《全品高考復(fù)習(xí)方案》第37講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系●課前基礎(chǔ)鞏固【知識聚焦】1.不在一條直線上兩個點一個一條過該點平行2.這條直線外相交平行3.(1)相交平行任何(2)相等或互補4.10無數(shù)0無數(shù)【課前演練】題組一(1)×(2)×(3)×(4)×[解析](1)若兩條直線沒有公共點,則這兩條直線平行或異面,故錯誤.(2)若點A,B,C,D共面,點A,B,C,E共面,則A,B,C,D,E可能不共面,比如面ABCE與面ABCD相交于A,B,C所在直線,而D,E均不在該直線上,故錯誤.(3)由等角定理得,α,β相等或互補,所以β=30°或150°,故錯誤.(4)因為AB∥D1C1,異面直線所成角的范圍是(0°,90°],所以∠D1PA1即為所求,易得∠D1PA1=30°,故錯誤.題組二1.C[解析]對于A,三個不共線的點才能確定唯一平面,故A錯誤;對于B,當(dāng)圓上的兩點和圓心共線時,三個點不能確定唯一平面,故B錯誤;對于C,梯形的任意兩條邊都能確定梯形所在的平面,所以確定的平面唯一,故C正確;對于D,當(dāng)點在直線上時,這個點和直線不能確定唯一平面,故D錯誤.故選C.2.B[解析]若l與m,n都不相交,則l∥m,l∥n,則m∥n,這與m,n是異面直線矛盾,如圖①②,l可以與m,n中的一條相交,另一條不相交,也可以與兩條都相交,但不交于同一點.綜上,l與m,n中的至少一條相交.故選B.3.D[解析]過正方體中心的平面截正方體所得的截面,至少與正方體的四個面相交,所以不可能是三角形.故選D.4.C[解析]連接BD,C1D,∵AD∥B1C1,AD=B1C1,∴四邊形AB1C1D為平行四邊形,∴AB1∥C1D,∴異面直線BC1與AB1所成的角即為直線BC1與C1D所成的角,即∠BC1D(或其補角).∵BD=AB2+AD2=3,C1D=CD2+CC12=3,BC1=BC2+CC12=2,∴cos∠BC1●課堂考點探究探究點一例1證明:(1)因為空間四邊形ABCD中,H,G分別是AD,CD的中點,所以HG∥AC,且HG=12AC又因為CFFB=AEEB=13,所以EF∥AC,且EF=所以HG∥EF,且HG≠EF,所以四邊形EFGH為梯形.(2)由(1)知四邊形EFGH為梯形,且EH,FG是梯形的兩腰,所以直線EH,FG相交于一點,設(shè)交點為P.如圖所示,因為EH?平面ABD,所以P∈平面ABD.同理P∈平面BCD.又平面ABD∩平面BCD=BD,所以P∈BD,所以點P是直線EH,BD,FG的公共點,即直線EH,BD,FG相交于一點.對點演練1ABD[解析]對于A,連接B1D1,由BB1∥DD1,BB1=DD1,可知四邊形BB1D1D為平行四邊形,所以B1D1∥BD,又因為E,F分別為C1D1,B1C1的中點,所以B1D1∥EF,所以BD∥EF,所以點B,D,E,F在同一平面內(nèi),故A正確;對于B,延長BF,DE,設(shè)BF,DE的延長線交于點P,如圖所示,則P∈BF,P∈DE,又因為BF?平面BCC1B1,DE?平面DD1C1C,所以P∈平面BCC1B1,P∈平面DD1C1C,因為平面BCC1B1∩平面DD1C1C=CC1,所以P∈CC1,即直線BF,DE,CC1相交于一點,故B正確;對于C,連接AC,A1C1,因為A1C?平面AA1C1C,OF∩平面AA1C1C=O,O?A1C,所以直線A1C與直線OF是異面直線,故C錯誤;對于D,易知A1,O,C,M,C1均在平面AA1C1C內(nèi),連接OM,則OM與A1C相交,所以直線A1C上存在點N使M,N,O三點共線,故D正確.故選ABD.探究點二例2BD[解析]點M,C,C1均在平面CDD1C1內(nèi),點M不在直線CC1上,點A不在平面CDD1C1上,則A,M,C,C1四點不共面,根據(jù)異面直線的定義可得直線AM與CC1是異面直線,故選項A錯誤;點B,N,B1均在平面BCC1B1內(nèi),B1不在直線BN上,點M不在平面BCC1B1內(nèi),則B,N,M,B1四點不共面,根據(jù)異面直線的定義可得直線BN與MB1是異面直線,故選項B正確;取DD1的中點E,連接AE,EN,如圖,因為N為C1C的中點,所以AB∥EN,AB=EN,所以四邊形ABNE是平行四邊形,所以AE∥BN,因為AM∩AE=A,所以AM與BN不平行,故選項C錯誤;連接MN,BA1,CD1,因為M,N分別為棱C1D1,C1C的中點,所以MN∥D1C,由正方體的性質(zhì)可知,BA1∥D1C,所以MN∥A1B,則A1,B,M,N四點共面,所以直線A1M與BN共面,故選項D正確.故選BD.對點演練2(1)C(2)ACD[解析](1)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中.AB∥DC,AB和DD1是異面直線,DC∩DD1=D,故直線a,b,c滿足a∥b,a,c異面,則b與c可能相交,不一定是異面直線,故A,D錯誤;AB∥DC,AB和B1C1是異面直線,DC和B1C1是異面直線,故直線a,b,c滿足a∥b,a,c異面,則b與c可能是異面直線,故B錯誤;直線a,b,c滿足a∥b,a,c異面,則易知b與c不可能是平行直線,故C正確.故選C.(2)因為直線a不平行于平面α,且a?α,所以a與平面α相交,如圖,設(shè)交點為A,則平面α內(nèi)所有過點A的直線與直線a相交,即共面,平面α內(nèi)所有不過點A的直線與直線a都異面,故A,D中結(jié)論錯誤;顯然α內(nèi)不存在與a平行的直線,故B中結(jié)論正確,C中結(jié)論錯誤.故選ACD.例3D[解析]如圖,取MD的中點F,連接EF,AF,由E為CD的中點,得EF∥MC,EF=12MC=2,則∠AEF是異面直線CM與AE所成的角或其補角.在正方形ABCD中,AE=AD2+DE2=5,在△MAD中,MD=MA=4,則cos∠ADF=12ADMD=14,AF=22+22-2×2×2×14=6,所以對點演練3B[解析]如圖,取AC的中點D,連接DC1,BD,易知AM∥DC1,所以異面直線AM與BC1所成的角就是直線DC1與直線BC1所成的角,即∠BC1D(或其補角).因為AB1=2AB,所以正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等,可設(shè)三棱柱的所有棱長都為2,則DC1=5,BD=3,BC1=22,因為BC12=DC12+BD2,所以△BDC1為直角三角形,所以cos∠BC1D=DC1BC1=104,即異面直線探究點三例4(1)ABC(2)D[解析](1)當(dāng)點Q與點D1重合時,截面圖形為等邊三角形AB1D1,如圖①;當(dāng)點Q與點D重合時,截面圖形為矩形AB1C1D,如圖②;當(dāng)點Q為DD1的中點時,設(shè)R為C1D1的中點,連接QR,B1R,C1D,AQ,易知RQ∥C1D∥AB1,B1R=AQ,故截面圖形為等腰梯形AQRB1,如圖③,易知截面圖形不可能為正方形.故選ABC.(2)如圖所示,取BD的中點H,連接GH,FH,EG,EF.由GH為△BCD的中位線,可得GH∥CD,GH=12CD,由題易知EF∥CD,EF=12CD,所以EF=GH,且EF∥GH,所以四邊形EFHG為平行四邊形,截面EFHG為所求截面.因為AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,所以AB⊥CD,又由題易知EG∥AB,EF∥CD,所以EF⊥EG,則截面EFHG為矩形,又AB=CD=4,所以截面EFHG是邊長為2的正方形,其面積為4.故選對點演練4(1)ABC(2)62+45[解析](1)如圖①,連接DE,DF,則過E,F的平面DEF可截得三棱錐D-D1EF,故A正確;如圖②,過點E作EG⊥AD,垂足為G,過點F作FH⊥CD,垂足為H,則過E,F的平面EFHG可截得直三棱柱D1EF-DGH,故B正確;如圖③,延長D1D至點P,連接PE,PF,分別與AD,CD交于點M,N,連接MN,則過E,F的平面EFNM截得三棱臺DMN-D1EF,故C正確;EF將四邊形A1B1C1D1分成一