新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)函數(shù)專題專項(xiàng)練習(xí)函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)。掌握函數(shù)的概念、性質(zhì)及其應(yīng)用，對(duì)于培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、提升解題能力至關(guān)重要。本專題專項(xiàng)練習(xí)旨在幫助同學(xué)們系統(tǒng)梳理函數(shù)知識(shí)，鞏固基礎(chǔ)，突破難點(diǎn)，提升綜合應(yīng)用能力。我們將從函數(shù)的概念與表示、函數(shù)的基本性質(zhì)、基本初等函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用等方面入手，通過典型例題分析和針對(duì)性練習(xí)，引導(dǎo)大家深化理解，掌握解題規(guī)律。一、函數(shù)的概念與表示函數(shù)的概念是研究函數(shù)一切性質(zhì)的出發(fā)點(diǎn)。理解函數(shù)的定義，明確函數(shù)的三要素（定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域），并能熟練運(yùn)用不同的方法表示函數(shù)，是學(xué)好函數(shù)的第一步。核心知識(shí)點(diǎn)回顧1.函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。2.函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域。其中，定義域和對(duì)應(yīng)法則是決定函數(shù)的關(guān)鍵，值域由定義域和對(duì)應(yīng)法則確定。3.函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖象法。4.分段函數(shù)：在定義域的不同子集上，函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不同，需要用幾個(gè)不同的式子來表示。分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是多個(gè)函數(shù)。典型例題分析例1：求函數(shù)\(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}\)的定義域。分析：求函數(shù)定義域，就是要找出使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量x的取值范圍。對(duì)于分式，分母不能為零；對(duì)于偶次根式，被開方數(shù)必須非負(fù)。解答：要使函數(shù)\(f(x)\)有意義，需滿足：\[\begin{cases}x+2\geq0\\x-1\neq0\end{cases}\]解得\(x\geq-2\)且\(x\neq1\)。所以，函數(shù)的定義域?yàn)閈([-2,1)\cup(1,+\infty)\)。例2：已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq0\\2x-1,&x>0\end{cases}\)，求\(f(-1)\)和\(f(f(0))\)的值。分析：分段函數(shù)求值，關(guān)鍵是判斷自變量所在的區(qū)間，然后代入相應(yīng)的解析式進(jìn)行計(jì)算。解答：因?yàn)閈(-1\leq0\)，所以\(f(-1)=(-1)^2=1\)。先求\(f(0)\)，因?yàn)閈(0\leq0\)，所以\(f(0)=0^2=0\)。再求\(f(f(0))=f(0)=0\)。專項(xiàng)練習(xí)題1.求函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}+\lg(x+1)\)的定義域。2.已知\(f(x+1)=x^2-2x\)，求\(f(x)\)的解析式。3.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}3x+1,&x\leq0\\\log_2x,&x>0\end{cases}\)，若\(f(a)=3\)，求實(shí)數(shù)a的值。4.畫出函數(shù)\(y=|x-1|\)的圖象，并根據(jù)圖象指出函數(shù)的值域。參考答案與提示1.提示：考慮分母不為零、偶次根式被開方數(shù)非負(fù)、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零。答案：\((-1,2)\)。2.提示：可用換元法或配湊法。設(shè)\(t=x+1\)，則\(x=t-1\)，代入表達(dá)式化簡。答案：\(f(x)=x^2-4x+3\)。3.提示：分\(a\leq0\)和\(a>0\)兩種情況討論，解方程\(f(a)=3\)。答案：\(a=\frac{2}{3}\)（舍去）或\(a=8\)，所以\(a=8\)。4.提示：將絕對(duì)值函數(shù)寫成分段函數(shù)形式再作圖。圖象：V字形，頂點(diǎn)在(1,0)。值域：\([0,+\infty)\)。二、函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì)主要包括單調(diào)性、奇偶性、周期性和最值。這些性質(zhì)是描述函數(shù)變化規(guī)律的重要工具，也是解決函數(shù)問題的關(guān)鍵。核心知識(shí)點(diǎn)回顧1.單調(diào)性：對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x?，x?，若當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)（或f(x?)>f(x?)），則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。2.奇偶性：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，若f(-x)=f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若f(-x)=-f(x)，則f(x)為奇函數(shù)。（定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提）3.周期性：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，T為函數(shù)的周期。4.最值：函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最大值或最小值。典型例題分析例3：證明函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在區(qū)間\((1,+\infty)\)上是增函數(shù)。分析：證明函數(shù)單調(diào)性的定義法步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論。證明：任取\(x_1,x_2\in(1,+\infty)\)，且\(x_1<x_2\)。則\(f(x_1)-f(x_2)=(x_1+\frac{1}{x_1})-(x_2+\frac{1}{x_2})=(x_1-x_2)+(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2})\)\(=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=(x_1-x_2)(1-\frac{1}{x_1x_2})=(x_1-x_2)\frac{x_1x_2-1}{x_1x_2}\)。因?yàn)閈(x_1<x_2\)，所以\(x_1-x_2<0\)。又因?yàn)閈(x_1,x_2\in(1,+\infty)\)，所以\(x_1x_2>1\)，即\(x_1x_2-1>0\)，且\(x_1x_2>0\)。因此，\(f(x_1)-f(x_2)<0\)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)。所以，函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在區(qū)間\((1,+\infty)\)上是增函數(shù)。例4：判斷函數(shù)\(f(x)=\frac{x^3}{1+x^2}\)的奇偶性，并說明理由。分析：先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f(-x)與f(x)的關(guān)系。解答：函數(shù)\(f(x)=\frac{x^3}{1+x^2}\)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。計(jì)算\(f(-x)=\frac{(-x)^3}{1+(-x)^2}=\frac{-x^3}{1+x^2}=-\frac{x^3}{1+x^2}=-f(x)\)。所以，函數(shù)\(f(x)\)是奇函數(shù)。專項(xiàng)練習(xí)題1.函數(shù)\(f(x)=x^2-2ax+3\)在區(qū)間\([2,+\infty)\)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。2.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在R上的偶函數(shù)，且在\((-\infty,0]\)上是減函數(shù)，若\(f(1)=0\)，則不等式\(f(x)>0\)的解集為________。3.設(shè)定義在R上的函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+2)=-f(x)\)，且當(dāng)\(x\in[0,2)\)時(shí)，\(f(x)=2x-x^2\)，求\(f(3)\)的值。4.求函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+5\)在區(qū)間\([0,5]\)上的最大值和最小值。參考答案與提示1.提示：二次函數(shù)對(duì)稱軸為\(x=a\)，開口向上。答案：\(a\leq2\)。2.提示：利用偶函數(shù)的性質(zhì)\(f(x)=f(|x|)\)，且在\([0,+\infty)\)上是增函數(shù)。答案：\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)。3.提示：由\(f(x+2)=-f(x)\)可推出周期為4。\(f(3)=f(1+2)=-f(1)\)。答案：\(f(3)=-(2*1-1^2)=-1\)。4.提示：配方，結(jié)合二次函數(shù)圖象。\(f(x)=(x-2)^2+1\)。答案：最小值為1（x=2時(shí)），最大值為10（x=5時(shí)）。三、基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)是指常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)。我們主要學(xué)習(xí)前五種，它們是構(gòu)成復(fù)雜函數(shù)的基本單元。核心知識(shí)點(diǎn)回顧1.冪函數(shù)：\(y=x^\alpha\)（α為常數(shù)），重點(diǎn)掌握α=1,2,3,-1,1/2時(shí)的圖象和性質(zhì)。2.指數(shù)函數(shù)：\(y=a^x\)（a>0且a≠1），圖象恒過(0,1)點(diǎn)，當(dāng)a>1時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)為減函數(shù)。3.對(duì)數(shù)函數(shù)：\(y=\log_ax\)（a>0且a≠1），圖象恒過(1,0)點(diǎn)，是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。當(dāng)a>1時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)為減函數(shù)。對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)，\(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)，\(\log_aM^n=n\log_aM\)。4.二次函數(shù)：\(y=ax^2+bx+c\)（a≠0），圖象是拋物線，對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、開口方向是研究其性質(zhì)的關(guān)鍵。典型例題分析例5：比較下列各組數(shù)的大?。?1)\(0.8^{0.7}\)與\(0.8^{0.9}\)；(2)\(\log_{0.7}0.8\)與\(\log_{0.7}0.6\)；(3)\(3^{0.5}\)與\(\log_32\)。分析：利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較。解答：(1)考察指數(shù)函數(shù)\(y=0.8^x\)，因?yàn)?<0.8<1，所以該函數(shù)在R上是減函數(shù)。又因?yàn)?.7<0.9，所以\(0.8^{0.7}>0.8^{0.9}\)。(2)考察對(duì)數(shù)函數(shù)\(y=\log_{0.7}x\)，因?yàn)?<0.7<1，所以該函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù)。又因?yàn)?.8>0.6，所以\(\log_{0.7}0.8<\log_{0.7}0.6\)。(3)\(3^{0.5}=\sqrt{3}>1\)，而\(\log_32<\log_33=1\)，所以\(3^{0.5}>\log_32\)。例6：已知函數(shù)\(f(x)=\log_a(x+1)\)（a>0且a≠1）的定義域和值域都是[0,1]，求實(shí)數(shù)a的值。分析：分a>1和0<a<1兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)定義域和值域求解。解答：當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，x+1∈[1,2]。若a>1，則f(x)在[0,1]上是增函數(shù)。所以\(f(0)=\log_a1=0\)，\(f(1)=\log_a2=1\)，解得a=2。若0<a<1，則f(x)在[0,1]上是減函數(shù)。所以\(f(0)=\log_a1=0\)（此時(shí)值域最大值為0，與值域[0,1]矛盾），\(f(1)=\log_a2=0\)，無解。綜上，a=2。專項(xiàng)練習(xí)題1.函數(shù)\(y=\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-1)}\)的定義域是________。2.已知冪函數(shù)\(f(x)=x^k\)的圖象過點(diǎn)\((2,\sqrt{2})\)，則\(f(4)=\)________。3.解方程：\(4^x-2^{x+1}-3=0\)。4.已知函數(shù)\(f(x)=a^x+b\)（a>0且a≠1）的圖象過點(diǎn)(1,3)和(0,2)，求f(x)的解析式。參考答案與提示1.提示：對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，被開方數(shù)非負(fù)，且底數(shù)為1/2的對(duì)數(shù)函數(shù)是減函數(shù)。答案：\((1,2]\)。2.提示：將點(diǎn)代入求出k。\(2^k=\sqrt{2}=2^{1/2}\)，所以k=1/2。答案：\(f(4)=4^{1/2}=2\)。3.提示：令\(t=2^x(t>0)\)，方程化為\(t^2-2t-3=0\)。答案：x=log?3。4.提示：將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得到關(guān)于a和b的方程組。答案：\(f(x)=