《全品高考復(fù)習(xí)方案》第26講余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例(時(shí)間:45分鐘)1.一艘輪船從A處出發(fā),以40海里/時(shí)的速度沿南偏西40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔,輪船在A處觀察燈塔,其方向是南偏東65°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東85°,則B,C兩點(diǎn)間的距離為 ()A.10(6+2)海里B.10(6-2)海里C.103海里D.102海里2.[2025·江蘇蘇州模擬]滬蘇通長江公鐵大橋(如圖①)是中國自主設(shè)計(jì)建造、世界上首座跨度超千米的公鐵兩用斜拉橋.已知主塔AB垂直于橋面,一輛小汽車在行駛過程中,車內(nèi)乘客兩次仰望塔頂A的仰角分別為∠ADE=30°,∠ACE=45°(如圖②),設(shè)乘客眼睛到地面的距離為DM=CN=h,CD=a(h>0,a>0).若D,C,E在同一水平高度,且AD,AC,AB在同一豎直平面內(nèi),則根據(jù)以上數(shù)據(jù)可計(jì)算主塔AB的高為 ()A.3+12a+h B.3C.(3+1)a+h D.(3-1)a+h3.為了測量河對岸一棵古樹的高度AB(示意圖如圖所示),某同學(xué)選取與樹底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)C與D,測得∠BCD=15°,∠CDB=30°,CD=48m,并在點(diǎn)C處測得樹頂A的仰角為60°,則樹高AB為 ()A.48m B.242mC.24m D.246m4.如圖,兩座山峰的高度AM=CN=300m,為測量峰頂M和峰頂N之間的距離,測量隊(duì)在B點(diǎn)(A,B,C在同一水平面上)測得M點(diǎn)的仰角為π4,N點(diǎn)的仰角為π6,且∠MBN=π4,則兩座山峰峰頂之間的距離MN=A.300m B.600m C.3002m D.6002m5.如圖,某工程隊(duì)將從A到D修建一條隧道,工程隊(duì)從A出發(fā)向正東走103km到達(dá)B,然后從B向南偏西45°的方向走了一段距離到達(dá)C,再從C向北偏西75°的方向走了42km到達(dá)D.已知C在A南偏東15°的方向上,則A到D的距離為 ()A.278km B.253km C.238km D.82km6.[2024·四川綿陽期末]某數(shù)學(xué)興趣小組為測量一古建筑物的高度,設(shè)計(jì)了測算方案.如圖,在該建筑物OM旁水平地面上共線的三點(diǎn)A,B,C處測得其頂點(diǎn)M的仰角分別為30°,60°,45°,且AB=BC=50m,則該古建筑物的高度為 ()A.1510m B.205m C.1015m D.50m7.[2024·天津河北區(qū)期末]如圖,為了測量河對岸A,B兩點(diǎn)間的距離,在河的這邊測定CD=1km,∠ADB=∠CDB=30°,∠DCA=45°,∠ACB=60°,則A,B兩點(diǎn)間的距離是 ()A.33km B.10-C.15-52km D.8.(多選題)某校數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃測量某古塔的高度,如圖是該古塔AB的示意圖,其中AB與地面垂直,從地面上點(diǎn)C處看塔頂A的仰角為β,沿直線BC向外前進(jìn)a米到點(diǎn)D處,此時(shí)看塔頂A的仰角為θ,則 ()A.AC=sinθB.AB=asinC.AD=asinD.BD=a1+sin9.如圖,A,B兩地之間隔了一個(gè)湖,在與A,B同一水平面內(nèi)取一點(diǎn)C,測得CA=5km,CB=3km,C=60°,則A,B兩地之間的距離為km.

10.如圖,已知甲船在A海島正北方向153海里的B處,以7海里/時(shí)的速度沿南偏東30°的方向航行.(1)甲船航行3小時(shí)到達(dá)C處,求AC.(2)在A海島南偏西30°方向6海里的E處,乙船因故障等待救援.當(dāng)甲船到達(dá)A海島正東方向的D處時(shí),接收到乙船的求援信號(hào).已知距離A海島3海里以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域,甲船能否沿DE方向航行前往救援?請說明理由.11.如圖,為了測量兩山頂M,N間的距離,飛機(jī)沿水平方向在A,B兩點(diǎn)進(jìn)行測量,A,B,M,N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi).已知飛機(jī)在A點(diǎn)時(shí),測得∠MAN=∠BAN=30°,在B點(diǎn)時(shí),測得∠ABM=60°,∠NBM=75°,AB=2千米,則MN=千米.

12.[2025·山東煙臺(tái)模擬]南方雨水較多,三角形斜屋頂建筑隨處可見.如圖是一個(gè)三角形木屋的建筑示意圖.三角形斜屋頂PMN在地面的射影為△ABC,且∠ABC=45°,∠ACB=60°.在M點(diǎn)測得N點(diǎn)的仰角為15°,在N點(diǎn)測得P點(diǎn)的仰角為30°,M點(diǎn)到地面的距離為3m,N點(diǎn)到地面的距離為4m,則P點(diǎn)到地面的距離為m.

13.如圖,我國一艘海監(jiān)船在D島海域例行維權(quán)巡航,某時(shí)刻航行至A處,此時(shí)測得其東北方向與它相距16nmile的B處有一艘外國船只,且D島位于海監(jiān)船正東方向142nmile處.觀測中發(fā)現(xiàn),此外國船只正以4nmile/h的速度沿正南方向航行.為了將該船攔截在離D島12nmile處,不讓其進(jìn)入D島12nmile內(nèi)的海域,則海監(jiān)船的航向?yàn)?其速度的最小值為.(參考數(shù)據(jù):sin36°52'≈0.6)

14.成都天府綠道專為騎行而建,以綠道為線,串聯(lián)上百個(gè)生態(tài)公園,一路上樹木成蔭、鳥語花香,目前已然成為成都新的城市名片.成都市政府為升級(jí)綠道沿途風(fēng)景,計(jì)劃在某段全長200米的直線綠道AB一側(cè)規(guī)劃一個(gè)三角形區(qū)