歷不定積分試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.$\intx^2dx$的結(jié)果是（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$\frac{1}{2}x^3+C$C.$x^3+C$D.$\frac{1}{3}x^2+C$2.若$F^\prime(x)=f(x)$，則$\intf(x)dx$=（）A.$F(x)$B.$F(x)+C$C.$f(x)$D.$f(x)+C$3.$\int\frac{1}{x}dx$=（）A.$\lnx$B.$\ln|x|+C$C.$\frac{1}{x^2}+C$D.$-\frac{1}{x}+C$4.$\inte^xdx$=（）A.$e^x+C$B.$e^{x+1}+C$C.$\frac{1}{e^x}+C$D.$e^x-C$5.已知$\intf(x)dx=F(x)+C$，則$\intf(ax+b)dx$（$a\neq0$）等于（）A.$F(ax+b)+C$B.$\frac{1}{a}F(ax+b)+C$C.$aF(ax+b)+C$D.$F(x)+C$6.$\int\cosxdx$=（）A.$\sinx+C$B.$-\sinx+C$C.$\cosx+C$D.$-\cosx+C$7.若$\intf(x)dx=x^2+C$，則$f(x)$=（）A.$2x$B.$x^2$C.$\frac{1}{2}x$D.$2x+C$8.$\int\sin(2x)dx$=（）A.$\frac{1}{2}\cos(2x)+C$B.$-\frac{1}{2}\cos(2x)+C$C.$\cos(2x)+C$D.$-\cos(2x)+C$9.$\intx^ndx$（$n\neq-1$）=（）A.$\frac{1}{n}x^{n+1}+C$B.$\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$C.$nx^{n-1}+C$D.$(n+1)x^{n}+C$10.$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$=（）A.$\arcsinx+C$B.$\arccosx+C$C.$\arctanx+C$D.$\text{arccot}x+C$多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是不定積分的性質(zhì)（）A.$\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx$B.$\intkf(x)dx=k\intf(x)dx$（$k$為常數(shù)）C.$\left(\intf(x)dx\right)^\prime=f(x)$D.$\intf^\prime(x)dx=f(x)+C$2.下列積分正確的是（）A.$\int\sec^2xdx=\tanx+C$B.$\int\csc^2xdx=-\cotx+C$C.$\int\secx\tanxdx=\secx+C$D.$\int\cscx\cotxdx=-\cscx+C$3.若$\intf(x)dx=F(x)+C$，則以下正確的有（）A.$\intf(ax)dx=\frac{1}{a}F(ax)+C$（$a\neq0$）B.$\intf(x+b)dx=F(x+b)+C$C.$\intf(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$（$a\neq0$）D.$\intaf(x)dx=aF(x)+C$4.不定積分$\int\frac{1}{x^2+a^2}dx$（$a\neq0$）與以下哪些形式有關(guān)（）A.$\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$B.$\frac{1}{a}\arccot\frac{x}{a}+C$C.三角函數(shù)積分D.對數(shù)函數(shù)積分5.以下哪些函數(shù)的不定積分可以用湊微分法求解（）A.$\int2xe^{x^2}dx$B.$\int\frac{\lnx}{x}dx$C.$\int\sin(3x+1)dx$D.$\int\frac{1}{x\lnx}dx$6.不定積分的計算方法有（）A.直接積分法B.換元積分法C.分部積分法D.待定系數(shù)法7.已知$\intf(x)dx=F(x)+C$，且$G^\prime(x)=f(x)$，則（）A.$G(x)=F(x)$B.$G(x)=F(x)+C_1$（$C_1$為常數(shù)）C.$[G(x)-F(x)]^\prime=0$D.$\intG^\prime(x)dx=G(x)+C$8.下列哪些積分屬于基本積分公式（）A.$\int\tanxdx=-\ln|\cosx|+C$B.$\int\cotxdx=\ln|\sinx|+C$C.$\int\secxdx=\ln|\secx+\tanx|+C$D.$\int\cscxdx=\ln|\cscx-\cotx|+C$9.對于$\intx^me^xdx$（$m$為正整數(shù)），可采用（）來計算。A.直接積分法B.多次分部積分法C.換元積分法D.先化簡再積分10.以下關(guān)于不定積分的說法正確的是（）A.不定積分表示的是一族函數(shù)B.不定積分與導(dǎo)數(shù)是互逆運(yùn)算C.若兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相同，則它們的不定積分也相同（相差一個常數(shù)）D.不定積分的結(jié)果中一定含有常數(shù)項判斷題（每題2分，共10題）1.不定積分$\intf(x)dx$的結(jié)果是唯一的。（）2.$\left(\intf(x)dx\right)^\prime=f(x)+C$。（）3.若$F(x)$是$f(x)$的一個原函數(shù)，則$\intf(x)dx=F(x)$。（）4.$\int\sin^2xdx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin(2x)+C$。（）5.$\int\frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{x}+C$。（）6.用換元積分法時，換元后積分限不需要改變。（）7.分部積分法的公式是$\intudv=uv-\intvdu$。（）8.$\inte^{-x}dx=e^{-x}+C$。（）9.若$\intf(x)dx=F(x)+C$，則$\intf(-x)dx=F(-x)+C$。（）10.不定積分$\int\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C$。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述不定積分與原函數(shù)的關(guān)系。答案：若$F^\prime(x)=f(x)$，則$F(x)$是$f(x)$的一個原函數(shù)，而$\intf(x)dx=F(x)+C$，$C$為任意常數(shù)，不定積分是$f(x)$所有原函數(shù)的集合。2.用直接積分法求$\int(2x^3+3x^2-5)dx$。答案：根據(jù)積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$），可得$\int(2x^3+3x^2-5)dx=2\times\frac{1}{4}x^4+3\times\frac{1}{3}x^3-5x+C=\frac{1}{2}x^4+x^3-5x+C$。3.用湊微分法求$\int\frac{1}{3x+2}dx$。答案：令$u=3x+2$，則$du=3dx$，$dx=\frac{1}{3}du$，原式$=\frac{1}{3}\int\frac{1}{u}du=\frac{1}{3}\ln|u|+C=\frac{1}{3}\ln|3x+2|+C$。4.簡述分部積分法適用的題型特點(diǎn)。答案：適用于被積函數(shù)是兩個不同類型函數(shù)乘積的情況，如冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)等乘積的積分。討論題（每題5分，共4題）1.討論換元積分法在不定積分計算中的作用及應(yīng)用技巧。答案：作用是將復(fù)雜積分轉(zhuǎn)化為簡單易求的積分。應(yīng)用技巧：選擇合適的換元函數(shù)，通過湊微分找到與原積分的關(guān)系，換元后要將積分變量和被積表達(dá)式都進(jìn)行相應(yīng)變換，最后再代回原變量。2.不定積分在實(shí)際問題中有哪些應(yīng)用？舉例說明。答案：在物理中，由速度函數(shù)求位移函數(shù)，如已知速度$v(t)$，位移$s(t)=\intv(t)dt$；在經(jīng)濟(jì)中，由邊際成本函數(shù)求總成本函數(shù)，總成本$C(x)=\intC^\prime(x)dx$，$C^\prime(x)$為邊際成本函數(shù)。3.比較直接積分法、換元積分法和分部積分法的適用范圍和優(yōu)缺點(diǎn)。答案：直接積分法適用于能直接用基本積分公式的簡單積分，優(yōu)點(diǎn)是簡單直接，缺點(diǎn)是適用范圍窄；換元積分法適用于可通過換元轉(zhuǎn)化為基本積分的情況，優(yōu)點(diǎn)是能解決較多類型積分，缺點(diǎn)是換元思路有時難尋；分部積分法用于兩類不同函數(shù)乘積的積分，優(yōu)點(diǎn)是處理特定類型有效，缺點(diǎn)是選擇$u$和$dv$不當(dāng)會使計算復(fù)雜。4.如何檢驗不定積分計算結(jié)果的正確性？答案：對計算得到的不定積分結(jié)果求導(dǎo)，若導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，則計算結(jié)果正確。因為不定積分與求導(dǎo)是互逆運(yùn)算，通過求導(dǎo)檢驗可驗證結(jié)果的準(zhǔn)