《全品高考復(fù)習(xí)方案》第26講余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例【課標(biāo)要求】1.能用余弦定理、正弦定理解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.

2.解決三角形中的最值和范圍問(wèn)題.術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中,目標(biāo)視線在水平視線的叫作仰角,目標(biāo)視線在水平視線的叫作俯角

方位角從某點(diǎn)的方向線起按方向轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角叫作方位角,方位角θ的范圍是

方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角,通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α坡角與坡比坡面與水平面的夾角叫坡角(θ為坡角);坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比(坡度),即

題組一易錯(cuò)辨析判斷下列說(shuō)法是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若某點(diǎn)的方位角為45°,則該點(diǎn)的方向角為北偏東45°方向. ()(2)北偏西10°指的是方位角. ()(3)若從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α=β. ()題組二教材改編1.在某次測(cè)量中,設(shè)A在B的南偏東34°27',則B在A的 ()A.北偏西34°27' B.北偏東55°33'C.北偏西55°32' D.南偏西55°33'2.如圖,A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,在B同側(cè)的河岸邊選取點(diǎn)C,測(cè)得B,C間的距離為10m,∠ABC=75°,∠ACB=60°,則A,B兩點(diǎn)間的距離為 ()A.52m B.53mC.55m D.56m3.某指揮中心A接到在其北偏東60°相距5海里的甲船拋錨等待救援的信號(hào),指揮中心迅速通知在A北偏西60°相距3海里的乙船前去救援,若乙船速度的大小是20海里/時(shí),則乙船最快到達(dá)甲船位置需要航行 ()A.320小時(shí) B.1C.720小時(shí) D.1距離問(wèn)題例1[2024·福建龍巖期末]如圖,某數(shù)學(xué)興趣小組的成員為了測(cè)量某兩岸平行的河流的寬度,在該河流一側(cè)的岸邊選定A,B兩點(diǎn),在該河流另一側(cè)的岸邊選定點(diǎn)C,測(cè)得AB=30米,∠ABC=75°,∠BAC=45°,則該河流的寬度是 ()A.(15+53)米B.(103+10)米C.(153-15)米D.(103-10)米總結(jié)反思破解距離問(wèn)題的關(guān)鍵:一是找三角形,即將所測(cè)量的距離與題設(shè)中其他的點(diǎn)組成三角形;二是找或畫(huà)出邊或角,對(duì)所找的三角形,分析題中已知的邊角或可求的邊角,或是恰當(dāng)?shù)禺?huà)出(找出)適合解決問(wèn)題的三角形,將已知線段長(zhǎng)度和角度轉(zhuǎn)化為要解的三角形的邊長(zhǎng)和角度;三是利用正弦定理或余弦定理求出邊長(zhǎng),即求出兩點(diǎn)間的距離.【對(duì)點(diǎn)演練1】(1)如圖,某工業(yè)園區(qū)有A,B,C共3個(gè)廠區(qū),其中AB=63km,BC=3km,∠ABC=90°,現(xiàn)計(jì)劃在工業(yè)園區(qū)外選擇P處建設(shè)一座倉(cāng)庫(kù),若∠APB=90°,則CP的最大值為()A.6km B.33kmC.(6+33)km D.62km(2)如圖,點(diǎn)P是海上的一個(gè)鉆井平臺(tái),甲船、乙船、丙船分別位于點(diǎn)A,B,C的位置,甲船在乙船的正北方向,丙船在乙船的正東方向,且AB=203海里,BC=80海里,若∠APB=120°,AP=20海里,則丙船到鉆井平臺(tái)的距離為海里.

高度問(wèn)題例2(1)如圖,已知某無(wú)人機(jī)的航線和B,C,D三艘潛艇在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi),某時(shí)刻測(cè)得C,D相距200米,且在C,D兩艘潛艇上測(cè)得該無(wú)人機(jī)所在位置A的仰角分別為75°,30°,且點(diǎn)A在B的正上方,則AB= ()A.503米 B.50(1+3)米C.1002米 D.100(1+2)米(2)如圖,A,B分別表示塔頂與塔基,某學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng),選取了與塔基B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D,在C點(diǎn)測(cè)得塔基B在北偏東75°的方向,塔頂A的仰角為45°,在D點(diǎn)測(cè)得塔基B在北偏西60°的方向,通過(guò)查閱資料得知塔高AB為38m,則兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C,D之間的距離為 ()A.383m B.382mC.192m D.193m總結(jié)反思求解高度問(wèn)題的注意點(diǎn):(1)在處理有關(guān)高度的問(wèn)題時(shí),正確理解仰角、俯角、方向(位)角是關(guān)鍵;(2)在實(shí)際問(wèn)題中,可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題,這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形(一個(gè)空間圖形和一個(gè)平面圖形),這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò);(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,這有助于把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.【對(duì)點(diǎn)演練2】如圖,某同學(xué)為測(cè)量黃鶴樓的高度MN,在黃鶴樓的正東方向找到一座建筑物AB,高約為26m,在地面上點(diǎn)C處(B,C,N三點(diǎn)共線)測(cè)得建筑物頂部A,黃鶴樓頂部M的仰角分別為30°和45°,在A處測(cè)得黃鶴樓頂部M的仰角為15°,則黃鶴樓的高度約為 ()A.64m B.74mC.52m D.91m角度問(wèn)題例3(1)[2024·浙江溫州期末]示意圖如圖所示,山頂上有一建筑物CD(垂直于水平面),在坡角一定的山坡A處測(cè)得∠CAD=15°,向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處,在B處測(cè)得∠CBD=45°.若CD=50m,山坡與地平面的夾角為θ,則cosθ= ()A.22 B.C.2-1 D.3-1(2)[2024·河南信陽(yáng)模擬]如圖所示,某旅游景區(qū)的B,C景點(diǎn)相距2km,測(cè)得觀光塔AD的塔底D在景點(diǎn)B北偏東45°的方向,在景點(diǎn)C北偏西60°的方向,在景點(diǎn)B處測(cè)得塔頂A的仰角為45°,現(xiàn)有游客甲從景點(diǎn)B沿直線去往景點(diǎn)C,則沿途中觀察塔頂A仰角正切值的最大值為.(塔頂大小和游客身高忽略不計(jì))

總結(jié)反思測(cè)量“角度”即是求一個(gè)角的大小,解題的一般步驟是在弄清題意的基礎(chǔ)上,畫(huà)出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形,并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的