第第頁北師大版（2024）八年級上冊數(shù)學(xué)第五章4二元一次方程與一次函數(shù)教案第1課時二元一次方程(組)與一次函數(shù)新課導(dǎo)入設(shè)計【懸念激趣】(1)如圖1，圖片呈現(xiàn)的是雙人像還是花瓶？(2)如圖2，圖片呈現(xiàn)的是少女還是老婦？圖1圖2(3)y＝－x＋4也可寫為x＋y＝4，那么它是一個函數(shù)表達(dá)式，還是二元一次方程？教學(xué)設(shè)計課題第1課時二元一次方程(組)與一次函數(shù)授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.理解二元一次方程與一次函數(shù)圖象的關(guān)系．2．掌握兩直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的位置關(guān)系，能根據(jù)圖象確定二元一次方程組的解，通過積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，培養(yǎng)獨(dú)立思考、積極探索、勇于創(chuàng)新、團(tuán)結(jié)合作的精神.教學(xué)重點(diǎn)理解二元一次方程與一次函數(shù)圖象的關(guān)系.教學(xué)難點(diǎn)應(yīng)用方程與函數(shù)的聯(lián)系解決問題.授課類型新授課課時教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖回顧1.什么叫二元一次方程的解？2．一次函數(shù)的圖象是什么？回顧舊知，為學(xué)習(xí)新知做好準(zhǔn)備.活動一：創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課【課堂引入】1．方程x＋y＝5的解有多少個？eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝5；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝0；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4；))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3))是這個方程的解嗎？2．點(diǎn)(0，5)，(5，0)，(1，4)，(2，3)在一次函數(shù)y＝5－x的圖象上嗎？3．在一次函數(shù)y＝5－x的圖象上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)滿足方程x＋y＝5嗎？4．以方程x＋y＝5的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y＝5－x的圖象相同嗎？5．由上面的思考題，你可以得到怎樣的結(jié)論？二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系是什么？設(shè)置問題情境，讓學(xué)生感受二元一次方程x＋y＝5和一次函數(shù)y＝5－x可以相互轉(zhuǎn)化，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)二元一次方程與一次函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，順理成章地引出本節(jié)內(nèi)容.續(xù)表教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖活動二：實(shí)踐探究、交流新知【探究新知】1．二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系歸納總結(jié)：二元一次方程和一次函數(shù)圖象的關(guān)系：(1)以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在相應(yīng)的一次函數(shù)圖象上，即以一個二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與相應(yīng)的一次函數(shù)的圖象相同，是同一條直線；(2)一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足相應(yīng)的二元一次方程．即：從“數(shù)”的角度看，解方程相當(dāng)于考慮自變量為何值時對應(yīng)的函數(shù)值是多少；從“形”的角度看，解方程相當(dāng)于確定直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)．2．二元一次方程組的解與對應(yīng)的兩個一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系二元一次方程2x－y＝1與前面研究的x＋y＝5結(jié)合起來看：問題1：兩方程的公共解是什么？如何求解得到其公共解呢？問題2：兩方程對應(yīng)的一次函數(shù)y＝－x＋5與y＝2x－1的圖象有何位置關(guān)系？為什么？問題3：已畫出了一次函數(shù)y＝－x＋5的圖象，請在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y＝2x－1的圖象，并驗(yàn)證上一問題結(jié)論的正誤．問題4：觀察并總結(jié)方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，,2x－y＝1))的解與對應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)有何關(guān)系．問題5：對于方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，,2x－y＝1，))目前你都有哪些方法求其解？歸納總結(jié)：每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線．想一想：在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x＋1和y＝x－2的圖象有怎樣的位置關(guān)系？方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝－1，,x－y＝2))的解的情況如何？你發(fā)現(xiàn)了什么？歸納總結(jié)：方程組的解的個數(shù)與對應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)之間的關(guān)系：二元一次方程組無解?對應(yīng)的兩個一次函數(shù)圖象平行(無交點(diǎn))；二元一次方程組有一組解?對應(yīng)的兩個一次函數(shù)圖象相交(有一個交點(diǎn))；二元一次方程組有無數(shù)組解?對應(yīng)的兩個一次函數(shù)圖象重合(有無數(shù)個交點(diǎn))．教學(xué)說明：教學(xué)過程中，教師不要急于替學(xué)生分析，應(yīng)給予學(xué)生充分的時間進(jìn)行討論．?dāng)?shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的一個有效方法，通過自主探索，學(xué)生初步體會“數(shù)”(二元一次方程組)與“形”(兩條直線)之間的對應(yīng)關(guān)系，十分自然地建立了數(shù)形結(jié)合的模型，學(xué)生初步感受到了“數(shù)”的問題可以轉(zhuǎn)化為“形”來處理，反之，“形”的問題可以轉(zhuǎn)化成“數(shù)”來處理，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.續(xù)表教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖活動三：開放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用【典型例題】例1小亮在同一平面直角坐標(biāo)系中作出了y＝－2x＋2和y＝－eq\f(1,2)x－1的圖象，則方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝2，,\f(1,2)x＋y＝－1))的解是(B)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－2))例2若關(guān)于x，y的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y＝mx＋n))的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))則一次函數(shù)y＝kx＋b與y＝mx＋n的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)．例3已知直線y1＝2x的圖象如圖所示，且與函數(shù)y2＝－x＋4相交于點(diǎn)A.(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出y2＝－x＋4的函數(shù)圖象；(2)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；(3)關(guān)于x，y的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋y＝4))的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(8,3)))．解：(1)列表：x…04…y＝－x＋4…40…描點(diǎn)、連線，如圖所示.(2)由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y＝－x＋4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(8,3).))所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(eq\f(4,3)，eq\f(8,3)).使學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)新知，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.續(xù)表教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖活動三：開放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用【變式訓(xùn)練】1．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x＋1和y＝x－2的圖象有怎樣的位置關(guān)系？方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝－1，,x－y＝2))解的情況如何？你發(fā)現(xiàn)了什么？解：一次函數(shù)y＝x＋1和y＝x－2的圖象平行，方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝－1，,x－y＝2))無解．2.已知二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax－y＋b＝0，,kx－y＝0))的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1，))則一次函數(shù)y＝ax＋b和y＝kx的圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為(B)A．(3，－1)B．(－3，1)C．(1，－3)D．(－1，3)師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考，教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖，并結(jié)合圖象進(jìn)行解答，最后教師總結(jié)：二元一次方程組無解?一次函數(shù)的圖象平行(無交點(diǎn))；二元一次方程組有一解?一次函數(shù)的圖象相交(有一個交點(diǎn))；二元一次方程組有無數(shù)個解?一次函數(shù)的圖象重合(有無數(shù)個交點(diǎn)).活動四：課堂檢測【課堂檢測】1.下列圖象中每條直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程x－2y＝2的解的是(C)2．若直線y＝3x＋6與y＝2x－4的交點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b))是下列哪組方程組的解(D)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－3x＝6，,2y＋x＝－4))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－3x＝6，,2y－x＝4))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝6，,2x－y＝－4))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝－6，,2x－y＝4))3．如圖，已知函數(shù)y＝ax＋b和y＝kx的圖象交于點(diǎn)P，則根據(jù)圖象可得，關(guān)于x，y的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝ax＋b，,y＝kx))的解是(C)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1))加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解及運(yùn)用，在問題的選擇上以基礎(chǔ)為主，讓學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，鞏固新知.續(xù)表教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖活動四：課堂檢測4.方程3x＋y＝10的解有無數(shù)個，請寫出其中的兩組解：答案不唯一，如：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝7，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))；在平面直角坐標(biāo)系中分別描出以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)，它們在(填“在”或“不在”)一次函數(shù)y＝－3x＋10的圖象上．5．一次函數(shù)y＝2x＋3與y＝2x－3的圖象的位置關(guān)系是平行，即沒有交點(diǎn)(填“有”或“沒有”)，由此可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋3＝0，,2x－y－3＝0))的解的情況是無解．6．在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝2x＋1和y＝－2x＋1的圖象，并利用圖象寫出二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,y＝－2x＋1))的解．解：如圖所示，二元一次方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1.))師生活動：學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂檢測，完成后，教師進(jìn)行批閱、點(diǎn)評、講解.課堂小結(jié)1.課堂小結(jié)：(1)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些知識？學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？(2)本節(jié)課還有哪些疑惑？請同學(xué)們說一說．2．布置作業(yè)：教材第129頁隨堂練習(xí)第1，2，3題；教材第132頁習(xí)題5.4第1，2，3題.學(xué)生在小結(jié)中整理知識、梳理思維，獲得成功的體驗(yàn)，積累學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成系統(tǒng)整理所學(xué)知識的習(xí)慣.板書設(shè)計第1課時二元一次方程(組)與一次函數(shù)1．二元一次方程和一次函數(shù)的圖象的關(guān)系．2．二元一次方程組和對應(yīng)的兩條直線的關(guān)系．3．解二元一次方程組的方法有三種：(1)代入消元法；(2)加減消元法；(3)圖象法.提綱挈領(lǐng)，重點(diǎn)突出.教學(xué)反思1.關(guān)注學(xué)生對“方程的解”與“圖象交點(diǎn)”對應(yīng)關(guān)系的理解，可通過多組實(shí)例對比強(qiáng)化．2．圖象法的局限性(如坐標(biāo)精度)需提醒，強(qiáng)調(diào)代數(shù)法與圖象法的互補(bǔ)性．3．結(jié)合實(shí)際問題時，引導(dǎo)學(xué)生先分析數(shù)量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)表達(dá)式，體會建模過程.反思，更進(jìn)一步提升.

第2課時用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式新課導(dǎo)入設(shè)計【置疑導(dǎo)入】小穎同學(xué)受《烏鴉喝水》故事的啟發(fā)，利用量筒和體積相同的小球進(jìn)行了如下操作：你能根據(jù)以上信息求出放入小球后量筒中水面的高度h(cm)與小球個數(shù)x之間的關(guān)系嗎？學(xué)了本節(jié)后，你就能揭開它神秘的面紗了．教學(xué)設(shè)計課題第2課時用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.能利用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達(dá)式．2．培養(yǎng)分析問題和應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力．3．體會一次函數(shù)與二元一次方程組的相互聯(lián)系，感受“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)研究中的作用.教學(xué)重點(diǎn)利用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達(dá)式.教學(xué)難點(diǎn)應(yīng)用方程與函數(shù)之間的聯(lián)系解決實(shí)際問題．授課類型新授課課時教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖回顧如圖，求一次函數(shù)的圖象對應(yīng)的表達(dá)式．直線l是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象．(1)b＝________，k＝________；(2)當(dāng)x＝3時，y＝________；(3)當(dāng)y＝3時，x＝________.問題1：一般設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為什么形式？問題2：確定一次函數(shù)的表達(dá)式關(guān)鍵是確定哪些參數(shù)的值？問題3：一次函數(shù)中b的意義是什么？通過此組練習(xí)，回顧以前所學(xué)，為新課學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).續(xù)表教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖活動一：創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課【課堂引入】A，B兩地相距100千米，甲、乙兩人騎車同時分別從A，B兩地出發(fā)相向而行．假設(shè)他們都保持勻速行駛，則他們各自離A地的距離s(千米)都是騎車時間t(時)的一次函數(shù).1小時后乙距離A地80千米；2小時后甲距離A地30千米．問經(jīng)過多長時間兩人相遇？你是怎么做的？與同伴進(jìn)行交流．創(chuàng)設(shè)具體的問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.活動二：實(shí)踐探究、交流新知【探究新知】小明：可以分別畫出兩人s與t之間關(guān)系的圖象(如圖)，找出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就行了！分析討論：用圖象法求解，兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是他們相遇時的時間．由于在前一課時已經(jīng)有了用作圖象的方法解方程組的經(jīng)驗(yàn)，因此畫圖象求解是較為自然的做法，但畫圖的結(jié)果多是近似值，難以精確．小穎：對于乙，s是t的一次函數(shù)，因此可以設(shè)s＝kt＋b.當(dāng)t＝0時，s＝100；當(dāng)t＝1時，s＝80.將它們分別代入s＝kt＋b中，可以求出k，b的值，即可求出乙的s與t之間的函數(shù)表達(dá)式．同樣可以求出甲的s與t之間的函數(shù)表達(dá)式，再聯(lián)立這兩個表達(dá)式，求解方程組就可以了．分析討論：用待定系數(shù)法確定甲、乙各自的s與t之間的函數(shù)表達(dá)式，再用消元法解方程組，能準(zhǔn)確地求出結(jié)果．小亮：1h后乙距離A地80km，即乙的速度是20km/h；2h后甲距離A地30km，即甲的速度是15km/h.由此可以求出甲、乙兩人的速度和，再用總路程100km除以兩者的速度和即可……分析討論：用代數(shù)法，根據(jù)行程問題中的相遇問題，找出等量關(guān)系列一元一次方程來解．師：既然大家對他們的想法都有了一定的認(rèn)識，你能說說，他們的想法的優(yōu)缺點(diǎn)嗎？生：在剛才討論的基礎(chǔ)上，可以達(dá)成一致的看法是：小明想法的優(yōu)點(diǎn)是：直觀地獲得問題的結(jié)果，使考慮問題的思路清晰，借助圖象幫助我們尋找解題途徑．缺點(diǎn)是：作圖象的方法難以獲得準(zhǔn)確的結(jié)果．小穎的想法，既利用了小明的想法的優(yōu)點(diǎn)，又克服了其缺點(diǎn)．由此可見當(dāng)遇到一次函數(shù)與二元一次方程組有關(guān)的問題，要認(rèn)真設(shè)清題意，必要時要借助數(shù)形結(jié)合，從圖象信息確定一次函數(shù)表達(dá)式，加強(qiáng)一次函數(shù)與二元一次方程組的聯(lián)系．歸納總結(jié)：用圖象法可以直觀地獲得問題的結(jié)果，但是有時難以獲得準(zhǔn)確的結(jié)果．為了獲得準(zhǔn)確的結(jié)果，一般用代數(shù)法．通過實(shí)際問題情境，進(jìn)一步加強(qiáng)函數(shù)與方程的聯(lián)系，在用多種方法解決問題的思考和比較中，體會圖象法與代數(shù)法各自的特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，掌握用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式的方法．同時理解知識之間有著廣泛的聯(lián)系.續(xù)表教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖活動三：開放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用【典型例題】例(教材第130頁例)在某汽車客運(yùn)站，乘坐長途車的乘客可以免費(fèi)攜帶一定質(zhì)量的行李，超過該質(zhì)量需購買行李票，且行李費(fèi)y(單位：元)是行李質(zhì)量x(單位：kg)的一次函數(shù)．已知李明帶了60kg的行李，交了行李費(fèi)5元；張華帶了90kg的行李，交了行李費(fèi)10元．(1)寫出y與x之間的關(guān)系式；(2)每名乘客最多可免費(fèi)攜帶多少千克的行李？解：(1)設(shè)y＝kx＋b，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＝60k＋b，①,10＝90k＋b.②))②－①，得30k＝5，k＝eq\f(1,6).將k＝eq\f(1,6)代入①，得b＝－5.所以y＝eq\f(1,6)x－5.(2)當(dāng)x＝30時，y＝0.所以每名乘客最多可免費(fèi)攜帶30kg的行李．【變式訓(xùn)練】在正常情況下，一個人在運(yùn)動時所能承受的最高心跳次數(shù)S(次/分)與這個人的年齡n(歲)滿足關(guān)系式：S＝an＋b，其中a，b均為常數(shù)．(1)根據(jù)圖中提供的信息，求a，b的值；(2)若一位63歲的人在跑步，醫(yī)生在途中給他測得10秒心跳為26次，問：他是否有危險？為什么？解：(1)根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(164＝15a＋b，,144＝45a＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(2,3)，,b＝174.))所以a＝－eq\f(2,3)，b＝174.(2)當(dāng)n＝63時，S＝－eq\f(2,3)×63＋174＝132(次/分)，即63歲的人在運(yùn)動時所能承受的最高心跳次數(shù)為132次/分．而26×eq\f(60,10)＝156(次/分)＞132(次/分)，所以他有危險．師生活動：學(xué)生分小組討論完成解答．利用文字提供的信息，讓學(xué)生掌握利用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式的具體做法，讓學(xué)生深刻理解解決這種問題的一般步驟與方法，在此基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識、閱讀理解能力與建立模型解決問題的能力，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，充分加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系.續(xù)表教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖活動四：課堂檢測【課堂檢測】1.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，1)和(－1，－3)，則它的表達(dá)式為(D)A．y＝eq\f(3,4)x－eq\f(5,3)B．y＝eq\f(4,3)x－eq\f(3,5)C．y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(3,5)D．y＝eq\f(4,3)x－eq\f(5,3)2．已知y是x的一次函數(shù)，下表中列出了部分對應(yīng)值，則m等于(C)x－101y1m－5A.－1B．0C．－2D.eq\f(1,2)3.如圖，兩摞相同規(guī)格的飯碗整齊地疊放在桌