高等數(shù)學(xué)a期中考試試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\)（）A.0B.1C.3D.\(\frac{1}{3}\)3.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)是\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.設(shè)\(y=x^3\)，則\(y^\prime=\)（）A.\(3x^2\)B.\(x^2\)C.\(3x\)D.\(x^3\lnx\)5.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.46.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)=\)（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x^2\)D.\(x^3\)7.\(\intx^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^3+C\)D.\(3x^3+C\)8.函數(shù)\(y=\cosx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\sinx\)B.\(-\sinx\)C.\(\cosx\)D.\(-\cosx\)9.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=\)（）A.0B.1C.\(e\)D.\(\infty\)10.設(shè)\(y=e^{2x}\)，則\(y^\prime=\)（）A.\(e^{2x}\)B.\(2e^{2x}\)C.\(e^x\)D.\(2e^x\)答案：1.C2.C3.A4.A5.B6.A7.A8.B9.C10.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\frac{1}{x^2}\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x}\)3.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)的等價(jià)條件有（）A.左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等B.\(\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)存在C.\(\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)存在D.\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)4.下列函數(shù)中，導(dǎo)數(shù)為\(\sinx\)的有（）A.\(-\cosx+C\)B.\(\cosx+C\)C.\(\int\sinxdx\)D.\(\frac6666616{dx}(-\cosx)\)5.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\intxdx=\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)6.曲線\(y=x^3-3x\)的駐點(diǎn)有（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)7.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=e^x\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=-x\)8.函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x_0\)處取得極值的必要條件可能有（）A.\(f^\prime(x_0)=0\)B.\(f^\prime(x_0)\)不存在C.\(f^{\prime\prime}(x_0)=0\)D.\(f(x_0)\)為最值9.下列等式成立的有（）A.\(\frac6616111{dx}\intf(x)dx=f(x)\)B.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)C.\(\intdf(x)=f(x)+C\)D.\(d\intf(x)dx=f(x)dx\)10.下列極限中，屬于\(\frac{0}{0}\)型的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)C.\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)D.\(\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}\)答案：1.ABD2.AB3.ABC4.ACD5.ABCD6.AC7.ABC8.AB9.ABCD10.ABC三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}\)的定義域是\(x=1\)。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定有定義。（）3.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。（）4.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則曲線\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((x_0,f(x_0))\)處一定有切線。（）5.一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)如果存在，一定有無數(shù)個(gè)。（）6.\(\intf^\prime(x^2)dx=f(x^2)+C\)。（）7.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上是單調(diào)遞增的。（）8.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）9.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1\)。（）10.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。（）答案：1.√2.×3.√4.√5.√6.×7.√8.×9.×10.√四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=\ln(2x+1)\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令\(u=2x+1\)，則\(y=\lnu\)。先對\(\lnu\)關(guān)于\(u\)求導(dǎo)得\(\frac{1}{u}\)，再對\(u\)關(guān)于\(x\)求導(dǎo)得\(2\)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式\(y^\prime=\frac{1}{u}\cdot2=\frac{2}{2x+1}\)。2.計(jì)算\(\intxe^xdx\)。答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。由分部積分公式\(\intudv=uv-\intvdu\)，可得\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C\)。3.求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(f^\prime(x)<0\)，解得\(0<x<2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。4.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)。答案：這是\(\frac{0}{0}\)型極限，根據(jù)等價(jià)無窮小，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(e^x-1\simx\)，所以\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{x}=1\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的間斷點(diǎn)類型。答案：函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}\)，間斷點(diǎn)為\(x=1\)和\(x=-1\)。當(dāng)\(x\to1\)或\(x\to-1\)時(shí)，函數(shù)極限為無窮大，所以\(x=1\)和\(x=-1\)都是無窮間斷點(diǎn)。2.結(jié)合實(shí)際例子說明導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用。答案：比如在生產(chǎn)中，要制作一個(gè)無蓋長方體盒子，設(shè)長、寬、高分別為\(x\)、\(y\)、\(z\)，容積\(V=xyz\)固定，材料成本與表面積\(S=xy+2xz+2yz\)有關(guān)。通過求導(dǎo)找到\(S\)關(guān)于\(x\)、\(y\)、\(z\)的極值點(diǎn)，可確定使成本最低的尺寸。3.談?wù)勗瘮?shù)與不定積分的關(guān)系。答案：若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)，則\(f(x)\)的不定積分\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，\(C\)為任意常數(shù)。原函數(shù)是不定積分中的一個(gè)特殊函數(shù)，不定積分包含了\(f(x)\