)的目的。（4）如：（5）（6）整式的裂項(xiàng)：解答過程可以通過“增項(xiàng)”實(shí)現(xiàn)了通項(xiàng)的升冪，從而達(dá)到將通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)的目的，具體可使用待定系數(shù)法求參數(shù).（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（7）（8）②無理型該類型的特點(diǎn)是，分母為兩個(gè)根式之和，這兩個(gè)根式的平方差為常數(shù)，然后通過分母有理化來達(dá)到消項(xiàng)的目的，有時(shí)在證明不等式時(shí)，常常把分母放縮成兩個(gè)根式之和，來達(dá)到消項(xiàng)化簡(jiǎn)的目的。常見的有eq\f(1,\r(n＋k)＋\r(n))=特別注意（3）（4）（5）③指數(shù)型由于，因此一般地有常見的有：（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（1）（2）（3）差指綜合類型（4）（5）（6）（7）（8）（9），設(shè)，易得，于是（10）④對(duì)數(shù)型由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可知：若則⑤冪型（1）（2）（3）⑥正負(fù)相間型裂項(xiàng)（1）形如型，可構(gòu)造，化為，利用正負(fù)相間裂項(xiàng)相消求和（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（2）形如型，可構(gòu)造，化為利用正負(fù)相間裂項(xiàng)相消求和。注意構(gòu)造過程中指數(shù)冪的運(yùn)算。⑦三角型（1）（2）（3）（4），則⑧通項(xiàng)與前n項(xiàng)和關(guān)系型利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系裂項(xiàng)，如數(shù)列的通項(xiàng)可化為⑨常見放縮公式：（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．（11）．6、數(shù)列應(yīng)用問題常見模型(1)單利公式：利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y＝a(1＋xr).(2)復(fù)利公式：利息按復(fù)利計(jì)算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y＝a(1＋r)x.(3)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，對(duì)于時(shí)間x，總產(chǎn)值y＝N(1＋p)x.(4)遞推型：有an＋1＝f(an)與Sn＋1＝f(Sn)兩類.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）(5)數(shù)列與其他知識(shí)綜合，主要有數(shù)列與不等式、數(shù)列與函數(shù)(含三角函數(shù))、數(shù)列與解析幾何等.命題方向1公式法求和1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求數(shù)列的通項(xiàng)公式為；設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使成立的的取值集合.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為．已知，且．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求．3．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的正整數(shù)的最大值.分組轉(zhuǎn)化法求和5模型命題方向2分組轉(zhuǎn)化求和之等差+等比型求和型4．（2023秋·寧夏銀川·高三?？计谀┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．5．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知在公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，，a1，a4，2a8構(gòu)成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問中，并求解.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.6．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，．(1)令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．7．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列，且，，，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.命題方向3分組轉(zhuǎn)化求和之等差（等比）+裂項(xiàng)型8．（2023秋·山西呂梁·高三統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．9．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．命題方向4分組轉(zhuǎn)化求和之絕對(duì)值求和（分段求和）型10．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值．11．（2023·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．12．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，求的最小值.命題方向5分組轉(zhuǎn)化求和之奇偶型求和型13．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）函數(shù)，且，則________．14．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）設(shè)數(shù)列滿足：是的等比中項(xiàng).(1)求的值；(2)求數(shù)列的前20項(xiàng)的和.15．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前40項(xiàng)和.16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是一個(gè)等差數(shù)列；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．（2023·天津和平·耀華中學(xué)校考二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)證明：；(3)設(shè)數(shù)列滿足：．證明：．18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，已知，為，的等比中項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若求數(shù)列的前2n項(xiàng)和命題方向6分組轉(zhuǎn)化求和之正負(fù)相間求和(并項(xiàng)求和）型19．（2023春·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求．20．（2023·廣東深圳·?？级＃┮阎堑炔顢?shù)列，，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記，求.21．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿足：，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.23．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)．24．（2023·云南·校聯(lián)考二模）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出，；(2)若，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和．25．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．命題方向7倒序相加法求和26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值為___________.27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則______．28．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則__________.29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．30．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，，則的前n項(xiàng)和為______.錯(cuò)位相減法求和2模型命題方向8錯(cuò)位相減求和之等差×等比型31．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，（）.記(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.32．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的值．33．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為是與的等比中項(xiàng)，___________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.34．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．35．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.36．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在①；②，與都是等比數(shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且______．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，則按所作第一個(gè)解答計(jì)分．37．（2023·海南?？凇ずＤ现袑W(xué)?？级＃┮阎獢?shù)列和等差數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.命題方向9錯(cuò)位相減求和之等差/等比型38．（2023·江西·江西師大附中校考三模）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．39．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若對(duì)任意正整數(shù)，均有，則數(shù)列的前項(xiàng)和________．40．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.41．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.裂項(xiàng)相消法求和9模型命題方向10裂項(xiàng)相消求和之等差型42．（2023·北京西城·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎菙?shù)列的前項(xiàng)和，且對(duì)任意的正整數(shù)，都滿足：，若，則________，______________．43．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.44．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.45．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)和，證明：.46．（2023·福建廈門·廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．47．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，當(dāng)時(shí)，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．命題方向11裂項(xiàng)相消求和之無理型48．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，．49．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式及；(2)設(shè)__________，求數(shù)列的前項(xiàng)和．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問中，并求解．注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．50．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.命題方向12裂項(xiàng)相消求和之指數(shù)型51．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎?xiàng)數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.52．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)求，及的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，求的最小值.53．（2023·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．54．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，數(shù)列前項(xiàng)積為.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.55．（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．56．（2023春·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？紝ｎ}練習(xí)）數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.57．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知非零數(shù)列，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為（

）A． B．C． D．命題方向13裂項(xiàng)相消求和之對(duì)數(shù)型58．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為2，且滿足（且），．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和．59．（2023·湖北咸寧·校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.命題方向14裂項(xiàng)相消求和之冪型60．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.61．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列中，(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.命題方向15裂項(xiàng)相消求和之三角函數(shù)型62．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，為的前n項(xiàng)和，若，則的范圍為_______________．63．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：對(duì)于任意有，且，若，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則________．64．（2023·山東威海·統(tǒng)考二模）已知2n＋2個(gè)數(shù)排列構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，其中第1個(gè)數(shù)為1，第2n＋2個(gè)數(shù)為8，設(shè)．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．命題方向16裂項(xiàng)相消求和之通項(xiàng)與前n項(xiàng)和、前n項(xiàng)積關(guān)系型65．（2023·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為0，其前n項(xiàng)和滿足，，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.66．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且滿足．(1)求證：為等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前2023項(xiàng)的和M．67．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,數(shù)列的前項(xiàng)積.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.68．（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)積．已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．69．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的積為，證明：．命題方向17裂項(xiàng)相消求和之正負(fù)相間型裂項(xiàng)型70．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和，設(shè)，若對(duì)任意恒成立，則的最小值是___________.71．（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.72．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.73．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．74．（2023·天津·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為（），為等比數(shù)列，公比大于1．已知，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和；(3)設(shè)，求證：．命題方向18裂項(xiàng)相消求和之先放縮后裂項(xiàng)求和型75．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：．76．（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．77．（2023春·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(2)求證：78．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，（其中）．(1)求證：；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．命題方向19插入或構(gòu)造新數(shù)列求和79．（2023·福建莆田·校考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求證數(shù)列的前項(xiàng)和.80．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎?xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求；(2)在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)、之間依次插入、、、，得到數(shù)列、、、、、、、、、、，求的前項(xiàng)和．81．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且滿足．將數(shù)列與的公共項(xiàng)按照由小到大的順序排列，構(gòu)成新數(shù)列．(1)證明：(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．82．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則（

）A． B． C． D．83．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┮阎?xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列和數(shù)列中所有的項(xiàng)，按照從小到大的順序排列得到一個(gè)新數(shù)列，求的前100項(xiàng)和.84．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)能否從中選出以為首項(xiàng)，以原次序組成的等比數(shù)列.若能，請(qǐng)找出公比最小的一組，寫出此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出數(shù)列的前項(xiàng)和；若不能，請(qǐng)說明理由.命題方向20利用周期求和85．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理?準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)?化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（

）A．2698 B．2697 C．2696 D．269586．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)時(shí)代的進(jìn)步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：，，，，，，，，，，，，即，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，則的值為（

）．A． B． C． D．87．（2023秋·河北保定·高三?？计谀┮阎獢?shù)列滿足且，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則=________．88．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，其中，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．89．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.數(shù)列求和實(shí)際應(yīng)用命題方向21數(shù)列求和實(shí)際應(yīng)用之分期付款模型90．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）某顧客在2020年1月1日采用分期付款的方式購(gòu)買一輛價(jià)值2萬元的家電，在購(gòu)買一個(gè)月后2月1日第一次還款，且以后每個(gè)月1日等額還款一次，如果一年內(nèi)還清全部貸款（12月1日最后一次還款），月利率為0.5％.按復(fù)利計(jì)算，則該顧客每個(gè)月應(yīng)還款多少元？（精確到1元，參考值，）（

）A． B． C． D．91．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）“現(xiàn)值”與“終值”是利息計(jì)算中的兩個(gè)基本概念，掌握好這兩個(gè)概念，對(duì)于順利解決有關(guān)金融中的數(shù)學(xué)問題以及理解各種不同的算法都是十分有益的.所謂“現(xiàn)值”是指在期末的金額，把它扣除利息后，折合成現(xiàn)時(shí)的值，而“終值”是指期后的本利和.它們計(jì)算的基點(diǎn)分別是存期的起點(diǎn)和終點(diǎn).例如，在復(fù)利計(jì)息的情況下，設(shè)本金為，每期利率為，期數(shù)為，到期末的本利和為，則其中，稱為期末的終值，稱為期后終值的現(xiàn)值，即期后的元現(xiàn)在的價(jià)值為.現(xiàn)有如下問題：小明想買一座公寓有如下兩個(gè)方案方案一：一次性付全款25萬元；方案二：分期付款，每年初付款3萬元，第十年年初付完；(1)已知一年期存款的年利率為，試討論兩種方案哪一種更好？(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬元，此后每年初漲租金1000元，參照第（1））問中的存款年利率，預(yù)計(jì)第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值.（精確到百元）參考數(shù)據(jù)：命題方向22數(shù)列求和實(shí)際應(yīng)用之產(chǎn)值增長(zhǎng)模型92．