專題4.4對數(shù)函數(shù)1對數(shù)函數(shù)(1)對數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x解釋函數(shù)y=logax中系數(shù)為1，底數(shù)是不為1(2)圖像與性質(zhì)圖像a>10<a<1定義域(0,值域R過定點(1,0)奇偶性非奇非偶單調(diào)性在(0,+∞在(0,+∞變化對圖像的影響在第一象限內(nèi)，α越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，α越大圖象越靠高．可與指數(shù)函數(shù)就函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等函數(shù)性質(zhì)進行比較學習.3對數(shù)型函數(shù)模型形如y=k·logax(k??????????????????????????.????????4R，且k≠04反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a它們的圖象關(guān)于直線y=比如y=2x與

一、單選題1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A． B． C． D．【來源】寧夏石嘴山市平羅中學2021-2022學年高一上學期期末考試數(shù)學試題【答案】A【解析】∵x2+2x﹣3＞0，∴x＞1或x＜﹣3；又∵y＝x2+2x﹣3在（﹣∞，﹣1]上是減函數(shù)，在[﹣1，+∞）上是增函數(shù)；且y＝log2x在（0，+∞）上是增函數(shù)；∴函數(shù)y＝log2（x2+2x﹣3）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣3）；故選A．2．已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【來源】貴州省黔西南州2021-2022學年高一下學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題【答案】C【解析】，.故選：C.3．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方法一:由得，則，解得或.方法二:根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域為，有，即函數(shù)為偶函數(shù)，設(shè)，則，在區(qū)間上，為增函數(shù)且，在區(qū)間上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，，解得或，故選：D．4．已知圖中曲線分別是函數(shù)，，，的圖像，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由對數(shù)的性質(zhì)有：，，，結(jié)合圖像有：，故A，C，D錯誤.故選：B.5．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【來源】四川省成都外國語學校2021-2022學年高一下學期入學考試數(shù)學試題【答案】D【解析】由得或所以的定義域為因為在上單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D6．函數(shù)的大致圖像可以為（

）A． B．C． D．【來源】云南省曲靖市第二中學2021-2022學年高一下學期期末考試數(shù)學試題【答案】C【解析】依題意，函數(shù)的定義域為，，即為奇函數(shù)，選項B，D不滿足；當時，單調(diào)遞增，即，恒有，選項A不滿足，C滿足.故選：C7．已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．以上選項均有可能【來源】遼寧省縣級重點高中協(xié)作體2021-2022學年高一下學期期末考試數(shù)學試題【答案】C【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖：由題意可知，，且由圖象可知，，所以即，所以，即，，即，故選：C8．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【來源】江西省撫州市臨川第一中學暨臨川第一中學實驗學校2021－2022學年高一上學期期末數(shù)學試題【答案】D【解析】∵是定義域為上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減∴函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴不等式，可化為，即，則，又函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴，即，解得.故選：D9．已知函數(shù)，，對于任意，存在有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【來源】江西省景德鎮(zhèn)市第一中學2021-2022學年高一上學期期末數(shù)學試題【答案】B【解析】對于任意，存在有等價于.由，函數(shù)單調(diào)遞增，可得，，對稱軸為，時，，，解得.故選：B10．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【來源】第11講對數(shù)-【暑假自學課】2022年新高一數(shù)學暑假精品課（蘇教版2019必修第一冊）【答案】A兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.11．函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，若，，，則（

）A． B．C． D．【來源】四川省巴中市2021-2022學年高一下學期期末數(shù)學試（文）題【答案】C【解析】由偶函數(shù)知，又，，，顯然，又在單調(diào)遞增，則.故選：C.12．已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)滿足，且定義域為R，所以函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故可以變?yōu)?，即，當時，；當時，可得．又，當且僅當時取等號，所以，解得.故選：B．13．已知函數(shù)若存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【來源】貴州省威寧縣2021-2022學年高一上學期高中素質(zhì)教育期末測試數(shù)學試題【答案】D【解析】∵函數(shù)∴當時，的范圍是；當時，，，由題意存在最小值，則，解得.故選：D．14．定義在R上的偶函數(shù)滿足對任意，有，且當時，，若函數(shù)在上至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【來源】福建省龍巖第一中學2021-2022學年高一上學期第三次月考數(shù)學試題【答案】C【解析】∵，且是定義域為的偶函數(shù)，令可得，又，∴，則有，∴是最小正周期為2的偶函數(shù).當時，，開口向下，頂點為的拋物線.∵函數(shù)在上至少有三個零點，令，則的圖象和的圖象至少有3個交點.∵，當時，的圖象和的圖象只有1個交點，故，要使函數(shù)在上至少有三個零點，如圖：則有，可得，即，∴，又，∴.故選：C二、多選題15．已知函數(shù)，（

）A．該函數(shù)的定義域B．當時，該函數(shù)的單增區(qū)間是C．當時，該函數(shù)的單增區(qū)間是D．該函數(shù)的值域為R【來源】湖南省岳陽市第四中學2021-2022學年高一下學期第一次月考數(shù)學試題【答案】ABCD【解析】A選項，，解得：或，故函數(shù)的定義域，A正確；B選項，當時，由于單調(diào)遞增，故位于軸上方的單調(diào)遞增區(qū)間即為該函數(shù)的單增區(qū)間，故該函數(shù)的單增區(qū)間是，B正確；C選項，當時，由于單調(diào)遞減，故位于軸上方的單調(diào)遞減區(qū)間即為該函數(shù)的單增區(qū)間，故該函數(shù)的單增區(qū)間是，C正確；D選項，能取到的任何值，故該函數(shù)的值域為R，D正確.故選：ABCD16．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為C．當時，方程有三個不等實根D．當且僅當時，方程有兩個不等實根【來源】廣東省汕尾市2021-2022學年高一上學期期末數(shù)學試題【答案】AC【解析】A：，所以，故A正確；B：作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖象可知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，但不連續(xù)，所以不能用“”的符號，故B錯誤；C：由圖象可知，當時，函數(shù)與的圖象有3個交點，方程有3個不等的實根，故C正確；D：由圖象可知，當或時，函數(shù)與的圖象有2個交點，方程有2個不等的實根，故D錯誤；故選：AC.17．已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是B．若函數(shù)的值域為，則實數(shù)C．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是D．若，則不等式的解集為【來源】重慶市第八中學2021-2022學年高一上學期期末數(shù)學試題【答案】ABC【解析】A選項：因為的定義域為，所以恒成立，則，解得：，故正確；B選項：因為的值域為，所以，所以，解得，故正確；C選項：因為函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知：，解得，故正確；D選項：當時，，由，可得，解得：，故錯誤；故選：ABC.18．已知函數(shù)，則下列四個命題中正確命題的個數(shù)是（

）A．在上單調(diào)遞減 B．上單調(diào)遞減C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的值域為【來源】江西省宜春市銅鼓中學2021-2022學年高一下學期開學考數(shù)學試題【答案】BC【解析】對于函數(shù)，有，解得，所以，函數(shù)的定義域為，且.對于AB選項，內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于外層函數(shù)為增函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A錯B對；對于C選項，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，C對；對于D選項，當時，，故，D錯.故選：BC.19．中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學的“對稱美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和諧美，定義：圓O的圓心在原點，若函數(shù)的圖像將圓O的周長和面積同時等分成兩部分，則這個函數(shù)稱為圓O的一個“太極函數(shù)”，則（

）A．對于圓O，其“太極函數(shù)”有1個B．函數(shù)是圓O的一個“太極函數(shù)”C．函數(shù)不是圓O的“太極函數(shù)”D．函數(shù)是圓O的一個“太極函數(shù)”【來源】山東省東營市廣饒縣第一中學2021-2022學年高一下學期開學考試數(shù)學試題【答案】BD【解析】：對于A選項，圓O，其“太極函數(shù)”不止1個，故錯誤；對于B選項，由于函數(shù)，當時，，當時，，故為奇函數(shù)，故根據(jù)對稱性可知函數(shù)為圓O的一個“太極函數(shù)”，故正確；對于C選項，函數(shù)定義域為，，也是奇函數(shù)，故為圓O的一個“太極函數(shù)”，故錯誤；對于D選項，函數(shù)定義域為，，故為奇函數(shù)，故函數(shù)是圓O的一個“太極函數(shù)”，故正確.故選：BD三、填空題20．函數(shù)(且)的圖象恒過定點_________【來源】山西省長治市第四中學校2021-2022學年高一上學期期末數(shù)學試題【答案】【解析】解：因為函數(shù)(且)，令，解得，所以，即函數(shù)恒過點；故答案為：21．函數(shù)的定義域是__________．【來源】云南省昆明市2021-2022學年高一下學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題【答案】【解析】對于函數(shù)，由，即，解得.因此，函數(shù)的定義域為.故答案為：.22．函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為______．【來源】中原名校2021-2022學年高一上學期12月第三次大聯(lián)考數(shù)學試題【答案】【解析】解：由題可知，函數(shù)的值域為，令，由題意可知為函數(shù)的值域的子集.①當時，，此時，函數(shù)的值域為，合乎題意；②當時，若為函數(shù)的值域的子集，則，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．23．設(shè)函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_________．【來源】河北省唐縣第一中學2021-2022學年高一下學期5月月考數(shù)學試題【答案】【解析】記，因為為減函數(shù)，所以當單調(diào)遞增時，單調(diào)遞減，由得或，又當時，單調(diào)遞減.故．故答案為：.24．若不等式在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為____.【來源】甘肅省張掖市2021-2022學年高一上學期期末數(shù)學試題【答案】【解析】：變形為：，即在上恒成立．令，若，此時在上單調(diào)遞減，，而當時，，顯然不合題意；當時，畫出兩個函數(shù)的圖象，要想滿足在上恒成立，只需，即，解得：．綜上：實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：25．已知為奇函數(shù)，，若對?，恒成立，則b的取值范圍為___________.【來源】河南省信陽市信陽高級中學2021-2022學年高一下學期第一次月考數(shù)學（文科）試題【答案】【解析】的定義域為，為奇函數(shù)，所以，所以，，，所以的值域為.對于函數(shù)，的定義域為，所以恒成立，所以恒成立，所以，此時，，所以的值域為，由于對?，恒成立，所以，所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題26．已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并進行證明；(2)若實數(shù)滿足，求實數(shù)的取值范圍.【來源】云南省德宏州2021-2022學年高一上學期期末統(tǒng)一監(jiān)測數(shù)學試題【答案】(1)為奇函數(shù)，證明見解析(2)【解析】(1)為奇函數(shù)，證明如下：定義域為，，為定義在上的奇函數(shù).(2)，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；由（1）知：，，，，即，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.27．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)f（x）的值域；(2)若，且，求實數(shù)m的取值范圍．【來源】云南省保山市2021-2022學年高一下學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題【答案】(1)(2)【解析】(1)因為定義域為，則設(shè)，令，所以值域為(2)設(shè)，因為所以即，即，所以則的兩根為整理得因為解得再由韋達定理可得:則

解得綜上，28．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且當時，.(1)求的值；(2)求函數(shù)的表達式，并直接寫出其單調(diào)區(qū)間（不需要證明）；(3)若，求實數(shù)的取值范圍.【來源】云南省尋甸一中、昆明西聯(lián)學校陽宗海學校2021-2022學年高一上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題【答案】(1)(2)答案見解析(3)【解析】(1)因為是上的偶函數(shù)，所以.(2)當時，則，則，故當時，，故，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(3)若，即，即因為在單調(diào)遞減，所以，故或，解得：或，即.29．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，其中為常數(shù)．(1)求的值；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】(1)函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，有，即，解得，當時，不滿足題意，所以；(2)由，得，即，令，易知在上單調(diào)遞減，則的最大值為.又因為當時，恒成立，即在恒成立，所以.30．已知函數(shù)(1)若m＝1，求函數(shù)f（x）的定義域;(2)若函數(shù)f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】(1)若m＝1，則要使函數(shù)有意義，需，解得x∈∴若m＝1，函數(shù)f（x）的定義域為．(2)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則在區(qū)間上是減函數(shù)且在區(qū)間上恒成立，∴，且，即且.31．已知函數(shù)），當點M（x，y）在函數(shù)g（x）的圖象上運動時，對應的點在f（x）的圖象上運動，則稱g（x）是f（x）的相關(guān)函數(shù)．(1)解關(guān)于x的不等式；(2)若對任意的，f（x）的圖象總在其相關(guān)函數(shù)圖象的下方，求a的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，，當時，求|F（x）|的最大值．【來源】湖北省恩施州高中教育