2025年大學(xué)幾何基礎(chǔ)題庫及答案

一、單項選擇題1.射影平面上，兩條直線的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.重合答案：B2.點列與線束之間的對應(yīng)是（）A.一一對應(yīng)B.多對一對應(yīng)C.一對多對應(yīng)D.無對應(yīng)關(guān)系答案：A3.若兩個三角形是透視的，則它們（）A.對應(yīng)頂點連線共點B.對應(yīng)邊平行C.對應(yīng)邊相交D.對應(yīng)頂點連線平行答案：A4.射影變換把平行四邊形變成（）A.平行四邊形B.梯形C.任意四邊形D.矩形答案：C5.在仿射平面上，下列哪個性質(zhì)是仿射不變性質(zhì)（）A.兩點間距離B.兩直線垂直C.三角形面積比D.角度大小答案：C6.仿射變換保持（）不變A.點的共線性B.距離C.角度D.圖形形狀答案：A7.一個點在無窮遠(yuǎn)直線上，則它的齊次坐標(biāo)為（）A.（0，0，0）B.（x，y，0）（x，y不全為0）C.（x，y，1）D.（0，0，1）答案：B8.射影平面上的對偶原理是指（）A.點與直線的地位平等B.點與點的地位平等C.直線與直線的地位平等D.圖形與圖形的地位平等答案：A9.以下哪種曲線不是二次曲線（）A.橢圓B.拋物線C.雙曲線D.折線答案：D10.仿射變換的矩陣是（）A.可逆方陣B.奇異方陣C.正交矩陣D.對稱矩陣答案：A二、多項選擇題1.以下屬于射影不變性質(zhì)的有（）A.點的共線B.直線的共點C.交比D.調(diào)和共軛答案：ABCD2.仿射不變性質(zhì)有（）A.平行性B.中點C.三角形重心D.角度大小答案：ABC3.關(guān)于齊次坐標(biāo)，以下說法正確的是（）A.齊次坐標(biāo)不唯一B.非零齊次坐標(biāo)乘以非零常數(shù)仍表示同一點C.無窮遠(yuǎn)點有齊次坐標(biāo)D.普通點的齊次坐標(biāo)最后一個分量不為0答案：ABCD4.二次曲線的類型包括（）A.橢圓B.拋物線C.雙曲線D.退化二次曲線答案：ABCD5.射影平面上的基本形有（）A.點列B.線束C.點場D.線場答案：AB6.以下哪些是射影變換的性質(zhì)（）A.保持點的共線性B.保持直線的共點性C.保持交比不變D.保持圖形面積不變答案：ABC7.仿射變換可以由以下哪些條件確定（）A.不共線的三對對應(yīng)點B.兩對對應(yīng)點和一對對應(yīng)直線C.三對對應(yīng)直線D.一對對應(yīng)點和兩對對應(yīng)直線答案：ABC8.關(guān)于調(diào)和共軛，以下說法正確的是（）A.調(diào)和共軛是射影不變性質(zhì)B.若（A，B；C，D）為調(diào)和共軛，則（A，B；D，C）也為調(diào)和共軛C.調(diào)和共軛與交比有關(guān)D.調(diào)和共軛在仿射變換下不變答案：ABC9.二次曲線的切線具有以下性質(zhì)（）A.過曲線上一點有且僅有一條切線B.切線與二次曲線只有一個交點C.切線的方程可以通過二次曲線方程求導(dǎo)得到D.兩條切線的交點在二次曲線上答案：ABC10.射影幾何中的完全四點形具有以下性質(zhì)（）A.其對角線三角形的頂點是完全四點形的對邊交點B.完全四點形的對邊交點共線C.完全四點形的每條邊上有四個點，構(gòu)成調(diào)和共軛D.完全四點形的頂點可以是無窮遠(yuǎn)點答案：ACD三、判斷題1.射影平面上，無窮遠(yuǎn)直線與任何直線都相交。（）答案：對2.仿射變換一定保持圖形的面積不變。（）答案：錯3.點列與線束是對偶圖形。（）答案：對4.二次曲線的方程一定是二元二次方程。（）答案：對5.射影變換把圓變成圓。（）答案：錯6.齊次坐標(biāo)（1，2，3）和（2，4，6）表示同一個點。（）答案：對7.仿射不變性質(zhì)一定是射影不變性質(zhì)。（）答案：對8.調(diào)和共軛中的四個點一定是不同的點。（）答案：對9.拋物線是一種特殊的二次曲線，它與無窮遠(yuǎn)直線相切。（）答案：對10.射影平面上的兩個點場一定是射影對應(yīng)的。（）答案：錯四、簡答題1.簡述射影幾何與歐氏幾何的關(guān)系。射影幾何是在歐氏幾何基礎(chǔ)上發(fā)展起來的更廣泛的幾何體系。歐氏幾何研究圖形在剛體運動下的不變性質(zhì)，如距離、角度等。而射影幾何研究圖形在射影變換下的不變性質(zhì)，像點的共線、直線的共點、交比等。歐氏幾何中的許多概念和結(jié)論在射影幾何中有更深刻的解釋和推廣，射影幾何包含了歐氏幾何，歐氏幾何是射影幾何的特殊情況。2.說明仿射變換的基本不變量和不變性質(zhì)。仿射變換的基本不變量有單比。不變性質(zhì)包括：平行性不變，即原來平行的直線經(jīng)過仿射變換后仍然平行；共線性不變，點的共線關(guān)系保持不變；中點不變，線段的中點經(jīng)過仿射變換后還是對應(yīng)線段的中點；三角形重心不變等。這些不變量和性質(zhì)使得仿射變換在研究圖形的一些相對位置和比例關(guān)系方面有重要應(yīng)用。3.解釋齊次坐標(biāo)的概念及其作用。齊次坐標(biāo)是一種用n+1個坐標(biāo)表示n維空間中一點的方法。對于平面上的點，普通點用（x，y，1）表示，無窮遠(yuǎn)點用（x，y，0）（x，y不全為0）表示。它的作用在于統(tǒng)一了普通點和無窮遠(yuǎn)點的表示，使得在射影幾何中可以更方便地處理和研究圖形。同時，齊次坐標(biāo)在射影變換、仿射變換等的矩陣表示和運算中也起到關(guān)鍵作用，簡化了許多幾何問題的計算和推導(dǎo)。4.簡述二次曲線的射影定義。在射影平面上，取兩個射影相關(guān)但非透視的線束，它們對應(yīng)直線的交點的全體構(gòu)成一條二次曲線。也就是說，設(shè)兩個線束S1和S2成射影對應(yīng)，對于S1中的每一條直線a1，在S2中有唯一的對應(yīng)直線a2，a1與a2的交點P的軌跡就是一條二次曲線。這種定義從射影的角度出發(fā)，不依賴于圖形的度量性質(zhì)，更深刻地揭示了二次曲線的本質(zhì)。五、討論題1.討論射影變換在實際生活中的應(yīng)用實例，并分析其原理。在攝影領(lǐng)域，射影變換有著廣泛應(yīng)用。比如拍攝建筑物時，由于拍攝角度等原因，照片中的建筑物可能會出現(xiàn)變形。通過射影變換，可以對照片進(jìn)行校正，將變形的建筑物恢復(fù)到接近實際的形狀。原理是利用射影變換保持點的共線性和交比不變等性質(zhì)。根據(jù)照片中已知的一些共線點和比例關(guān)系，建立射影變換模型，通過計算變換矩陣，對照片中的點進(jìn)行變換，從而實現(xiàn)圖像的校正。此外，在圖形識別、計算機(jī)視覺等領(lǐng)域，射影變換也用于處理和分析圖像中的幾何關(guān)系。2.分析仿射變換在計算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用及優(yōu)勢。在計算機(jī)圖形學(xué)中，仿射變換常用于圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等操作。通過仿射變換矩陣，可以方便地對圖形的頂點坐標(biāo)進(jìn)行計算，實現(xiàn)圖形的各種變換效果。其優(yōu)勢在于能夠保持圖形的一些基本性質(zhì)，如平行性、共線性等。這使得在對復(fù)雜圖形進(jìn)行變換時，圖形的相對位置和結(jié)構(gòu)關(guān)系得以保留。例如在動畫制作中，對角色模型進(jìn)行移動、轉(zhuǎn)動等操作，利用仿射變換可以快速準(zhǔn)確地實現(xiàn)，并且保證模型的形狀和各部分之間的關(guān)系符合邏輯，提高了圖形處理的效率和質(zhì)量。3.探討二次曲線的幾何性質(zhì)在工程設(shè)計中的應(yīng)用。在工程設(shè)計中，二次曲線的幾何性質(zhì)有諸多應(yīng)用。例如在橋梁設(shè)計中，拋物線的性質(zhì)被廣泛應(yīng)用。拋物線形狀的橋拱能夠?qū)蛄核惺艿膲毫鶆虻胤稚⒌絻啥说臉蚨丈?，利用拋物線的對稱性和力學(xué)特性，可以使橋梁結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)固。在機(jī)械制造中，橢圓和雙曲線的性質(zhì)也常用于設(shè)計一些特殊的零件形狀，以滿足特定的運動和力學(xué)要求。利用二次曲線的光學(xué)性質(zhì)，在光學(xué)儀器設(shè)計中也有重要應(yīng)用，如拋物面鏡可以將平行光線聚焦于一點，雙曲線鏡可用于光線的特殊反射和折射。4.論述射影幾何中的對偶原理及其在數(shù)學(xué)研究中的意義。射影幾何中的對偶原理指出，在射影平面上，關(guān)于點和直線的命題，如果將其中“點”與“直線”的概念互換，同時將“在……上”與“通過”等關(guān)系互換，所得到的新命題依然