2025-2026學年九年級數(shù)學上學期第一次月考卷提升卷·全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：北師大版九年級上冊第一章~第二章。一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的概念，整理后形如（其中，且a，b，c是常數(shù)）的方程是一元二次方程；根據(jù)此概念進行判斷即可．【詳解】解：A、方程整理后為，不是一元二次方程，故不符合題意；B、當時才是一元二次方程，否則不是一元二次方程，故不符合題意；C、符合一元二次方程的概念，是一元二次方程，故符合題意；D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合題意；故選：C．2．如圖，在中，，是的中點，，則的長為（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】本題主要考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)；熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半求解．【詳解】解：在中，是的中點，，故選：D．3．一元二次方程的根的情況為（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．只有一個實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．【詳解】解：，方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：C．4．如圖，在矩形中，對角線與相交于點O，如果，，那么的長為（）A．2 B．4 C． D．2【答案】B【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，由矩形的性質(zhì)可得，再證明，則可證明是等邊三角形，得到，則，再由矩形的對角線相等即可解答．【詳解】解：∵矩形的對角線、相交于點，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴在矩形中，．故選：B．5．已知，是方程的兩個實數(shù)根，則的值是（）A．2022 B． C． D．2023【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若，為方程的兩個根，則，與系數(shù)的關(guān)系式：，．【詳解】∵，是方程的兩個實數(shù)根，∴，∴故選：B6．如圖，以正方形的一邊向形外作等邊，與交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，先由正方形的性質(zhì)得到，，再證明得到，由等邊三角形的性質(zhì)推出，，據(jù)此求出的度數(shù)，進而求出的度數(shù)，即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，，又∵，∴，∴；∵是等邊三角形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，故選：A．7．若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則a的值為（

）A．4 B． C．4或 D．0【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為2的整式方程叫做一元二次方程，據(jù)此可得，解之即可得到答案．【詳解】解：∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，∴，∴，故選：A．8．如圖，四邊形的對角線相交于點O，，則下列說法中錯誤的是（

）A．若，則四邊形是矩形B．若平分，則四邊形是菱形C．若且，則四邊形是正方形D．若且，則四邊形是正方形【答案】D【分析】本題主要考查了平行四邊形、矩形、菱形以及正方形的判定等知識點，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)平行四邊形的判定證明是平行四邊形，再根據(jù)已知條件結(jié)合菱形、矩形及正方形的判定逐項判斷即可．【詳解】解：∵，∴四邊形是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），∵，∴平行四邊形是矩形，A正確，不符合題意；∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴平行四邊形是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形），B正確，不符合題意；∵，四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形是矩形，∵，四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形是菱形，∴平行四邊形是正方形，C正確，不符合題意；∵或，四邊形是平行四邊形，∴都只能證明平行四邊形是菱形，D錯誤，符合題意．故選：D．9．學校要組織足球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間賽一場），計劃安排21場比賽，應(yīng)邀請多少個球隊參賽?設(shè)應(yīng)邀請個球隊參賽，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)單循環(huán)比賽的賽制，分析球隊比賽總場次與球隊數(shù)量的關(guān)系，從而列出方程．本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，熟練掌握單循環(huán)比賽場次的計算方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得．故選：B．10．如圖，在菱形中，．為邊中點．將菱形沿過點的直線折疊，使點落在直線上的點處，折痕為，與交于點．有如下結(jié)論：；；；，則正確結(jié)論有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，推出和是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，從而判斷；根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，從而判斷；易得，通過線段之間的數(shù)量關(guān)系，證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，從而判斷；過作于，求得，易證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，連接，交于點，四邊形是菱形，，，和是等邊三角形，是邊的中點，，將菱形沿過點的直線折疊，使點落在直線上的點處，，，，，故正確；，，，故正確；，，，，，，，，，，，，故正確；過作于，，，，，，，，，，，，，，，，故錯誤．故正確結(jié)論有：．故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．把方程寫成一般形式為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為（a、b、c為常數(shù)，且），因此熟悉一元二次方程的一般形式是解題關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程一般形式的特點即可求解．【詳解】解：，去括號，得，即，故答案為：．12．如圖，菱形的周長為20，對角線的長為6，則菱形的面積為．【答案】24【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求出，再求出對角線的長，進而根據(jù)菱形的面積等于對角線積的一半解答即可求解，掌握菱形的面積是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵菱形的周長為20，對角線的長為6，∴，，，∴，∴，∴，∴，故答案為：24．13．關(guān)于x的方程的解是，（均為常數(shù)，），則方程的解是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解，根據(jù)關(guān)于x的方程的解是，得出或，即方程的解是．【詳解】解：∵，∴，∵關(guān)于x的方程的解是，∴或∴方程的解是故答案為：14．如圖，正方形的對角線相交于點O，以O(shè)為頂點的正方形的兩邊分別交正方形的邊于點M，N．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長，則的大小為．【答案】9【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，推出，證出可得答案．【詳解】解：∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴，∴，故答案為：9．15．☆|數(shù)學文化《幾何原本》歐幾里得的《幾何原本》中記載，形如的方程的圖解法如下：如圖，以和b為兩直角邊長作，再在斜邊上截取則的長就是所求方程的正根．利用以上方法解關(guān)于x的一元二次方程時，若構(gòu)造后的圖形滿足，則m的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的圖解法，理解圖解法的含義是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意構(gòu)造圖形，則，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值．【詳解】解：根據(jù)題意，構(gòu)造圖形如圖所示:則，，∵，∴，即m就是的一個正根，∴解得(負值已舍)．故答案為：．16．矩形中，，，點E在邊上，．若點F是矩形邊上一點，且與點A，E構(gòu)成以為腰的等腰三角形，則等腰的底邊長是．【答案】或【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，對點F的位置分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．當點F在上時，，根據(jù)勾股定理即可求得的長；當點F在上時，，連結(jié)，，則，根據(jù)勾股定理即可求得和的長．【詳解】解：四邊形是矩形，，，當點F在上時，，；當點F在上時，，連接，，，，．綜上所述，等腰的底邊長是或．故答案為：或．三、解答題（第17，18，19，20題，每題6分；第21，22，23題，每題8分；第24，25題，每題12分；共9小題，共72分）17．解下列關(guān)于的一元二次方程：(1)；(2)．【答案】(1)，；(2)，．【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（）利用公式法求解即可；（）利用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴，；（2）解：，或，∴，．18．如圖，菱形的對角線，相交于點，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接．若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）先證明四邊形是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；（2）先證△是等邊三角形，得出，求出，再由勾股定理求出，然后由矩形得出，，最后由勾股定理即可求出的長．【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，又四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形；（2）解：四邊形是菱形，，，，，是等邊三角形，，，在中，由勾股定理得：，由（1）得：四邊形是矩形，，，在中，由勾股定理得：．19．已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根．(1)求實數(shù)k的取值范圍．(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為，若，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程．（1）根據(jù)根的判別式計算即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列一元二次方程求解即可．【詳解】（1）解：關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，，，；（2）解：方程的兩個實數(shù)根分別為，，，，，，或1，，．20．小明家新房買了一盞簡單而精致的吊燈（圖1），其正面的平面圖如圖2所示，四邊形是一個菱形外框架，對角線，相交于點，四邊形是其內(nèi)部框架，且點E、F在上，．(1)判斷四邊形內(nèi)部框架的形狀為___________，請證明你的結(jié)論．(2)若，為的中點，求證：．(3)在（2）的條件下，若，直接寫出四邊形的周長．【答案】(1)菱形，證明見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）通過為菱形得到，，又，所以可知，從而得到為平行四邊形，再通過對角線垂直進而可知其為菱形；（2）易知是直角三角形，F(xiàn)為斜邊的中點，得到，再根據(jù)為菱形得到，即可得出結(jié)論；（3）通過勾股定理求出，進而可得到四邊形的周長．【詳解】（1）解：四邊形內(nèi)部框架的形狀為菱形，證明如下：四邊形是菱形，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，即，平行四邊形是菱形；故答案為：菱形；（2）解：，是直角三角形，為的中點，，四邊形是菱形，，；（3）解：∵四邊形為菱形，∴，在中，，，∴，解得（負值舍去），∵四邊形為菱形，∴菱形的周長為．21．電影《哪吒之魔童鬧海》熱映后，哪吒與敖丙的聯(lián)名玩偶深受歡迎．某網(wǎng)購平臺商家3月4日銷售玩偶共200個，5日、6日銷售量持續(xù)增長，6日銷量達到338個．(1)求3月5日、6日這兩天玩偶銷售量的日平均增長率．(2)為慶祝《哪吒之魔童鬧?！啡蚱狈看筚u，商家決定做優(yōu)惠活動．已知玩偶每個成本30元，售價為每個50元時，日銷量可達320個；每降價1元，日銷量可增加5個．當每個玩偶降價多少元時，當日總利潤可達到5940元？【答案】(1)日平均增長率為(2)每個玩偶降價元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)日平均增長率為，根據(jù)題意，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；（2）設(shè)每個玩偶降價元，根據(jù)當日總利潤可達到元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)日平均增長率為，由題意得：，解得：，（舍），答：日平均增長率為；（2）解：設(shè)每個玩偶降價元，由題意得：，解得：，（舍），答：每個玩偶降價元．22．如圖，在矩形中，，．點從點出發(fā)向點運動，運動到點即停止；同時，點從點出發(fā)向點運動，運動到點即停止，點、的速度都是．連接、、，設(shè)點、運動的時間為．(1)求當為何值時，四邊形是矩形；(2)求當為何值時，四邊形是菱形；(3)在運動過程中，沿著把翻折，求當為何值時，翻折后點的對應(yīng)點恰好落在邊上．【答案】(1)(2)(3)1或3【分析】（1）由題意得，，，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，，當時，四邊形是矩形，據(jù)此列出關(guān)于的方程，即可求解；（2）先證明四邊形是平行四邊形，當時，四邊形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出關(guān)于的方程，即可求解；（3）由折疊的性質(zhì)可得，，，，由可得，進而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答．【詳解】（1）解：由題意得，，，在矩形中，，，，當時，四邊形是矩形，則，解得，∴當時，四邊形是矩形；（2）解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴當時，四邊形是菱形，根據(jù)勾股定理得：，則，解得，∴當時，四邊形是菱形；（3）解：如圖2，由折疊的性質(zhì)可得，，，，，在矩形中，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，整理得：，解得，，即當?shù)扔?或3時，翻折后點的對應(yīng)點恰好落在邊上．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、菱形的判定、翻折的性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握矩形與菱形的判定是解題的關(guān)鍵．23．定義：如果關(guān)于x的一元二次方程（）有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大1，則稱這樣的方程為“鄰根方程”．(1)下列方程是“鄰根方程”的是______（填序號）．①；②；③；④．(2)若方程是“鄰根方程”，，是方程的兩根，求：①請求出k的值；②求方程的兩個根．【答案】(1)②④(2)①，②，【分析】本題考查了解一元二次方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．（1）分別求得①②③中兩個方程的根，再根據(jù)“鄰根方程”的定義判斷即可；（2）①利用根與系數(shù)的關(guān)系和“鄰根方程”的定義列出關(guān)于k的方程求解即可；②利用，即可求得、．【詳解】（1）解：①解方程得，，∵，∴方程不是“鄰根方程”；②解方程得，，∵，∴方程是“鄰根方程”；③解方程得，，∵，∴方程不是“鄰根方程”；④解方程得，，∵，∴方程是“鄰根方程”．故答案為：②④；（2）解：①∵方程是“鄰根方程”，、是方程的兩根，∴，，，∵，∴，解得；②∵方程是“鄰根方程”，、是方程的兩根，∴，，解得，．24．綜合實踐課上，老師讓同學們以“簡單矩形折疊”為主題開展數(shù)學活動，同學們積極參與了矩形折疊活動．(1)【操作與證明】：①如圖①所示，王華將矩形沿折疊后，使得點與點重合，點與點重合，若，則_______，_______；②如圖②所示，張亮將矩形沿對角線折疊后，使得點與點重合，與相交于點，過點作交于點，求證：四邊形是菱形；(2)【遷移應(yīng)用】：如圖③所示，李明將矩形沿對角線折疊后，使得點與點重合，與相交于點，連接，若，求的長．【答案】(1)①；②證明過程見詳解(2)的長為【分析】（1）①根據(jù)折疊得到，由平角的性質(zhì)得到，由此得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；②根據(jù)矩形的性質(zhì)可得四邊形是平行四邊形，由折疊的性質(zhì)，可證，，結(jié)合菱形的判定方法即可求解；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，由勾股定理得到，根據(jù)折疊得到，由全等的性質(zhì)得到，如圖所示，過點作于點，運用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：①∵折疊，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，故答案為：；②證明：∵四邊形是矩形，∴，，即，又，∴四邊形是平行四邊形，∵折疊，∴，∴在和中，，∴，∴，∴平行四邊形是菱形；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，，在中，，∴，，∵折疊，∴，∴，由（1）得到，∴，如圖所示，過點作于點，∴，∴，∴，∴，∴的長為．【點睛】本題主要考查矩形與折疊的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運用