1.2證明

第1章推理與證明1.2課時(shí)1證明的必要性第1章推理與證明1.明白通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比得到的結(jié)論不一定正確,理解推理的必要性.2.知道要判定一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論正確與否,需要進(jìn)行有根有據(jù)的推理.學(xué)習(xí)目標(biāo)我們?cè)糜^察、實(shí)驗(yàn)、歸納和類(lèi)比等方法發(fā)現(xiàn)了不少數(shù)學(xué)命題.例如:

根據(jù)觀察的方法得到了“兩點(diǎn)之間線段最短”的命題；

利用實(shí)驗(yàn)的方法得到了兩個(gè)三角形全等的判定方法；

由(1)+(-1)=0，(2)+(-2)=0，……歸納出互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0；

運(yùn)用類(lèi)比的方法由分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)得出分式的基本性質(zhì).

你能舉出類(lèi)似的例子嗎？與同學(xué)交流.用這些方法得到的結(jié)論一定正確嗎？問(wèn)題導(dǎo)入任務(wù)：明白由觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比所得結(jié)論僅是猜想，能對(duì)其推理檢驗(yàn).ababcda=b線段a、b長(zhǎng)度相等嗎?線段d與哪條線段在同一條直線上?圖中的四邊形是正方形嗎？活動(dòng)1：完成下列問(wèn)題沖關(guān).問(wèn)題1：眼力大考驗(yàn)：觀察下面圖片及對(duì)應(yīng)問(wèn)題，憑你的眼力，你能得出什么結(jié)論？用圓規(guī)或其他量長(zhǎng)度的工具檢驗(yàn)?zāi)愕挠^察是否正確，看誰(shuí)慧眼獨(dú)具，準(zhǔn)確率高.活動(dòng)探究問(wèn)題2：數(shù)數(shù)游戲:若按1分鐘數(shù)100個(gè)數(shù)字的速度，從1,2,3，…，一直數(shù)到1000.(1)憑你自己的經(jīng)驗(yàn)，先猜一猜，你用幾小時(shí)就能數(shù)完？(2)數(shù)到1000，要數(shù)多少個(gè)數(shù)字？你能否通過(guò)計(jì)算得到準(zhǔn)確時(shí)間，看與你估計(jì)的時(shí)間是否相差大？與同學(xué)交流.從1數(shù)到9，共9個(gè)數(shù)字；從10數(shù)到99，共90個(gè)兩位數(shù)，要數(shù)90×2個(gè)數(shù)字；從100數(shù)到999，共900個(gè)三位數(shù)，要數(shù)900×3個(gè)數(shù)字；最后數(shù)到1000是4個(gè)數(shù)字.因此，從1數(shù)到1000共數(shù)了2893個(gè)數(shù)字，所以，數(shù)到1000，約需要29分鐘數(shù)完.小美：當(dāng)n=1,2,3時(shí)，計(jì)算得出n2-6n的值都是負(fù)數(shù).因此可歸納出：當(dāng)n為任意正整數(shù)時(shí)，n2-6n的值都是負(fù)數(shù).小亮：由“兩個(gè)正數(shù)相加，和大于每一個(gè)加數(shù)”類(lèi)比得到“兩個(gè)有理數(shù)相加，和大于每一個(gè)加數(shù)”，問(wèn)題3：小美和小亮分別通過(guò)歸納和類(lèi)比的方法，得出了如下結(jié)論，請(qǐng)分析他們的結(jié)論是否正確？說(shuō)說(shuō)你的理由.思考：由上述問(wèn)題的探索，你有什么體會(huì)？嘗試說(shuō)說(shuō)得出數(shù)學(xué)結(jié)論具體經(jīng)歷的過(guò)程.由觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納和類(lèi)比得到的結(jié)論可能正確，也可能不正確.因此，要判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，僅僅依靠實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納是不夠的，必須進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理加以證實(shí).歸納總結(jié)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論具體經(jīng)歷的過(guò)程是：

觀察、度量、實(shí)驗(yàn)→猜想歸納→結(jié)論→推理→正確結(jié)論．

在代數(shù)中,可以依據(jù)定義、運(yùn)算法則、運(yùn)算律、公式、等式(不等式)的基本性質(zhì)等進(jìn)行運(yùn)算和推理.活動(dòng)2：說(shuō)明下列命題是真命題:(1)如果ab=a(a是有理數(shù),且a≠0),那么b=1;(2)如果a,b都是奇數(shù),那么a+b是偶數(shù).解:(1)因?yàn)閍b=a(a是有理數(shù),且a≠0)(已知),

所以ab÷a=a÷a(等式的基本性質(zhì)).

所以b=1(除法的運(yùn)算法則).(2)因?yàn)閍,b都是奇數(shù)(已知),

設(shè)a=2m+1,b=2n+1,其中m,n是整數(shù)(奇數(shù)的定義),

所以a+b=2m+1+2n+1=2(m+n+1)(乘法分配律).

因?yàn)閙,n是整數(shù)(已知),

所以m+n+1是整數(shù)(整數(shù)的定義).

所以2(m+n+1)是偶數(shù)(偶數(shù)的定義).

所以a+b是偶數(shù)(等量代換).在學(xué)習(xí)推理的初始階段,要在推理過(guò)程每一步的后面,用括號(hào)注明推理的依據(jù).1.下列結(jié)論中你能肯定的是（）A.今天下雨，明天必然還下雨B.三個(gè)連續(xù)整數(shù)的積一定能被6整除C.小明在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中一定能獲獎(jiǎng)D.兩張相片看起來(lái)佷像，則肯定照的是同一個(gè)人B當(dāng)堂檢測(cè)2.下列問(wèn)題用到推理的是（）A.根據(jù)a=10，b=10,得到a=bB.觀察得到三角形有三個(gè)角C.老師告訴我們關(guān)于金字塔的許多奧秘D.由經(jīng)驗(yàn)可知過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線A3.八（1）班有39位同學(xué)，他們每人將自己的學(xué)號(hào)作為n的取值（n=1,2,3，‥‥，39）代入式子n2+n+41，結(jié)果發(fā)現(xiàn)式子n2+n+41的值都是質(zhì)數(shù)，于是他們猜想：對(duì)于所有的自然數(shù)，式子n2+n+41的值都是質(zhì)數(shù).你認(rèn)為這個(gè)猜想正確嗎？驗(yàn)證一下n=40的情形.解：不正確把n=40代入n2+n+41=41×41.不是質(zhì)數(shù),所以他們的猜想不正確.針對(duì)本節(jié)課的關(guān)鍵詞“證明的必要性”，你能說(shuō)說(shuō)學(xué)到了哪些知識(shí)嗎？推理證明的必要性數(shù)學(xué)結(jié)論不一定正確證明的必要性課堂總結(jié)1.2課時(shí)2幾何證明第1章推理與證明1.理解基本事實(shí)、定理、證明的概念及作用；2.掌握幾何證明的步驟和書(shū)寫(xiě)格式.學(xué)習(xí)目標(biāo)任務(wù)：理解基本事實(shí)、證明、定理的概念及作用.1.有些命題是人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐后而公認(rèn)為_(kāi)__________作為基本事實(shí).

基本事實(shí)的作用：________________________.2.本書(shū)確定下列命題作為基本事實(shí)：（1）兩點(diǎn)確定一條______.（2）兩點(diǎn)之間，_____最短.（3）同一平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且只有_________與已知直線垂直.（4）過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線_____；（5）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等,那么這兩條直線_____.作為論證的起點(diǎn)和依據(jù)正確的命題直線線段一條直線平行平行活動(dòng)：閱讀教材本節(jié)P8第4段之前的內(nèi)容，試著完成下列填空.活動(dòng)探究3.等式的_________和將來(lái)要學(xué)到的_________________也作為基本事實(shí).4.在等式或不等式中,一個(gè)量可以用它的等量來(lái)替換，稱(chēng)為_(kāi)_________.例如:如果a=b,b=c;那么_____.我們把它們也作為基本事實(shí).5.其他幾何命題的真實(shí)性應(yīng)________________________________________，通過(guò)__________的方法加以證實(shí)._______________叫做證明.等量代換基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)證實(shí)命題的過(guò)程邏輯推理從定義、基本事實(shí)及已知條件出發(fā)a=b怎樣證明命題“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”的真實(shí)性呢？(1)命題的條件和結(jié)論是什么？請(qǐng)嘗試用圖形和符號(hào)語(yǔ)言將它們表示出來(lái).(2)嘗試對(duì)命題進(jìn)行證明，并與同學(xué)交流.說(shuō)說(shuō)你的證明思路.合作交流如圖，條件：∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角

結(jié)論：∠AOC=∠BODOACBD已知：如圖，∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角.求證：∠AOC=∠BOD.證明：因?yàn)橹本€AB,CD相交于點(diǎn)O(),

所以∠AOC+∠AOD=180°,∠BOD+∠AOD=180°().

所以∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD().

所以∠AOC=∠BOD().

已知平角的定義等量代換等式的基本性質(zhì)OACBD把經(jīng)過(guò)推理得到證實(shí)的真命題叫做定理如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等稱(chēng)為對(duì)頂角的性質(zhì)定理，簡(jiǎn)稱(chēng)：對(duì)頂角相等.定理作用：新知生成

定理和基本事實(shí)一樣,也可以作為證明的依據(jù).練一練閱讀并理解下題的證明過(guò)程，并在每步后的括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)該步推理的依據(jù).已知：如圖，B,C是線段AD上的兩點(diǎn)，且AB=CD.求證：AC=BD.證明：因?yàn)锳B=CD（）所以AB+BC=CD+BC（

）所以AC=BD（

）線段和的定義等式的基本性質(zhì)已知

活動(dòng)：用圖形和符號(hào)語(yǔ)言，求證:同角的余角相等(用規(guī)范的格式書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程)，并與同學(xué)交流你的證明過(guò)程.任務(wù)二：掌握幾何證明的步驟和書(shū)寫(xiě)格式.已知：如圖∠α=∠β,∠1是∠α的余角,∠2是∠β的余角.求證:∠1=∠2.證明:因?yàn)椤?是∠α的余角,∠2是∠β的余角(已知),

所以∠1+∠α=90°,∠2+∠β=90°(余角的定義).

所以∠1+∠α=∠2+∠β(等量代換).

因?yàn)椤夕?∠β(已知),

所以∠1=∠2(等式的基本性質(zhì))小組討論：通過(guò)以上兩個(gè)定理的證明過(guò)程，你認(rèn)為幾何證明的步驟應(yīng)分哪幾步？在定理證明的書(shū)寫(xiě)格式上有哪些應(yīng)當(dāng)注意的問(wèn)題？根據(jù)題意，畫(huà)出圖形;結(jié)合圖形，寫(xiě)出已知、求證;寫(xiě)出證明過(guò)程.注意事項(xiàng)：1.圖形中要標(biāo)出必要的字母和符號(hào).2.已知、求證要用符號(hào)語(yǔ)言.3.證明的每一步都要有正確的依據(jù).幾何證明步驟歸納總結(jié)1．定理“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的依據(jù)是（

）A．兩點(diǎn)之間線段最短

B．邊邊邊公理

C．同位角相等，兩直線平行

D．垂線段最短A當(dāng)堂檢測(cè)2.如圖，求證：同角的補(bǔ)角相等(根據(jù)圖形和命題，寫(xiě)出已知、求證，并證明).已知：∠2和∠3