微專題7由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式an【備選理由】例1考查累加法,學(xué)會(huì)在實(shí)際情境中總結(jié)規(guī)律,提煉出an-an-1=n(n≥2),再利用累加法求得{an}的通項(xiàng)公式;例2考查累乘法,根據(jù)連乘求出an之后,注意檢驗(yàn)a1是否滿足關(guān)系式;例3根據(jù)給定的Sn與an的關(guān)系式,據(jù)所求不等式的要求,得出Sn與Sn-1的關(guān)系是關(guān)鍵;例4主要是強(qiáng)化訓(xùn)練,注意一些特殊的數(shù)列.1[配合微點(diǎn)一使用]如圖,用相同的球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品,其中第1堆只有1層,且只有1個(gè)球;第2堆有2層,共4個(gè)球,其中第1層有1個(gè)球,第2層有3個(gè)球;…;第n堆有n層,共Sn個(gè)球,第1層有1個(gè)球,第2層有3個(gè)球,第3層有6個(gè)球,….已知S20=1540,則∑n=120n2 A.2290 B.2540 C.2650 D.2870[解析]在第n(n≥2)堆中,從第2層起,第n層的球的個(gè)數(shù)比第n-1層的球的個(gè)數(shù)多n,記第n層球的個(gè)數(shù)為an,則an-an-1=n(n≥2),得an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+n=12n(n+1)(n其中a1=1也滿足上式,則an=12n(n+1)=12(n2在第n堆中,Sn=a1+a2+a3+…+an=12[(12+22+32+…+n2)+(1+2+3+…+n=12當(dāng)n=20時(shí),S20=12∑n=120n2+210=故選D.2[配合微點(diǎn)二使用]在數(shù)列{an}中,a1=13,其前n項(xiàng)和Sn=n(2n-1)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1([解析]因?yàn)镾n=n(2n-1)an,所以當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=(n-1)(2n-3)an-1,兩式相減可得an=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1(n≥2),所以(n-1)(2n-3)an-1=(2n2-n-1)an(n≥2),即(n-1)(2n-3)an-1=(n-1)(2n+1)an(n≥2),所以(2n-3)an-1=(2n+1)an(n≥2),又易知an≠0(n∈N*),所以anan-1所以當(dāng)n≥2時(shí),an=a1·a2a1·=13×15×37×…×2n-a1=13也滿足上式所以an=1(3[配合微點(diǎn)三使用]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,2an+1=3Sn,若tSn<2n對(duì)任意的n∈N*恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為 (B)A.(-4,2) B.[-3,2) C.(-6,2) D.(-3,2][解析]由2an+1=3Sn,得an=3S當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,則3Sn-12=Sn-S整理得Sn=-2Sn-1+1(n≥2),即Sn-13=-2Sn-由3S1=2a1+1=2S1+1,解得S1=1,因?yàn)镾1-13=23≠0,所以數(shù)列Sn-13是首項(xiàng)為2所以Sn-13=23(-2)n-1,即Sn=由tSn<2n,得1-(-2)n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),1+2n3·t<2n,即t<3×2n1+2n=又3-31+2n當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),1-2n3·t<2n,即t>3×2n1-2n=-3+31-2n,所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為[-3,2).故選B.4[配合微點(diǎn)四使用][2025·江蘇南京師大附中期末]設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=1.若對(duì)任意的n∈N*滿足an+1+SnSn+1=0,則數(shù)列{SnSn+1}的前n項(xiàng)和為nn+1[解析]由題知S1=a1=1.因?yàn)閍n+1+SnSn+1=0,所以Sn+1-Sn=-SnSn+1,又Sn≠0,所以1Sn+1-所以數(shù)列1S