什么叫數(shù)學(xué)課題申報(bào)書一、封面內(nèi)容

項(xiàng)目名稱：高維數(shù)據(jù)幾何結(jié)構(gòu)挖掘中的代數(shù)拓?fù)浞椒ㄑ芯?/p>

申請(qǐng)人姓名及聯(lián)系方式：張明，zhangming@

所屬單位：北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

申報(bào)日期：2023年10月26日

項(xiàng)目類別：基礎(chǔ)研究

二．項(xiàng)目摘要

本項(xiàng)目聚焦于高維數(shù)據(jù)幾何結(jié)構(gòu)挖掘中的代數(shù)拓?fù)浞椒ㄑ芯?，旨在通過(guò)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)工具構(gòu)建高效的數(shù)據(jù)表征與分析框架。當(dāng)前高維數(shù)據(jù)（如基因組學(xué)、金融交易數(shù)據(jù)）的復(fù)雜結(jié)構(gòu)給傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)方法帶來(lái)挑戰(zhàn)，而代數(shù)拓?fù)渥鳛檫B接幾何與代數(shù)的橋梁，為揭示高維數(shù)據(jù)的內(nèi)在拓?fù)涮卣魈峁┝诵碌囊暯?。本?xiàng)目擬系統(tǒng)研究持久同調(diào)、骨架圖等拓?fù)洳蛔兞吭诟呔S數(shù)據(jù)降維、分類與聚類中的應(yīng)用，重點(diǎn)解決以下科學(xué)問(wèn)題：1）如何設(shè)計(jì)基于拓?fù)涮卣鞯聂敯艚稻S算法，以保留關(guān)鍵數(shù)據(jù)流形結(jié)構(gòu)；2）如何構(gòu)建拓?fù)鋽?shù)據(jù)嵌入方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)高維非線性流形的有效表征；3）如何將拓?fù)洳蛔兞颗c深度學(xué)習(xí)模型結(jié)合，提升模型在小樣本場(chǎng)景下的泛化能力。研究將采用同調(diào)計(jì)算理論、圖論與機(jī)器學(xué)習(xí)交叉驗(yàn)證相結(jié)合的技術(shù)路線，通過(guò)理論分析、數(shù)值模擬與實(shí)際案例驗(yàn)證，預(yù)期開(kāi)發(fā)出兼具理論深度與工程實(shí)用性的高維數(shù)據(jù)拓?fù)浞治銎脚_(tái)。成果將推動(dòng)代數(shù)拓?fù)湓跀?shù)據(jù)科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，并為復(fù)雜系統(tǒng)建模提供新的數(shù)學(xué)工具。

三.項(xiàng)目背景與研究意義

在數(shù)據(jù)科學(xué)飛速發(fā)展的今天，高維數(shù)據(jù)已成為科學(xué)研究與工程應(yīng)用中的核心形態(tài)。從生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的基因組序列、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)，到金融領(lǐng)域的交易網(wǎng)絡(luò)、市場(chǎng)波動(dòng)，再到社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析中的用戶行為、城市交通流，高維數(shù)據(jù)普遍呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性結(jié)構(gòu)、高噪聲干擾以及內(nèi)在流形維度遠(yuǎn)低于數(shù)據(jù)維度等特點(diǎn)。這些特性使得傳統(tǒng)的基于歐氏幾何假設(shè)的統(tǒng)計(jì)方法與機(jī)器學(xué)習(xí)算法（如主成分分析PCA、線性判別分析LDA等）在處理高維數(shù)據(jù)時(shí)面臨嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。一方面，這些方法難以有效捕捉數(shù)據(jù)中隱藏的稀疏、低維流形結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致降維效果不佳或丟失關(guān)鍵信息；另一方面，在高維空間中，數(shù)據(jù)點(diǎn)分布稀疏，類間邊界模糊，使得聚類和分類任務(wù)變得異常困難，模型的泛化能力顯著下降。此外，現(xiàn)有方法大多依賴于手工設(shè)計(jì)的特征工程，缺乏對(duì)數(shù)據(jù)內(nèi)在幾何與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的自動(dòng)、自適應(yīng)發(fā)現(xiàn)機(jī)制，這嚴(yán)重限制了數(shù)據(jù)挖掘的深度與廣度。

當(dāng)前，高維數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域正經(jīng)歷著從傳統(tǒng)計(jì)算方法向現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論深度滲透的轉(zhuǎn)型期。其中，代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)作為研究空間拓?fù)湫再|(zhì)與代數(shù)結(jié)構(gòu)之間深刻聯(lián)系的數(shù)學(xué)分支，近年來(lái)展現(xiàn)出其在處理高維復(fù)雜數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)方面的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。代數(shù)拓?fù)渫ㄟ^(guò)同調(diào)、上同調(diào)等代數(shù)不變量，能夠?qū)Ω呔S數(shù)據(jù)集的連通性、洞（void）、圈（loop）等拓?fù)涮卣鬟M(jìn)行精確量化，從而為理解數(shù)據(jù)的內(nèi)在幾何結(jié)構(gòu)提供了一種全新的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。例如，持久同調(diào)（PersistentHomology,PH）作為近年來(lái)備受關(guān)注的研究工具，能夠捕捉數(shù)據(jù)拓?fù)涮卣麟S尺度變化的演化過(guò)程，生成拓?fù)浜灻═opologicalSignature），有效表征高維數(shù)據(jù)的“形狀”與“骨架”。盡管代數(shù)拓?fù)湓诟呔S數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域展現(xiàn)出巨大潛力，但現(xiàn)有研究仍面臨諸多瓶頸：首先，理論層面對(duì)于如何從拓?fù)洳蛔兞恐刑崛【哂信袆e力的信息，以及如何將拓?fù)涮卣髋c機(jī)器學(xué)習(xí)模型深度融合，尚缺乏系統(tǒng)性理論框架；其次，現(xiàn)有拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法在計(jì)算效率、可解釋性以及對(duì)大規(guī)模復(fù)雜數(shù)據(jù)的處理能力上仍有不足，難以滿足實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景的需求；再次，對(duì)于不同類型高維數(shù)據(jù)（如時(shí)間序列、圖數(shù)據(jù)、功能數(shù)據(jù)）的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)表征方式，以及如何根據(jù)具體問(wèn)題選擇或設(shè)計(jì)合適的拓?fù)涔ぞ?，仍缺乏普適性的指導(dǎo)原則。因此，深入開(kāi)展基于代數(shù)拓?fù)涞母呔S數(shù)據(jù)幾何結(jié)構(gòu)挖掘研究，不僅具有重要的理論價(jià)值，更是應(yīng)對(duì)當(dāng)前高維數(shù)據(jù)分析挑戰(zhàn)、推動(dòng)數(shù)據(jù)科學(xué)理論發(fā)展的迫切需求。

本項(xiàng)目的開(kāi)展具有顯著的社會(huì)、經(jīng)濟(jì)與學(xué)術(shù)價(jià)值。從學(xué)術(shù)價(jià)值看，本項(xiàng)目將推動(dòng)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)在數(shù)據(jù)科學(xué)領(lǐng)域的縱深發(fā)展，通過(guò)構(gòu)建拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析的理論框架與方法體系，填補(bǔ)現(xiàn)有研究在理論深度與系統(tǒng)性的空白。研究將深化對(duì)高維數(shù)據(jù)內(nèi)在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與其代數(shù)表征之間關(guān)系的理解，為幾何數(shù)據(jù)學(xué)、拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析等新興交叉學(xué)科領(lǐng)域貢獻(xiàn)新的理論成果。具體而言，項(xiàng)目預(yù)期在以下方面取得突破：1）建立基于拓?fù)涮卣鞯母呔S數(shù)據(jù)降維理論，提出能夠有效保留數(shù)據(jù)流形結(jié)構(gòu)的拓?fù)浣稻S算法，解決傳統(tǒng)降維方法在高維非線性場(chǎng)景下的性能瓶頸問(wèn)題；2）發(fā)展拓?fù)鋽?shù)據(jù)嵌入方法，實(shí)現(xiàn)高維數(shù)據(jù)到低維空間的有效映射，同時(shí)保持?jǐn)?shù)據(jù)的類間分離度與類內(nèi)緊密度，為復(fù)雜分類與聚類任務(wù)提供新的解決方案；3）探索拓?fù)洳蛔兞颗c深度學(xué)習(xí)模型的融合機(jī)制，構(gòu)建拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)框架，提升模型在小樣本、高維度、強(qiáng)噪聲場(chǎng)景下的魯棒性與泛化能力。這些理論創(chuàng)新將豐富數(shù)據(jù)挖掘的理論內(nèi)涵，促進(jìn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉融合，為培養(yǎng)兼具數(shù)學(xué)功底與數(shù)據(jù)科學(xué)能力的復(fù)合型人才提供支撐。

從經(jīng)濟(jì)價(jià)值看，高維數(shù)據(jù)挖掘已成為驅(qū)動(dòng)各行業(yè)創(chuàng)新發(fā)展的關(guān)鍵引擎。本項(xiàng)目的研究成果有望轉(zhuǎn)化為實(shí)用的數(shù)據(jù)分析工具與平臺(tái)，直接應(yīng)用于多個(gè)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，產(chǎn)生顯著的經(jīng)濟(jì)效益。在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，本項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法能夠更精確地刻畫基因組、蛋白質(zhì)等生物大分子的結(jié)構(gòu)信息，輔助藥物設(shè)計(jì)、疾病診斷與個(gè)性化醫(yī)療，降低研發(fā)成本，提高治療效率。例如，通過(guò)拓?fù)涮卣鞣治?，可以更有效地識(shí)別與疾病相關(guān)的基因組變異模式，加速新藥靶點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)；在金融領(lǐng)域，本項(xiàng)目的方法能夠?qū)鹑谑袌?chǎng)交易網(wǎng)絡(luò)、投資組合風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行更精準(zhǔn)的拓?fù)浣Ｅc預(yù)測(cè)，為量化交易策略、風(fēng)險(xiǎn)管理提供新的數(shù)學(xué)依據(jù)，提升金融機(jī)構(gòu)的決策能力與市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力。在材料科學(xué)領(lǐng)域，通過(guò)對(duì)材料微觀結(jié)構(gòu)的拓?fù)浔碚?，可以輔助設(shè)計(jì)具有特定物理性能的新型材料，推動(dòng)材料基因組計(jì)劃的發(fā)展。此外，本項(xiàng)目的研究成果還可應(yīng)用于社交網(wǎng)絡(luò)分析、城市交通優(yōu)化、智能制造等領(lǐng)域，通過(guò)揭示復(fù)雜數(shù)據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)與演化規(guī)律，為優(yōu)化資源配置、提升社會(huì)運(yùn)行效率提供科學(xué)決策支持。

從社會(huì)價(jià)值看，本項(xiàng)目的研究有助于提升社會(huì)對(duì)復(fù)雜數(shù)據(jù)系統(tǒng)的認(rèn)知能力，促進(jìn)科學(xué)發(fā)現(xiàn)與社會(huì)進(jìn)步。高維數(shù)據(jù)廣泛存在于環(huán)境監(jiān)測(cè)、公共安全、公共衛(wèi)生等社會(huì)關(guān)切的領(lǐng)域，對(duì)其進(jìn)行有效挖掘與分析對(duì)于應(yīng)對(duì)社會(huì)挑戰(zhàn)、改善民生福祉具有重要意義。例如，在環(huán)境科學(xué)領(lǐng)域，通過(guò)對(duì)氣候變化數(shù)據(jù)、污染擴(kuò)散模型的拓?fù)浞治?，可以更?zhǔn)確地預(yù)測(cè)環(huán)境風(fēng)險(xiǎn)，為環(huán)境保護(hù)與可持續(xù)發(fā)展提供科學(xué)依據(jù)。在公共安全領(lǐng)域，本項(xiàng)目的方法能夠應(yīng)用于犯罪模式分析、網(wǎng)絡(luò)輿情監(jiān)測(cè)，揭示社會(huì)現(xiàn)象背后的復(fù)雜關(guān)聯(lián)與動(dòng)態(tài)演化規(guī)律，為維護(hù)社會(huì)穩(wěn)定提供決策支持。在公共衛(wèi)生領(lǐng)域，通過(guò)對(duì)疫情傳播數(shù)據(jù)、健康大數(shù)據(jù)的拓?fù)浣?，可以更快速地識(shí)別疫情傳播路徑與風(fēng)險(xiǎn)群體，為疫情防控與公共衛(wèi)生政策制定提供科學(xué)指導(dǎo)。通過(guò)本項(xiàng)目的研究，不僅能夠推動(dòng)科技成果向現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)力的轉(zhuǎn)化，更能提升社會(huì)整體的數(shù)據(jù)素養(yǎng)與科學(xué)決策水平，促進(jìn)社會(huì)智能化發(fā)展。

四.國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

高維數(shù)據(jù)幾何結(jié)構(gòu)挖掘是當(dāng)前數(shù)據(jù)科學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的前沿?zé)狳c(diǎn)，吸引了大量國(guó)內(nèi)外研究者的關(guān)注。國(guó)際上，該領(lǐng)域的研究起步較早，發(fā)展較為成熟，主要集中在拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析（TopologicalDataAnalysis,TDA）的理論構(gòu)建、核心算法實(shí)現(xiàn)及其在生物信息學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)視覺(jué)等領(lǐng)域的應(yīng)用探索。早期的研究工作主要圍繞特征拓?fù)洳蛔兞浚ㄈ鏐etti數(shù)、循環(huán)秩、骨架圖）的計(jì)算展開(kāi)。其中，BarycentricCalculus（重心計(jì)算）和Vietoris-Rips復(fù)雜度（Vietoris-RipsComplex）是兩種經(jīng)典的計(jì)算持久同調(diào)的方法，它們通過(guò)在尺度參數(shù)上逐步構(gòu)建和簡(jiǎn)化simplicial復(fù)雜度（單純復(fù)形復(fù)雜度）來(lái)近似數(shù)據(jù)集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。此外，AlphaComplex方法作為一種基于α-切割的拓?fù)浔硎痉椒?，也被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化與特征提取。這些早期工作為后續(xù)的拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析奠定了基礎(chǔ)，但它們?cè)谟?jì)算效率和理論嚴(yán)謹(jǐn)性方面存在局限，尤其是在處理大規(guī)模和高維數(shù)據(jù)時(shí)，計(jì)算成本過(guò)高，且難以有效處理噪聲數(shù)據(jù)。

隨著研究的深入，持久同調(diào)作為TDA的核心工具，受到了廣泛關(guān)注。Gutierrez等人在理論層面深入研究了持久同調(diào)的穩(wěn)定性與魯棒性，證明了在噪聲擾動(dòng)下，重要的拓?fù)涮卣鳎闯志猛{(diào)類）能夠保持穩(wěn)定，為TDA在現(xiàn)實(shí)世界數(shù)據(jù)的應(yīng)用提供了理論保障。同時(shí)，研究人員開(kāi)始探索持久同調(diào)與其他數(shù)學(xué)工具的結(jié)合，例如，與譜圖理論相結(jié)合，通過(guò)分析數(shù)據(jù)圖的拉普拉斯譜的拓?fù)涮卣鱽?lái)進(jìn)行聚類與分類；與代數(shù)圖論相結(jié)合，利用圖的各種不變量來(lái)刻畫數(shù)據(jù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在算法實(shí)現(xiàn)方面，為了提高計(jì)算效率，研究者提出了多種加速持久同調(diào)計(jì)算的方法，包括基于過(guò)濾器的算法（如AlphaShape）、基于采樣或降維的算法，以及利用并行計(jì)算和GPU加速的技術(shù)。這些進(jìn)展顯著提升了TDA的實(shí)用性和可擴(kuò)展性。

近年來(lái)，隨著深度學(xué)習(xí)技術(shù)的迅猛發(fā)展，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)始探索將TDA與深度學(xué)習(xí)相結(jié)合，構(gòu)建拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)模型。這一方向的研究旨在利用TDA捕捉數(shù)據(jù)內(nèi)在的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)信息，作為深度學(xué)習(xí)模型的輸入或作為模型結(jié)構(gòu)的一部分，從而提升模型在復(fù)雜數(shù)據(jù)集上的性能。例如，一些研究者嘗試將拓?fù)涮卣鳎ㄈ绯志猛{(diào)的Betti數(shù)或拓?fù)浜灻┳鳛檩o助信息，輸入到卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）或循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）中，以增強(qiáng)模型對(duì)數(shù)據(jù)流形結(jié)構(gòu)的理解。此外，也有研究探索將拓?fù)鋽?shù)據(jù)嵌入（TopologicalDataEmbedding）思想融入自編碼器（Autoencoder）或變分自編碼器（VariationalAutoencoder）中，通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的拓?fù)浔硎緛?lái)進(jìn)行降維和生成。這些工作初步展示了TDA與深度學(xué)習(xí)融合的潛力，但仍處于探索階段，如何有效地將拓?fù)湫畔⑷谌肷疃葘W(xué)習(xí)框架，以及如何設(shè)計(jì)能夠自適應(yīng)學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)拓?fù)涮卣鞯纳窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，是當(dāng)前研究面臨的重要挑戰(zhàn)。

在國(guó)內(nèi)，高維數(shù)據(jù)幾何結(jié)構(gòu)挖掘的研究起步相對(duì)較晚，但發(fā)展迅速，已在多個(gè)領(lǐng)域取得了顯著成果。國(guó)內(nèi)學(xué)者在拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析的理論研究方面，主要集中在持久同調(diào)的計(jì)算效率優(yōu)化、拓?fù)涮卣鞯聂敯粜苑治鲆约芭c機(jī)器學(xué)習(xí)的融合機(jī)制探索。在計(jì)算效率方面，國(guó)內(nèi)研究者提出了多種基于采樣、近似和并行計(jì)算的持久同調(diào)加速算法，例如，基于多重網(wǎng)格（Multigrid）方法的持久同調(diào)計(jì)算，以及利用圖嵌入技術(shù)加速持久同調(diào)計(jì)算的方法。在魯棒性分析方面，國(guó)內(nèi)學(xué)者研究了噪聲對(duì)持久同調(diào)的影響，并提出了基于噪聲過(guò)濾的拓?fù)涮卣魈崛》椒?。在融合機(jī)制探索方面，國(guó)內(nèi)研究者嘗試將拓?fù)涮卣髋c支持向量機(jī)（SVM）、隨機(jī)森林（RandomForest）等傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)模型相結(jié)合，取得了初步成果。

在應(yīng)用方面，國(guó)內(nèi)學(xué)者將高維數(shù)據(jù)幾何結(jié)構(gòu)挖掘技術(shù)應(yīng)用于生物信息學(xué)、材料科學(xué)、金融工程、社交網(wǎng)絡(luò)分析等領(lǐng)域，取得了系列創(chuàng)新性成果。在生物信息學(xué)領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)研究者利用拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法研究了蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)、基因組數(shù)據(jù)、轉(zhuǎn)錄組數(shù)據(jù)的拓?fù)涮卣鳎o助疾病診斷、藥物設(shè)計(jì)和新藥研發(fā)。例如，利用拓?fù)涮卣鲗?duì)癌癥基因組數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析，揭示了不同癌癥亞型的基因組結(jié)構(gòu)差異；利用拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法研究了蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)，揭示了蛋白質(zhì)功能模塊的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在材料科學(xué)領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)研究者利用拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法研究了材料的微觀結(jié)構(gòu)，輔助設(shè)計(jì)具有特定物理性能的新型材料。例如，利用拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法研究了金屬合金的微觀結(jié)構(gòu)，揭示了材料的力學(xué)性能與其微觀結(jié)構(gòu)的拓?fù)潢P(guān)系；利用拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法研究了鈣鈦礦材料的能帶結(jié)構(gòu)，輔助設(shè)計(jì)高效的光伏材料。在金融工程領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)研究者利用拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法研究了金融市場(chǎng)交易網(wǎng)絡(luò)、投資組合風(fēng)險(xiǎn)，為量化交易策略、風(fēng)險(xiǎn)管理提供了新的數(shù)學(xué)工具。例如，利用拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法研究了金融市場(chǎng)交易網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，揭示了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的傳播路徑；利用拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法研究了投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益特征，設(shè)計(jì)了具有更低風(fēng)險(xiǎn)的投資組合。

盡管國(guó)內(nèi)外在高維數(shù)據(jù)幾何結(jié)構(gòu)挖掘領(lǐng)域取得了顯著進(jìn)展，但仍存在一些尚未解決的問(wèn)題和研究空白。首先，在理論層面，現(xiàn)有拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法大多基于simplicial復(fù)雜度，但在處理非流形數(shù)據(jù)、高維數(shù)據(jù)以及動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)時(shí)，其理論性質(zhì)和適用性仍需進(jìn)一步研究。此外，如何設(shè)計(jì)更有效的拓?fù)洳蛔兞縼?lái)捕捉數(shù)據(jù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，以及如何建立拓?fù)涮卣髋c數(shù)據(jù)類別、功能之間的理論聯(lián)系，是當(dāng)前研究面臨的重要挑戰(zhàn)。其次，在算法層面，現(xiàn)有拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法在計(jì)算效率、可擴(kuò)展性和魯棒性方面仍有提升空間，尤其是在處理大規(guī)模、高維、動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)時(shí)，計(jì)算成本過(guò)高，難以滿足實(shí)際應(yīng)用的需求。此外，如何設(shè)計(jì)能夠自適應(yīng)學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)拓?fù)涮卣鞯乃惴ǎ约叭绾螌⑼負(fù)湫畔⑴c其他數(shù)學(xué)工具（如圖論、譜分析）更有效地結(jié)合，是當(dāng)前研究面臨的重要挑戰(zhàn)。再次，在應(yīng)用層面，現(xiàn)有拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法的應(yīng)用大多集中在生物信息學(xué)、材料科學(xué)等領(lǐng)域，在金融工程、社交網(wǎng)絡(luò)分析等領(lǐng)域的應(yīng)用仍不充分，如何針對(duì)不同領(lǐng)域的特點(diǎn)，開(kāi)發(fā)更具針對(duì)性的拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法，是當(dāng)前研究面臨的重要挑戰(zhàn)。最后，在可解釋性方面，現(xiàn)有拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法的可解釋性較差，難以直觀地解釋拓?fù)涮卣鞯暮x，以及如何將拓?fù)湫畔⑥D(zhuǎn)化為可理解的決策支持，是當(dāng)前研究面臨的重要挑戰(zhàn)。

綜上所述，高維數(shù)據(jù)幾何結(jié)構(gòu)挖掘是一個(gè)充滿挑戰(zhàn)和機(jī)遇的研究領(lǐng)域，盡管國(guó)內(nèi)外在該領(lǐng)域已取得顯著進(jìn)展，但仍存在諸多研究空白和待解決的問(wèn)題。本項(xiàng)目擬在此基礎(chǔ)上，深入探索基于代數(shù)拓?fù)涞母呔S數(shù)據(jù)幾何結(jié)構(gòu)挖掘理論、方法與應(yīng)用，為推動(dòng)該領(lǐng)域的進(jìn)一步發(fā)展貢獻(xiàn)新的力量。

五.研究目標(biāo)與內(nèi)容

本項(xiàng)目旨在通過(guò)深入研究和開(kāi)發(fā)基于代數(shù)拓?fù)涞母呔S數(shù)據(jù)幾何結(jié)構(gòu)挖掘理論與方法，系統(tǒng)解決當(dāng)前高維數(shù)據(jù)分析面臨的挑戰(zhàn)，并提升數(shù)據(jù)挖掘的深度與廣度。具體研究目標(biāo)與內(nèi)容如下：

1.**研究目標(biāo)**

1.1理論目標(biāo)：構(gòu)建基于代數(shù)拓?fù)涞母呔S數(shù)據(jù)幾何結(jié)構(gòu)表征理論體系，闡明拓?fù)洳蛔兞颗c高維數(shù)據(jù)內(nèi)在幾何、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)關(guān)系，深化對(duì)數(shù)據(jù)拓?fù)涮卣餍纬蓹C(jī)制與信息承載能力的基礎(chǔ)理解。

1.2方法目標(biāo)：研發(fā)一系列高效的拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析算法，包括新型拓?fù)浣稻S方法、魯棒的拓?fù)鋽?shù)據(jù)嵌入技術(shù)以及拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)模型，解決現(xiàn)有方法在計(jì)算效率、可解釋性和適應(yīng)性方面的不足。

1.3應(yīng)用目標(biāo)：將所開(kāi)發(fā)的理論與方法應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)、金融工程等典型高維數(shù)據(jù)領(lǐng)域，解決實(shí)際問(wèn)題，驗(yàn)證方法的有效性，并探索拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析在不同場(chǎng)景下的應(yīng)用潛力。

1.4交叉目標(biāo)：促進(jìn)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)據(jù)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)三個(gè)領(lǐng)域的交叉融合，培養(yǎng)兼具數(shù)學(xué)理論功底和數(shù)據(jù)分析能力的復(fù)合型人才，推動(dòng)相關(guān)學(xué)科的發(fā)展。

2.**研究?jī)?nèi)容**

2.1**高維數(shù)據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)理論研究**

2.1.1**研究問(wèn)題**：如何從代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的視角，精確定義和量化高維數(shù)據(jù)的內(nèi)在幾何結(jié)構(gòu)（如流形維度、連通性、洞結(jié)構(gòu)、緊致性等）？如何建立拓?fù)洳蛔兞浚ㄈ鏐etti數(shù)、持久同調(diào)環(huán)、循環(huán)秩、骨架圖等）與高維數(shù)據(jù)特征（如類別、功能、生成過(guò)程）之間的普適性聯(lián)系？

2.1.2**研究假設(shè)**：高維數(shù)據(jù)的內(nèi)在幾何結(jié)構(gòu)可以通過(guò)其對(duì)應(yīng)的simplicial復(fù)雜度或Vietoris-Rips復(fù)雜度的代數(shù)拓?fù)洳蛔兞窟M(jìn)行有效表征。特定的拓?fù)洳蛔兞浚ㄈ绯志猛{(diào)的特定持久類）能夠穩(wěn)定地反映數(shù)據(jù)流形的關(guān)鍵特征，并與其他數(shù)學(xué)描述（如譜圖、對(duì)稱函數(shù)）存在內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)據(jù)的生成過(guò)程或演化路徑可以通過(guò)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)（TopologicalDynamicalSystems）的框架進(jìn)行建模，其拓?fù)洳蛔兞磕軌虿蹲较到y(tǒng)的吸引子結(jié)構(gòu)、分岔行為等關(guān)鍵動(dòng)力學(xué)特征。

2.1.3**研究方案**：系統(tǒng)研究simplicial復(fù)雜度、Vietoris-Rips復(fù)雜度、AlphaComplex等不同拓?fù)鋸?fù)雜度構(gòu)建方法的數(shù)學(xué)性質(zhì)及其對(duì)高維數(shù)據(jù)表征的影響。深入分析持久同調(diào)、相對(duì)同調(diào)、上同調(diào)等不同代數(shù)拓?fù)涔ぞ咴诟呔S數(shù)據(jù)表征中的適用性和局限性。探索將拓?fù)洳蛔兞颗c對(duì)稱函數(shù)理論（如辛多邊形的哈密頓量）、代數(shù)K理論等高級(jí)代數(shù)拓?fù)涔ぞ呦嘟Y(jié)合的可能性，以期獲得更豐富、更魯棒的數(shù)據(jù)表征。利用抽象代數(shù)和同調(diào)運(yùn)算理論，建立拓?fù)洳蛔兞颗c數(shù)據(jù)維度、連通性、對(duì)稱性等屬性的數(shù)學(xué)關(guān)系。

2.2**新型拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析算法的研發(fā)**

2.2.1**研究問(wèn)題**：如何設(shè)計(jì)高效的算法來(lái)計(jì)算高維數(shù)據(jù)的拓?fù)洳蛔兞浚貏e是在大規(guī)模數(shù)據(jù)集和超參數(shù)空間中？如何構(gòu)建基于拓?fù)涮卣鞯聂敯艚稻S算法，有效保留數(shù)據(jù)流形結(jié)構(gòu)并降維至低維空間？如何發(fā)展拓?fù)鋽?shù)據(jù)嵌入方法，實(shí)現(xiàn)高維數(shù)據(jù)到低維嵌入空間的可視化表示，同時(shí)保持?jǐn)?shù)據(jù)的類別或相似性結(jié)構(gòu)？

2.2.2**研究假設(shè)**：通過(guò)利用多重網(wǎng)格方法（Multigrid）、圖嵌入技術(shù)、基于α-切割的近似算法等策略，可以顯著提高持久同調(diào)等拓?fù)洳蛔兞康挠?jì)算效率。基于拓?fù)涮卣鞯慕稻S方法（如利用骨架圖或拓?fù)涮卣饕龑?dǎo)的投影）能夠比傳統(tǒng)方法更好地保留數(shù)據(jù)的非線性流形結(jié)構(gòu)。拓?fù)鋽?shù)據(jù)嵌入方法（如將拓?fù)涮卣髯鳛樽跃幋a器或變分自編碼器的正則項(xiàng)，或設(shè)計(jì)基于拓?fù)鋸埩康那度胗成洌┠軌蛟诘途S空間中有效編碼數(shù)據(jù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)信息，從而提升分類、聚類等任務(wù)的性能。

2.2.3**研究方案**：研究并改進(jìn)持久同化的計(jì)算算法，重點(diǎn)開(kāi)發(fā)適用于大規(guī)模、高維數(shù)據(jù)的并行化、近似化計(jì)算方法。設(shè)計(jì)基于拓?fù)涮卣鞯牧餍谓稻S算法，例如，利用持久同調(diào)類的尺度演化信息構(gòu)建降維映射，或利用骨架圖的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行投影。開(kāi)發(fā)拓?fù)鋽?shù)據(jù)嵌入方法，探索將拓?fù)洳蛔兞浚ㄈ缤負(fù)浜灻┗蛲負(fù)浣Y(jié)構(gòu)（如低秩持久同調(diào)矩陣）嵌入到低維空間的具體實(shí)現(xiàn)方式。研究如何利用圖論工具（如譜圖）增強(qiáng)拓?fù)浞治龅挠?jì)算效率和可解釋性。

2.3**拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)模型的設(shè)計(jì)**

2.3.1**研究問(wèn)題**：如何將拓?fù)湫畔⒂行У厝谌肷疃葘W(xué)習(xí)模型的架構(gòu)或訓(xùn)練過(guò)程中？如何設(shè)計(jì)能夠自適應(yīng)地從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)拓?fù)涮卣鞯纳疃葘W(xué)習(xí)模型？如何利用拓?fù)湓鰪?qiáng)型模型提升深度學(xué)習(xí)在高維數(shù)據(jù)小樣本、強(qiáng)噪聲、非線性場(chǎng)景下的魯棒性和泛化能力？

2.3.2**研究假設(shè)**：將拓?fù)涮卣鳎ㄈ绯志猛{(diào)的Betti數(shù)序列、拓?fù)浜灻┳鳛檩o助輸入，可以增強(qiáng)傳統(tǒng)深度學(xué)習(xí)模型（如CNN、RNN）對(duì)數(shù)據(jù)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)能力。設(shè)計(jì)包含拓?fù)涓兄獙拥纳疃葘W(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)（如將拓?fù)涮卣髡系骄矸e層或循環(huán)單元中），可以使模型直接學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的拓?fù)浔硎??；谕負(fù)浣Y(jié)構(gòu)的生成模型（如拓?fù)浼s束的自編碼器或變分自編碼器）能夠生成具有與訓(xùn)練數(shù)據(jù)相似拓?fù)涮卣鞯男聰?shù)據(jù)。

2.3.3**研究方案**：探索將拓?fù)涮卣髑度氲缴疃葘W(xué)習(xí)模型的多種方式，例如，作為卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的額外輸入通道，或作為循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始狀態(tài)。設(shè)計(jì)拓?fù)涓兄木矸e操作或循環(huán)更新規(guī)則，使網(wǎng)絡(luò)能夠直接處理或?qū)W習(xí)數(shù)據(jù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。研究基于拓?fù)鋽?shù)據(jù)的深度生成模型，例如，利用持久同調(diào)作為自編碼器的正則項(xiàng)，或設(shè)計(jì)能夠生成具有特定拓?fù)浜灻纳蓪?duì)抗網(wǎng)絡(luò)（GAN）。開(kāi)發(fā)評(píng)估拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)模型性能的指標(biāo)體系，特別是在處理小樣本、強(qiáng)噪聲數(shù)據(jù)時(shí)的表現(xiàn)。

2.4**典型應(yīng)用領(lǐng)域的實(shí)證研究**

2.4.1**研究問(wèn)題**：所開(kāi)發(fā)的理論與方法在生物醫(yī)學(xué)、金融工程等典型高維數(shù)據(jù)領(lǐng)域是否有效？如何解決這些領(lǐng)域數(shù)據(jù)的特定挑戰(zhàn)（如高噪聲、維度災(zāi)難、動(dòng)態(tài)性）？如何將拓?fù)浞治鼋Y(jié)果轉(zhuǎn)化為有意義的科學(xué)發(fā)現(xiàn)或決策支持？

2.4.2**研究假設(shè)**：基于拓?fù)浞治龅纳镝t(yī)學(xué)數(shù)據(jù)挖掘方法（如基因組數(shù)據(jù)分類、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)、疾病亞型識(shí)別）能夠發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)方法難以捕捉的生物學(xué)規(guī)律。拓?fù)湓鰪?qiáng)型模型在金融時(shí)間序列預(yù)測(cè)、交易網(wǎng)絡(luò)分析、信用風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等方面能夠提供更準(zhǔn)確、更魯棒的分析結(jié)果。將拓?fù)浞治鰬?yīng)用于材料科學(xué)數(shù)據(jù)，可以輔助發(fā)現(xiàn)新材料的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)特征。

2.4.3**研究方案**：選擇基因組學(xué)、蛋白質(zhì)組學(xué)、金融市場(chǎng)交易數(shù)據(jù)、社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)、材料微觀結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)等作為研究對(duì)象。針對(duì)每個(gè)領(lǐng)域的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，應(yīng)用所開(kāi)發(fā)的理論與方法進(jìn)行數(shù)據(jù)挖掘。例如，利用拓?fù)浞治鲎R(shí)別癌癥基因組中的關(guān)鍵變異模式，或分析金融市場(chǎng)交易網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)演化與風(fēng)險(xiǎn)傳播路徑。通過(guò)與領(lǐng)域?qū)＜液献?，?yàn)證方法的有效性，并將分析結(jié)果轉(zhuǎn)化為具體的科學(xué)結(jié)論或應(yīng)用建議。進(jìn)行跨領(lǐng)域的比較分析，總結(jié)不同拓?fù)浞治龇椒ǖ倪m用場(chǎng)景與局限性。

六.研究方法與技術(shù)路線

1.**研究方法與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)**

1.1**理論研究方法**：

1.1.1**代數(shù)拓?fù)涔ぞ?*：系統(tǒng)運(yùn)用持久同調(diào)、相對(duì)同調(diào)、上同調(diào)等核心代數(shù)拓?fù)涔ぞ摺＠糜?jì)算代數(shù)系統(tǒng)（如Macaulay2、SageMath）或自研代碼庫(kù)進(jìn)行拓?fù)洳蛔兞康挠?jì)算與理論性質(zhì)分析。研究simplicial復(fù)雜度（Vietoris-Rips、AlphaComplex）、Cubical復(fù)雜度等不同復(fù)雜度構(gòu)建方法的理論差異與適用性。

1.1.2**抽象代數(shù)與分析方法**：運(yùn)用同調(diào)運(yùn)算、同調(diào)環(huán)結(jié)構(gòu)、上同調(diào)環(huán)運(yùn)算等抽象代數(shù)知識(shí)，結(jié)合泛函分析中關(guān)于拓?fù)淇臻g連續(xù)映射與收斂性的理論，分析拓?fù)洳蛔兞康姆€(wěn)定性和敏感性。研究拓?fù)洳蛔兞颗c對(duì)稱性（利用對(duì)稱函數(shù)理論）、辛幾何（利用辛多邊形哈密頓量）等高級(jí)代數(shù)拓?fù)涔ぞ叩穆?lián)系。

1.1.3**概率統(tǒng)計(jì)方法**：引入非參數(shù)統(tǒng)計(jì)和概率測(cè)度論方法，研究噪聲數(shù)據(jù)對(duì)拓?fù)浞治鼋Y(jié)果的影響，建立拓?fù)涮卣髟谠肼曄碌姆€(wěn)定性判據(jù)。利用概率模型評(píng)估拓?fù)涮卣鞯慕y(tǒng)計(jì)顯著性。

1.2**算法設(shè)計(jì)與分析**：

1.2.1**算法開(kāi)發(fā)**：采用數(shù)值線性代數(shù)、圖論算法、優(yōu)化理論等方法，設(shè)計(jì)高效的拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析算法。包括：改進(jìn)的多重網(wǎng)格方法加速持久同化計(jì)算；基于圖嵌入的近似拓?fù)浞治鏊惴?；利用?切割的快速?gòu)?fù)雜度構(gòu)建與降維算法；拓?fù)湟龑?dǎo)的流形投影方法；拓?fù)浼s束的深度學(xué)習(xí)模型架構(gòu)設(shè)計(jì)。

1.2.2**算法分析**：對(duì)所開(kāi)發(fā)算法的時(shí)空復(fù)雜度、數(shù)值穩(wěn)定性、收斂性進(jìn)行理論分析。通過(guò)理論推導(dǎo)和計(jì)算機(jī)模擬，比較不同算法在不同數(shù)據(jù)維度、樣本量、復(fù)雜度下的性能表現(xiàn)。分析算法的魯棒性，研究其對(duì)噪聲和輸入?yún)?shù)變化的敏感性。

1.3**實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析**：

1.3.1**數(shù)據(jù)集選擇**：收集具有代表性的高維數(shù)據(jù)集，涵蓋生物醫(yī)學(xué)（如基因表達(dá)譜、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)）、金融工程（如交易數(shù)據(jù)、市場(chǎng)微結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)）、材料科學(xué)（如材料表征譜、微觀結(jié)構(gòu)圖像）等領(lǐng)域。確保數(shù)據(jù)集具有挑戰(zhàn)性，如高維度、非線性流形、噪聲干擾、小樣本等特性。

1.3.2**實(shí)驗(yàn)設(shè)置**：設(shè)計(jì)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，將本項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的算法與現(xiàn)有的主流降維方法（如PCA、t-SNE、UMAP）、聚類方法（如K-means、DBSCAN）、分類方法（如SVM、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）以及經(jīng)典的拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析工具（如GUDHI庫(kù)實(shí)現(xiàn)的方法）進(jìn)行性能比較。在分類和聚類任務(wù)中，采用標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)估指標(biāo)（如準(zhǔn)確率、精確率、召回率、F1分?jǐn)?shù)、輪廓系數(shù)、AUC等）。在降維任務(wù)中，評(píng)估降維后的重構(gòu)誤差、可視化效果以及分類性能保持度。在計(jì)算效率方面，記錄算法的運(yùn)行時(shí)間。

1.3.3**統(tǒng)計(jì)分析**：采用統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)（如t檢驗(yàn)、ANOVA）和置信區(qū)間分析，評(píng)估不同方法在統(tǒng)計(jì)意義上的性能差異。利用交叉驗(yàn)證（如K折交叉驗(yàn)證）評(píng)估模型的泛化能力。對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行可視化分析，利用散點(diǎn)圖、熱圖、拓?fù)鋱D（如持久圖）等手段展示數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法效果。

2.**技術(shù)路線**

2.1**研究流程**：

2.1.1**階段一：理論奠基與基礎(chǔ)算法開(kāi)發(fā)（第1-12個(gè)月）**

*深入研究高維數(shù)據(jù)拓?fù)浔碚鞯睦碚摶A(chǔ)，分析現(xiàn)有方法的局限性。

*系統(tǒng)研究simplicial復(fù)雜度、Vietoris-Rips復(fù)雜度等構(gòu)建方法的數(shù)學(xué)性質(zhì)。

*開(kāi)發(fā)并優(yōu)化持久同化等核心拓?fù)洳蛔兞康挠?jì)算算法，重點(diǎn)提升計(jì)算效率。

*初步設(shè)計(jì)基于拓?fù)涮卣鞯牧餍谓稻S算法框架。

2.1.2**階段二：新型算法研發(fā)與集成（第13-24個(gè)月）**

*研發(fā)新型拓?fù)鋽?shù)據(jù)嵌入方法，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)可視化與結(jié)構(gòu)保持。

*設(shè)計(jì)拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)模型架構(gòu)，并將其與主流深度學(xué)習(xí)框架（如TensorFlow、PyTorch）集成。

*開(kāi)發(fā)包含拓?fù)涓兄獙拥木W(wǎng)絡(luò)模塊，如拓?fù)渚矸e、拓?fù)溲h(huán)單元等。

*初步探索拓?fù)渖赡Ｐ偷脑O(shè)計(jì)。

2.1.3**階段三：應(yīng)用驗(yàn)證與模型優(yōu)化（第25-36個(gè)月）**

*選擇典型應(yīng)用領(lǐng)域（生物醫(yī)學(xué)、金融工程等），收集并預(yù)處理數(shù)據(jù)集。

*在選定的數(shù)據(jù)集上應(yīng)用所開(kāi)發(fā)的理論與方法，進(jìn)行實(shí)證研究。

*通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)評(píng)估算法性能，分析結(jié)果的可解釋性。

*根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)算法進(jìn)行迭代優(yōu)化，特別是針對(duì)計(jì)算效率和適應(yīng)性進(jìn)行改進(jìn)。

2.1.4**階段四：綜合總結(jié)與成果凝練（第37-48個(gè)月）**

*整合研究成果，形成完整的理論體系和方法論。

*撰寫高水平學(xué)術(shù)論文，申請(qǐng)相關(guān)專利。

*凝練項(xiàng)目成果，準(zhǔn)備結(jié)題報(bào)告。

2.2**關(guān)鍵步驟**：

2.2.1**數(shù)學(xué)建模**：對(duì)高維數(shù)據(jù)的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，明確需要捕捉的拓?fù)涮卣黝愋汀?/p>

2.2.2**算法實(shí)現(xiàn)**：利用C++、Python等編程語(yǔ)言，結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)庫(kù)（如NumPy,SciPy,NetworkX）和機(jī)器學(xué)習(xí)庫(kù)（如TensorFlow,PyTorch），實(shí)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的算法。

2.2.3**計(jì)算機(jī)模擬**：通過(guò)在計(jì)算機(jī)上生成具有特定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的高維數(shù)據(jù)（如隨機(jī)流形、圖數(shù)據(jù)），驗(yàn)證算法的有效性和魯棒性。

2.2.4**數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)**：在真實(shí)的生物醫(yī)學(xué)、金融工程等領(lǐng)域數(shù)據(jù)集上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，評(píng)估算法的實(shí)際應(yīng)用效果。

2.2.5**結(jié)果分析**：對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行定量和定性分析，結(jié)合可視化手段，解釋算法性能和拓?fù)涮卣鞯奈锢硪饬x。

2.2.6**理論驗(yàn)證**：通過(guò)數(shù)學(xué)證明或嚴(yán)格的理論分析，驗(yàn)證所提出的理論假設(shè)和方法的有效性。

2.2.7**迭代優(yōu)化**：根據(jù)理論分析和實(shí)驗(yàn)反饋，對(duì)算法和模型進(jìn)行持續(xù)的迭代優(yōu)化。

七．創(chuàng)新點(diǎn)

本項(xiàng)目擬開(kāi)展的高維數(shù)據(jù)幾何結(jié)構(gòu)挖掘研究，在理論、方法與應(yīng)用層面均具有顯著的創(chuàng)新性，旨在突破現(xiàn)有研究的瓶頸，推動(dòng)該領(lǐng)域的發(fā)展。

1.**理論創(chuàng)新**

1.1**構(gòu)建融合代數(shù)拓?fù)渑c數(shù)據(jù)科學(xué)的統(tǒng)一理論框架**：現(xiàn)有研究往往將代數(shù)拓?fù)湟暈橐环N獨(dú)立的工具應(yīng)用于數(shù)據(jù)科學(xué)，缺乏深層次的數(shù)學(xué)融合。本項(xiàng)目將從抽象代數(shù)和同調(diào)運(yùn)算理論出發(fā)，系統(tǒng)研究simplicial復(fù)雜度、Cubical復(fù)雜度等不同復(fù)雜度構(gòu)建方法的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其對(duì)高維數(shù)據(jù)拓?fù)浔碚鞯挠绊懀荚诮⑼負(fù)洳蛔兞颗c數(shù)據(jù)內(nèi)在幾何結(jié)構(gòu)（流形維度、連通性、對(duì)稱性等）之間更普適、更深入的數(shù)學(xué)聯(lián)系。特別地，本項(xiàng)目將探索利用對(duì)稱函數(shù)理論、辛幾何等高級(jí)代數(shù)拓?fù)涔ぞ邅?lái)豐富數(shù)據(jù)表征的維度和內(nèi)涵，構(gòu)建一個(gè)更精細(xì)、更強(qiáng)大的理論框架來(lái)理解和量化高維數(shù)據(jù)的拓?fù)涮卣鳌＿@種理論上的統(tǒng)一與深化，將超越現(xiàn)有將拓?fù)湟暈楦郊犹卣鞯囊暯牵瑢⑵鋬?nèi)化為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的本質(zhì)屬性進(jìn)行分析。

1.2**發(fā)展基于拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)理論的動(dòng)態(tài)高維數(shù)據(jù)分析方法**：現(xiàn)有拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析大多關(guān)注靜態(tài)數(shù)據(jù)集。本項(xiàng)目將引入拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)（TopologicalDynamicalSystems,TDS）的理論框架，研究如何對(duì)具有演化路徑或生成過(guò)程的高維數(shù)據(jù)進(jìn)行拓?fù)浣！Ｍㄟ^(guò)分析TDS的吸引子結(jié)構(gòu)、分岔行為及其對(duì)應(yīng)的同調(diào)運(yùn)算演化，本項(xiàng)目旨在開(kāi)發(fā)能夠捕捉數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)演化規(guī)律的拓?fù)浞治龇椒?，為理解?fù)雜系統(tǒng)的演化機(jī)制提供新的數(shù)學(xué)工具。這包括研究時(shí)序數(shù)據(jù)的持久同調(diào)（Time-SeriesPersistentHomology）、動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)溲莼?，將靜態(tài)拓?fù)浞治鐾卣沟絼?dòng)態(tài)場(chǎng)景，具有重要的理論前瞻性。

1.3**探索拓?fù)洳蛔兞康聂敯粜耘c噪聲適應(yīng)性理論**：高維數(shù)據(jù)在實(shí)際應(yīng)用中往往伴隨著噪聲和測(cè)量誤差。本項(xiàng)目將系統(tǒng)研究噪聲數(shù)據(jù)對(duì)持久同調(diào)等關(guān)鍵拓?fù)洳蛔兞康挠绊憴C(jī)制，利用抽象代數(shù)和泛函分析工具，建立拓?fù)涮卣髟谠肼曄碌姆€(wěn)定性判據(jù)和魯棒性理論。研究如何設(shè)計(jì)拓?fù)涮卣骰蛩惴ǎ蛊鋵?duì)噪聲具有更強(qiáng)的抗干擾能力。這不僅為在實(shí)際數(shù)據(jù)中可靠地應(yīng)用拓?fù)浞治鎏峁├碚撘罁?jù)，也為設(shè)計(jì)更魯棒的拓?fù)鋽?shù)據(jù)挖掘算法奠定基礎(chǔ)。

2.**方法創(chuàng)新**

2.1**研發(fā)基于多重網(wǎng)格與圖嵌入加速的高效拓?fù)溆?jì)算算法**：持久同化等核心拓?fù)浞治鏊惴ǖ挠?jì)算復(fù)雜度隨數(shù)據(jù)維度和樣本量增長(zhǎng)迅速，是制約其應(yīng)用的主要瓶頸。本項(xiàng)目將創(chuàng)新性地結(jié)合多重網(wǎng)格（Multigrid）方法在數(shù)值線性代數(shù)中的高效求解思想，以及圖嵌入技術(shù)（GraphEmbedding）在降低復(fù)雜度方面的優(yōu)勢(shì)，設(shè)計(jì)新的算法來(lái)加速持久同化和相對(duì)同化的計(jì)算。特別是，研究如何將多重網(wǎng)格預(yù)條件器應(yīng)用于基于矩陣形式表達(dá)的同調(diào)計(jì)算，以及如何利用圖嵌入將高維數(shù)據(jù)投影到低維圖結(jié)構(gòu)上，再在該圖結(jié)構(gòu)上執(zhí)行拓?fù)溆?jì)算。這種方法有望在保持拓?fù)浞治鼍鹊耐瑫r(shí)，顯著提升計(jì)算效率，使其能夠處理更大規(guī)模的數(shù)據(jù)集。

2.2**提出基于拓?fù)涔羌軋D的魯棒流形降維新方法**：現(xiàn)有的降維方法（如PCA、t-SNE）在處理非線性流形時(shí)效果有限。本項(xiàng)目將提出一種全新的基于拓?fù)涔羌軋D（TopologicalSkeletonGraph）的流形降維方法。該方法首先構(gòu)建數(shù)據(jù)的拓?fù)涔羌軋D，該骨架圖保留了數(shù)據(jù)流形的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)信息（如關(guān)鍵點(diǎn)、切空間方向）。然后，將骨架圖的結(jié)構(gòu)信息轉(zhuǎn)化為幾何約束或圖優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)優(yōu)化算法將高維數(shù)據(jù)投影到低維空間，同時(shí)保留其骨架結(jié)構(gòu)。這種方法能夠更有效地捕捉和保留數(shù)據(jù)的非線性流形特性，特別是對(duì)于彎曲或復(fù)雜形狀的流形。

2.3**設(shè)計(jì)拓?fù)涓兄纳疃葘W(xué)習(xí)模型架構(gòu)**：現(xiàn)有深度學(xué)習(xí)模型主要基于歐氏幾何假設(shè)，難以有效利用數(shù)據(jù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)信息。本項(xiàng)目將創(chuàng)新性地設(shè)計(jì)包含拓?fù)涓兄獙拥纳疃葘W(xué)習(xí)模型。具體而言，研究如何將拓?fù)涮卣鳎ㄈ绯志猛{(diào)的Betti數(shù)序列、低秩持久同調(diào)矩陣）作為輔助輸入，或如何將拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（如骨架圖）直接整合到卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）的卷積操作中，或設(shè)計(jì)新的拓?fù)溲h(huán)單元（TopologicalRecurrentUnit）集成到循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）中。目標(biāo)是使深度學(xué)習(xí)模型能夠直接從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)其內(nèi)在的拓?fù)浔硎?，從而提升模型在處理高維、非線性、強(qiáng)噪聲數(shù)據(jù)時(shí)的魯棒性和泛化能力。

2.4**探索拓?fù)浼s束的深度生成模型**：生成模型在高維數(shù)據(jù)生成、數(shù)據(jù)增強(qiáng)等方面具有重要應(yīng)用價(jià)值。本項(xiàng)目將探索設(shè)計(jì)基于拓?fù)浼s束的深度生成模型（如拓?fù)浼s束的自編碼器或生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)GAN）。例如，在自編碼器中，利用持久同化作為正則項(xiàng)，強(qiáng)制生成的數(shù)據(jù)在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上與真實(shí)數(shù)據(jù)相似；在GAN中，引入拓?fù)鋼p失函數(shù)，懲罰生成數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)在拓?fù)涮卣魃系牟町?。這種方法有望生成在統(tǒng)計(jì)特征上與真實(shí)數(shù)據(jù)一致，同時(shí)在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上保持相似性的高質(zhì)量數(shù)據(jù)，拓展生成模型的應(yīng)用邊界。

3.**應(yīng)用創(chuàng)新**

3.1**在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)更精準(zhǔn)的疾病診斷與藥物研發(fā)**：本項(xiàng)目將針對(duì)基因組學(xué)、蛋白質(zhì)組學(xué)等生物醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)，開(kāi)發(fā)基于拓?fù)浞治龅募膊喰妥R(shí)別、變異模式挖掘、蛋白質(zhì)功能預(yù)測(cè)等方法。特別是，利用拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析基因組數(shù)據(jù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，有望發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)方法難以識(shí)別的、與疾病相關(guān)的非編碼區(qū)域變異模式或多基因協(xié)同作用網(wǎng)絡(luò)。在藥物設(shè)計(jì)方面，通過(guò)分析藥物靶點(diǎn)或藥物分子空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，輔助發(fā)現(xiàn)具有特定作用機(jī)制的候選藥物。這些應(yīng)用將推動(dòng)生物信息學(xué)的發(fā)展，為精準(zhǔn)醫(yī)療提供新的工具。

3.2**在金融工程領(lǐng)域提升風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)與量化交易能力**：本項(xiàng)目將針對(duì)金融市場(chǎng)交易數(shù)據(jù)、市場(chǎng)微結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)、投資組合數(shù)據(jù)等，開(kāi)發(fā)基于拓?fù)浞治龅慕鹑陲L(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)傳播模擬、量化交易策略優(yōu)化等方法。例如，利用拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析金融市場(chǎng)交易網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)演化，識(shí)別市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)和傳播路徑；利用拓?fù)涮卣鞣治鐾顿Y組合的風(fēng)險(xiǎn)收益結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)具有更低風(fēng)險(xiǎn)或更高夏普比率的投資組合；將拓?fù)湫畔⑷谌肷疃葘W(xué)習(xí)模型，提升對(duì)金融市場(chǎng)非線性波動(dòng)和極端事件的預(yù)測(cè)能力。這些應(yīng)用將有助于金融機(jī)構(gòu)更好地理解和管理市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，開(kāi)發(fā)更有效的量化交易策略。

3.3**促進(jìn)跨學(xué)科交叉融合與技術(shù)創(chuàng)新**：本項(xiàng)目不僅關(guān)注理論和方法上的創(chuàng)新，更注重推動(dòng)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)據(jù)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)三個(gè)領(lǐng)域的交叉融合。通過(guò)將抽象的拓?fù)淅碚搼?yīng)用于具體的高維數(shù)據(jù)實(shí)際問(wèn)題，本項(xiàng)目將促進(jìn)拓?fù)浞治龅睦碚摪l(fā)展；同時(shí)，通過(guò)解決實(shí)際應(yīng)用中的挑戰(zhàn)，本項(xiàng)目也將推動(dòng)數(shù)據(jù)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的技術(shù)創(chuàng)新。這種跨學(xué)科的交叉研究不僅能夠產(chǎn)生新的理論成果和技術(shù)方法，還能夠培養(yǎng)兼具數(shù)學(xué)深度和數(shù)據(jù)分析能力的復(fù)合型人才，為相關(guān)領(lǐng)域的科技發(fā)展提供持續(xù)動(dòng)力。

八．預(yù)期成果

本項(xiàng)目通過(guò)系統(tǒng)研究基于代數(shù)拓?fù)涞母呔S數(shù)據(jù)幾何結(jié)構(gòu)挖掘理論與方法，預(yù)期在理論、方法、應(yīng)用及人才培養(yǎng)等多個(gè)方面取得顯著成果。

1.**理論成果**

1.1**建立高維數(shù)據(jù)拓?fù)浔碚鞯南到y(tǒng)性理論框架**：預(yù)期完成對(duì)simplicial復(fù)雜度、Cubical復(fù)雜度等構(gòu)建方法的深入比較和理論分析，明確不同方法在表征數(shù)據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上的優(yōu)勢(shì)和局限性?；诔橄蟠鷶?shù)和同調(diào)運(yùn)算理論，預(yù)期闡明拓?fù)洳蛔兞浚ㄈ绯志猛{(diào)、相對(duì)同調(diào)）與高維數(shù)據(jù)內(nèi)在幾何特征（如流形維度、連通性、對(duì)稱性、緊致性）之間更普適、更精細(xì)的數(shù)學(xué)關(guān)系，形成一套關(guān)于高維數(shù)據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性理論描述。預(yù)期在噪聲環(huán)境下拓?fù)洳蛔兞康聂敯粜岳碚摲矫嫒〉猛黄?，為可靠地解釋拓?fù)浞治鼋Y(jié)果提供理論依據(jù)。

1.2**發(fā)展拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)理論在數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用基礎(chǔ)**：預(yù)期建立針對(duì)動(dòng)態(tài)高維數(shù)據(jù)的拓?fù)浣？蚣埽l(fā)展分析TDS吸引子結(jié)構(gòu)、分岔行為及其同調(diào)運(yùn)算演化規(guī)律的系統(tǒng)性方法。預(yù)期在理論層面闡明動(dòng)態(tài)演化過(guò)程的拓?fù)洳蛔兞克N(yùn)含的動(dòng)力學(xué)信息，為理解復(fù)雜系統(tǒng)的演化機(jī)制提供新的數(shù)學(xué)理論視角。

1.3**深化拓?fù)鋵W(xué)與機(jī)器學(xué)習(xí)的交叉理論**：預(yù)期在理論層面闡明將拓?fù)湫畔⑷谌肷疃葘W(xué)習(xí)模型的數(shù)學(xué)機(jī)制，分析拓?fù)浼s束或拓?fù)涮卣鲗?duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過(guò)程和結(jié)果的影響。預(yù)期在理論上探索拓?fù)洳蛔兞颗c對(duì)稱函數(shù)、辛幾何等高級(jí)代數(shù)拓?fù)涔ぞ呓Y(jié)合的新途徑，豐富數(shù)據(jù)拓?fù)浔碚鞯睦碚搩?nèi)涵。

2.**方法成果**

2.1**開(kāi)發(fā)一系列高效的拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析算法**：預(yù)期完成基于多重網(wǎng)格與圖嵌入加速的持久同化等核心拓?fù)溆?jì)算算法，顯著提升算法的計(jì)算效率，使其能夠處理更大規(guī)模、更高維度的數(shù)據(jù)集。預(yù)期開(kāi)發(fā)出基于拓?fù)涔羌軋D的魯棒流形降維新方法，有效解決現(xiàn)有降維方法在非線性流形處理上的不足。

2.2**構(gòu)建拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)模型架構(gòu)**：預(yù)期設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)一系列包含拓?fù)涓兄獙拥纳疃葘W(xué)習(xí)模型，包括拓?fù)渚矸e、拓?fù)溲h(huán)單元等新型網(wǎng)絡(luò)模塊。預(yù)期開(kāi)發(fā)出基于拓?fù)浼s束的深度生成模型，并形成一套完整的拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)框架。

2.3**形成標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)處理與分析流程**：預(yù)期針對(duì)典型應(yīng)用領(lǐng)域（生物醫(yī)學(xué)、金融工程等），建立基于本項(xiàng)目理論和方法的數(shù)據(jù)預(yù)處理、拓?fù)涮卣魈崛?、模型?xùn)練與結(jié)果解釋的標(biāo)準(zhǔn)化分析流程，為相關(guān)領(lǐng)域的科研人員和工程師提供實(shí)用的分析工具和方法指導(dǎo)。

3.**實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值**

3.1**在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用**：預(yù)期開(kāi)發(fā)出基于拓?fù)浞治龅男路椒?，用于癌癥基因組學(xué)中的基因變異模式挖掘與疾病亞型識(shí)別，輔助發(fā)現(xiàn)新的生物標(biāo)志物，提升癌癥診斷和預(yù)后預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。預(yù)期在蛋白質(zhì)組學(xué)和結(jié)構(gòu)生物學(xué)領(lǐng)域，利用拓?fù)浞椒ń沂镜鞍踪|(zhì)折疊路徑、相互作用網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，輔助藥物靶點(diǎn)發(fā)現(xiàn)和藥物設(shè)計(jì)。預(yù)期為個(gè)性化醫(yī)療提供新的數(shù)據(jù)分析工具，幫助醫(yī)生根據(jù)患者的基因組、蛋白質(zhì)組等高維數(shù)據(jù)，制定更精準(zhǔn)的治療方案。

3.2**在金融工程領(lǐng)域的應(yīng)用**：預(yù)期開(kāi)發(fā)出基于拓?fù)浞治龅男路椒ǎ糜诮鹑谑袌?chǎng)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警和評(píng)估，能夠更準(zhǔn)確地識(shí)別市場(chǎng)異常波動(dòng)和系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)傳染路徑。預(yù)期在量化交易領(lǐng)域，利用拓?fù)湓鰪?qiáng)型模型設(shè)計(jì)更有效的交易策略，提升模型在復(fù)雜市場(chǎng)環(huán)境下的適應(yīng)性。預(yù)期為投資組合優(yōu)化提供新的分析視角，幫助投資者構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)更低、收益更高的投資組合。

3.3**在材料科學(xué)、環(huán)境科學(xué)等其他領(lǐng)域的應(yīng)用潛力**：預(yù)期本項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的理論和方法也能夠應(yīng)用于材料科學(xué)中的材料結(jié)構(gòu)表征與性能預(yù)測(cè)，環(huán)境科學(xué)中的污染擴(kuò)散模擬與環(huán)境影響評(píng)估等領(lǐng)域，具有廣闊的應(yīng)用前景。

4.**人才培養(yǎng)與社會(huì)影響**

4.1**培養(yǎng)跨學(xué)科研究人才**：通過(guò)本項(xiàng)目的研究工作，預(yù)期培養(yǎng)一批兼具扎實(shí)數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)和強(qiáng)大數(shù)據(jù)科學(xué)技術(shù)能力的復(fù)合型研究人才，為相關(guān)領(lǐng)域輸送高質(zhì)量人才。

4.2**推動(dòng)學(xué)科交叉發(fā)展**：本項(xiàng)目的開(kāi)展將促進(jìn)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)據(jù)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)三個(gè)學(xué)科的交叉融合，推動(dòng)相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域的理論創(chuàng)新和技術(shù)進(jìn)步。

4.3**提升社會(huì)數(shù)據(jù)科學(xué)能力**：預(yù)期通過(guò)項(xiàng)目成果的轉(zhuǎn)化和應(yīng)用，提升社會(huì)對(duì)高維復(fù)雜數(shù)據(jù)的分析能力，為經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展提供數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的決策支持，產(chǎn)生積極的社會(huì)影響。

九.項(xiàng)目實(shí)施計(jì)劃

1.**項(xiàng)目時(shí)間規(guī)劃**

1.1**第一階段：理論奠基與基礎(chǔ)算法開(kāi)發(fā)（第1-12個(gè)月）**

***任務(wù)分配**：項(xiàng)目負(fù)責(zé)人負(fù)責(zé)統(tǒng)籌整體研究計(jì)劃，協(xié)調(diào)各子課題；核心成員A（拓?fù)鋵W(xué)專家）負(fù)責(zé)高維數(shù)據(jù)拓?fù)浔碚骼碚撗芯?、?fù)雜度構(gòu)建方法分析；核心成員B（算法設(shè)計(jì)專家）負(fù)責(zé)持久同化算法優(yōu)化、流形降維方法設(shè)計(jì)；核心成員C（機(jī)器學(xué)習(xí)專家）負(fù)責(zé)拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)模型架構(gòu)研究。青年研究人員D負(fù)責(zé)文獻(xiàn)調(diào)研與理論方法梳理，參與部分算法實(shí)現(xiàn)與實(shí)驗(yàn)。

***進(jìn)度安排**：

*第1-3月：深入調(diào)研國(guó)內(nèi)外最新研究進(jìn)展，完成文獻(xiàn)綜述，明確理論研究方向和技術(shù)路線。完成simplicial復(fù)雜度、Vietoris-Rips復(fù)雜度的理論性質(zhì)分析，初步設(shè)計(jì)多重網(wǎng)格加速持久同化算法框架。

*第4-6月：完成多重網(wǎng)格加速算法的實(shí)現(xiàn)與初步測(cè)試，分析其效率提升效果。初步設(shè)計(jì)基于拓?fù)涔羌軋D的流形降維方法，并進(jìn)行理論分析。

*第7-9月：完成流形降維方法的算法實(shí)現(xiàn)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，與現(xiàn)有方法進(jìn)行對(duì)比。開(kāi)始拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)模型架構(gòu)的設(shè)計(jì)，完成拓?fù)渚矸e、拓?fù)溲h(huán)單元的理論基礎(chǔ)研究。

*第10-12月：初步實(shí)現(xiàn)拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)模型，并在簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)集上進(jìn)行測(cè)試。完成第一階段中期報(bào)告，總結(jié)階段性成果，調(diào)整后續(xù)研究計(jì)劃。

1.2**第二階段：新型算法研發(fā)與集成（第13-24個(gè)月）**

***任務(wù)分配**：項(xiàng)目負(fù)責(zé)人繼續(xù)把控研究方向，成員A負(fù)責(zé)動(dòng)態(tài)拓?fù)湎到y(tǒng)理論引入與建模分析；成員B負(fù)責(zé)拓?fù)鋽?shù)據(jù)嵌入算法的優(yōu)化與集成；成員C負(fù)責(zé)拓?fù)渖赡Ｐ偷脑O(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)；成員D負(fù)責(zé)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建與數(shù)據(jù)集準(zhǔn)備，并參與算法測(cè)試與結(jié)果分析。

***進(jìn)度安排**：

*第13-15月：完成動(dòng)態(tài)拓?fù)湎到y(tǒng)理論在高維數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用建模，設(shè)計(jì)時(shí)序數(shù)據(jù)與動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浞治龇桨浮３醪綄?shí)現(xiàn)基于圖嵌入的拓?fù)浼铀偎惴ā?/p>

*第16-18月：完成拓?fù)鋽?shù)據(jù)嵌入算法的優(yōu)化，提升嵌入效果和效率。設(shè)計(jì)拓?fù)浼s束的深度生成模型框架，開(kāi)始算法代碼實(shí)現(xiàn)。

*第19-21月：完成拓?fù)渖赡Ｐ偷暮诵乃惴▽?shí)現(xiàn)，并在模擬數(shù)據(jù)集上進(jìn)行初步測(cè)試。實(shí)現(xiàn)拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)模型的集成與優(yōu)化，提升模型性能。

*第22-24月：在多個(gè)數(shù)據(jù)集上開(kāi)展系統(tǒng)性實(shí)驗(yàn)，完成第二階段中期報(bào)告，重點(diǎn)分析算法的創(chuàng)新性與實(shí)用性，根據(jù)結(jié)果進(jìn)行方法迭代優(yōu)化。

1.3**第三階段：應(yīng)用驗(yàn)證與模型優(yōu)化（第25-36個(gè)月）**

***任務(wù)分配**：項(xiàng)目負(fù)責(zé)人協(xié)調(diào)應(yīng)用驗(yàn)證工作，成員A、B、C、D分別負(fù)責(zé)生物醫(yī)學(xué)、金融工程等領(lǐng)域的應(yīng)用模型開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)預(yù)處理、結(jié)果分析與解釋。與領(lǐng)域?qū)＜医⒑献麝P(guān)系，共同推進(jìn)應(yīng)用研究。

***進(jìn)度安排**：

*第25-27月：完成生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域（如基因組學(xué)、蛋白質(zhì)組學(xué)）的數(shù)據(jù)收集與預(yù)處理，開(kāi)發(fā)針對(duì)性的拓?fù)浞治鰬?yīng)用模型，進(jìn)行初步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

*第28-30月：完成金融工程領(lǐng)域（如交易網(wǎng)絡(luò)分析、風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)）的數(shù)據(jù)收集與預(yù)處理，開(kāi)發(fā)拓?fù)湓鰪?qiáng)型應(yīng)用模型，進(jìn)行初步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

*第31-33月：綜合分析生物醫(yī)學(xué)和金融工程領(lǐng)域的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，評(píng)估算法的實(shí)用效果和局限性，與領(lǐng)域?qū)＜矣懻搼?yīng)用前景與改進(jìn)方向。

*第34-36月：根據(jù)應(yīng)用反饋，對(duì)算法進(jìn)行針對(duì)性優(yōu)化，完善分析流程與可視化工具，撰寫應(yīng)用研究論文初稿，準(zhǔn)備結(jié)題報(bào)告。

1.4**第四階段：綜合總結(jié)與成果凝練（第37-48個(gè)月）**

***任務(wù)分配**：項(xiàng)目負(fù)責(zé)人負(fù)責(zé)統(tǒng)籌成果總結(jié)與凝練工作，協(xié)調(diào)各成員完成論文撰寫、專利申請(qǐng)與項(xiàng)目結(jié)題。成員A、B、C、D分別負(fù)責(zé)整理理論成果、方法細(xì)節(jié)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，參與成果轉(zhuǎn)化討論。

***進(jìn)度安排**：

*第37-40月：完成所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的系統(tǒng)整理與分析，撰寫核心理論論文與算法實(shí)現(xiàn)論文，提交至國(guó)內(nèi)外高水平學(xué)術(shù)會(huì)議或期刊。

*第41-43月：根據(jù)期刊或會(huì)議審稿意見(jiàn)修改完善論文，完成項(xiàng)目預(yù)定的理論方法創(chuàng)新成果的學(xué)術(shù)發(fā)表。啟動(dòng)專利申請(qǐng)工作，梳理可專利的技術(shù)創(chuàng)新點(diǎn)。

*第44-46月：完成項(xiàng)目結(jié)題報(bào)告，全面總結(jié)項(xiàng)目成果，包括理論貢獻(xiàn)、方法創(chuàng)新、應(yīng)用價(jià)值與人才培養(yǎng)情況。整理項(xiàng)目代碼與數(shù)據(jù)集，構(gòu)建項(xiàng)目成果展示平臺(tái)。

*第47-48月：完成項(xiàng)目最終總結(jié)報(bào)告，項(xiàng)目成果匯報(bào)會(huì)，推廣研究成果，規(guī)劃后續(xù)研究方向，形成項(xiàng)目成果匯編，完成項(xiàng)目驗(yàn)收。

2.**風(fēng)險(xiǎn)管理策略**

2.1**理論研究中存在風(fēng)險(xiǎn)及應(yīng)對(duì)策略**

***風(fēng)險(xiǎn)描述**：代數(shù)拓?fù)淅碚撛诟呔S數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用尚處于早期探索階段，部分核心概念（如持久同調(diào)的拓?fù)湟饬x）在跨學(xué)科傳播中存在理解偏差，可能導(dǎo)致理論模型構(gòu)建錯(cuò)誤。此外，高維數(shù)據(jù)的內(nèi)在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)本身具有高度復(fù)雜性，現(xiàn)有理論可能無(wú)法完全刻畫其關(guān)鍵特征，導(dǎo)致理論模型與實(shí)際數(shù)據(jù)擬合度不足。

***應(yīng)對(duì)策略**：首先，通過(guò)系統(tǒng)性文獻(xiàn)綜述與跨學(xué)科研討，深入辨析核心拓?fù)涓拍?，澄清其在高維數(shù)據(jù)分析中的數(shù)學(xué)含義與物理意義。其次，加強(qiáng)理論與實(shí)驗(yàn)的結(jié)合，通過(guò)模擬數(shù)據(jù)生成具有已知拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的案例，驗(yàn)證理論模型的適用范圍與局限性。再次，引入多模態(tài)拓?fù)浞治鍪侄?，結(jié)合多種拓?fù)洳蛔兞颗c機(jī)器學(xué)習(xí)方法，構(gòu)建更魯棒的表征框架。最后，定期專家研討會(huì)，跟蹤代數(shù)拓?fù)渑c數(shù)據(jù)科學(xué)的最新進(jìn)展，及時(shí)調(diào)整理論研究方向，確保研究的科學(xué)性與前沿性。

2.2**算法開(kāi)發(fā)中存在風(fēng)險(xiǎn)及應(yīng)對(duì)策略**

***風(fēng)險(xiǎn)描述**：本項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析算法涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算與模型優(yōu)化，可能面臨計(jì)算效率低下、參數(shù)調(diào)優(yōu)困難等問(wèn)題。特別是，拓?fù)涮卣鳎ㄈ绯志猛{(diào)的Betti數(shù)序列）在高維數(shù)據(jù)中的信息密度與計(jì)算復(fù)雜度之間的平衡關(guān)系難以把握，可能導(dǎo)致特征選擇不精準(zhǔn)或計(jì)算冗余。此外，拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)模型的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有高度的非線性，其參數(shù)空間龐大，容易陷入局部最優(yōu)解，且缺乏有效的模型解釋機(jī)制。

***應(yīng)對(duì)策略**：首先，在算法設(shè)計(jì)階段，優(yōu)先考慮計(jì)算效率與可擴(kuò)展性，例如，采用高效的持久同化計(jì)算方法（如AlphaShape、Vietoris-Rips復(fù)雜度的矩陣快速求解算法），利用圖論加速技術(shù)（如利用譜圖或圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行拓?fù)涮卣魈崛。约霸O(shè)計(jì)基于稀疏表示或低秩逼近的拓?fù)淠Ｐ?。其次，采用先進(jìn)的優(yōu)化算法（如AdamW、Adamax）結(jié)合拓?fù)湔齽t化項(xiàng)，提升模型訓(xùn)練的穩(wěn)定性和收斂速度。再次，探索可解釋（X）技術(shù)，如梯度加權(quán)類激活映射（Grad-CAM）、局部可解釋模型不可知解釋（LIME）等，用于分析拓?fù)涮卣鲗?duì)模型決策的影響。最后，通過(guò)理論分析（如譜分析、復(fù)雜度理論）與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證（如消融實(shí)驗(yàn)、參數(shù)敏感性分析）相結(jié)合，系統(tǒng)評(píng)估算法的性能與魯棒性，并根據(jù)評(píng)估結(jié)果進(jìn)行迭代優(yōu)化。

2.3**應(yīng)用驗(yàn)證中存在風(fēng)險(xiǎn)及應(yīng)對(duì)策略**

***風(fēng)險(xiǎn)描述**：高維數(shù)據(jù)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用場(chǎng)景具有高度的異構(gòu)性，例如，生物醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)（如基因組學(xué)、醫(yī)學(xué)影像）與金融數(shù)據(jù)（如交易記錄、市場(chǎng)波動(dòng)）在維度、樣本量、噪聲水平、結(jié)構(gòu)特征等方面存在顯著差異，導(dǎo)致通用算法在特定領(lǐng)域應(yīng)用時(shí)效果不理想。此外，領(lǐng)域?qū)＜覍?duì)拓?fù)浞治龇椒ǖ慕邮芏扰c理解程度有限，可能影響模型的應(yīng)用推廣。此外，數(shù)據(jù)隱私保護(hù)要求嚴(yán)格，特別是生物醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)涉及患者隱私，金融數(shù)據(jù)涉及交易行為敏感性，如何在不泄露隱私的前提下進(jìn)行有效分析是一個(gè)重要挑戰(zhàn)。

***應(yīng)對(duì)策略**：首先，針對(duì)不同應(yīng)用領(lǐng)域，開(kāi)發(fā)領(lǐng)域自適應(yīng)的拓?fù)浞治隹蚣?，通過(guò)遷移學(xué)習(xí)、領(lǐng)域嵌入等方法，使模型能夠適應(yīng)不同數(shù)據(jù)分布與結(jié)構(gòu)特征。其次，加強(qiáng)與領(lǐng)域?qū)＜业臏贤ㄅc合作，通過(guò)工作坊、聯(lián)合研究等方式，促進(jìn)方法與應(yīng)用的深度融合，確保研究方向的實(shí)用性與前瞻性。再次，采用隱私保護(hù)計(jì)算技術(shù)（如差分隱私、同態(tài)加密）處理敏感數(shù)據(jù)，或采用數(shù)據(jù)脫敏、聚合分析等方法，在滿足隱私保護(hù)要求的前提下，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的有效利用。最后，設(shè)計(jì)用戶友好的可視化界面與交互工具，降低領(lǐng)域?qū)＜覍?duì)拓?fù)浞治龇椒ǖ牟僮鏖T檻，提升方法的可解釋性與易用性，促進(jìn)研究成果的轉(zhuǎn)化應(yīng)用。

2.4**項(xiàng)目管理與團(tuán)隊(duì)協(xié)作風(fēng)險(xiǎn)及應(yīng)對(duì)策略**

***風(fēng)險(xiǎn)描述**：項(xiàng)目涉及多個(gè)子課題與跨學(xué)科團(tuán)隊(duì)協(xié)作，可能面臨溝通協(xié)調(diào)困難、任務(wù)進(jìn)度延誤、研究成果難以整合等問(wèn)題。此外，團(tuán)隊(duì)成員對(duì)項(xiàng)目目標(biāo)與分工理解不統(tǒng)一，可能導(dǎo)致研究方向的偏離與資源浪費(fèi)。此外，項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)預(yù)算可能因?qū)嶒?yàn)成本超支或意外支出而出現(xiàn)緊張，影響項(xiàng)目研究的順利進(jìn)行。

***應(yīng)對(duì)策略**：首先，建立完善的項(xiàng)目管理機(jī)制，明確項(xiàng)目總體目標(biāo)、階段性任務(wù)與預(yù)期成果，并制定詳細(xì)的時(shí)間表與質(zhì)量控制體系。采用敏捷開(kāi)發(fā)方法，定期召開(kāi)項(xiàng)目例會(huì)，及時(shí)溝通研究進(jìn)展與問(wèn)題，確保項(xiàng)目按計(jì)劃推進(jìn)。其次，組建跨學(xué)科核心團(tuán)隊(duì)，明確成員角色與職責(zé)，建立有效的協(xié)作平臺(tái)（如共享文檔系統(tǒng)、在線會(huì)議工具），并引入外部專家顧問(wèn)，為項(xiàng)目提供專業(yè)指導(dǎo)。再次，制定合理的經(jīng)費(fèi)預(yù)算，并建立風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警與應(yīng)對(duì)機(jī)制，預(yù)留部分經(jīng)費(fèi)用于處理突發(fā)狀況。最后，通過(guò)建立科學(xué)的績(jī)效評(píng)估體系，定期對(duì)項(xiàng)目進(jìn)展進(jìn)行評(píng)估，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并進(jìn)行調(diào)整，確保項(xiàng)目目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

十.項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)

1.**團(tuán)隊(duì)成員的專業(yè)背景與研究經(jīng)驗(yàn)**

1.1**項(xiàng)目負(fù)責(zé)人**：張明，北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，國(guó)際工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（SIAM）會(huì)士。長(zhǎng)期從事代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)及其在數(shù)據(jù)分析中應(yīng)用的研究，在持久同調(diào)、拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析、動(dòng)力系統(tǒng)拓?fù)鋵W(xué)等領(lǐng)域發(fā)表系列高水平論文，多次在國(guó)際頂級(jí)學(xué)術(shù)會(huì)議做特邀報(bào)告。曾主持國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目“拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析的理論與方法研究”，在理論創(chuàng)新與算法實(shí)現(xiàn)方面取得突出成果。

1.2**核心成員A**：李紅，美國(guó)哥倫比亞大學(xué)數(shù)學(xué)系博士，現(xiàn)任清華大學(xué)數(shù)學(xué)系教授。研究方向?yàn)橛?jì)算拓?fù)鋵W(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)交叉領(lǐng)域，專注于持久同調(diào)的計(jì)算理論、算法設(shè)計(jì)與效率優(yōu)化。在多重網(wǎng)格方法加速拓?fù)溆?jì)算、圖嵌入技術(shù)在拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析中的應(yīng)用等方面取得系列創(chuàng)新性成果，發(fā)表頂級(jí)期刊論文數(shù)十篇，多項(xiàng)算法被主流TDA軟件庫(kù)采用。

1.3**核心成員B**：王強(qiáng)，復(fù)旦大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系教授，博士生導(dǎo)師，中國(guó)計(jì)算機(jī)學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)候任主任。研究方向?yàn)闄C(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘與計(jì)算數(shù)學(xué)，在深度學(xué)習(xí)與圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域有深入研究，近年來(lái)重點(diǎn)關(guān)注拓?fù)鋽?shù)據(jù)挖掘與可解釋。在拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)模型架構(gòu)設(shè)計(jì)、拓?fù)涮卣髋c神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)融合等方面取得系列進(jìn)展，主持多項(xiàng)國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目，發(fā)表NatureMachineLearning、IEEETransactionsonNeuralNetworksandLearningSystems等期刊論文數(shù)十篇，多項(xiàng)成果獲得國(guó)內(nèi)外重要學(xué)術(shù)會(huì)議獎(jiǎng)項(xiàng)。

1.4**核心成員C**：趙敏，英國(guó)帝國(guó)理工學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系教授，機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域知名學(xué)者，國(guó)際機(jī)器學(xué)習(xí)會(huì)議（ICML、NeurIPS、CVPR）程序委員會(huì)成員。研究方向?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)與數(shù)據(jù)挖掘，在將拓?fù)湫畔⑷谌肷疃葘W(xué)習(xí)模型、開(kāi)發(fā)可解釋方法等方面取得顯著成果，發(fā)表Nature、Science等期刊論文數(shù)十篇，多次獲得ACMSIGKDD論文獎(jiǎng)。近年來(lái)致力于拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)模型的設(shè)計(jì)與應(yīng)用，特別是在小樣本學(xué)習(xí)、強(qiáng)噪聲場(chǎng)景下的模型魯棒性與泛化能力提升方面取得突破性進(jìn)展。

1.5**青年研究人員D**：劉洋，清華大學(xué)數(shù)學(xué)系博士，現(xiàn)任職于美國(guó)斯坦福大學(xué)統(tǒng)計(jì)系。研究方向?yàn)橛?jì)算統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)與數(shù)據(jù)挖掘，專注于拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析、圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與可解釋交叉領(lǐng)域。在拓?fù)鋽?shù)據(jù)嵌入方法、拓?fù)涮卣鬟x擇與降維算法等方面取得系列創(chuàng)新性成果，發(fā)表arXiv預(yù)印本論文多篇，參與開(kāi)發(fā)GUDHI軟件庫(kù)。在項(xiàng)目中負(fù)責(zé)算法實(shí)現(xiàn)、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析，參與生物醫(yī)學(xué)與金融工程領(lǐng)域的應(yīng)用研究。

2.**團(tuán)隊(duì)成員的角色分配與合作模式**

2.1**角色分配**：項(xiàng)目負(fù)責(zé)人負(fù)責(zé)整體研究方向的把握，協(xié)調(diào)各子課題的進(jìn)度與質(zhì)量，學(xué)術(shù)研討會(huì)與成果交流，并負(fù)責(zé)項(xiàng)目結(jié)題報(bào)告的撰寫與成果凝練。核心成員A負(fù)責(zé)高維數(shù)據(jù)拓?fù)浔碚鞯睦碚摶A(chǔ)研究，算法設(shè)計(jì)與優(yōu)化，以及計(jì)算效率提升方法。核心成員B負(fù)責(zé)拓?fù)湓鰪?qiáng)型深度學(xué)習(xí)模型架構(gòu)設(shè)計(jì)，機(jī)器學(xué)習(xí)與拓?fù)鋵W(xué)的交叉方法研究，以及模型的可解釋性分析。核心成員C負(fù)責(zé)概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論，深度學(xué)習(xí)模型優(yōu)化，以及模型在復(fù)雜場(chǎng)景下的應(yīng)用研究。青年研究人員D負(fù)責(zé)算法實(shí)現(xiàn)、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析，以及部分應(yīng)用案例的研究與驗(yàn)證。所有成員將共同參與生物醫(yī)學(xué)與金融工程領(lǐng)域的應(yīng)用研究，與領(lǐng)域?qū)＜揖o密合作，確保研究成果的實(shí)用性與轉(zhuǎn)化價(jià)值。

2.2**合作模式**：項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)將采用緊密耦合的跨學(xué)科合作模式，通過(guò)定期召開(kāi)項(xiàng)目例會(huì)、研討會(huì)與聯(lián)合研究，實(shí)現(xiàn)理論突破與方法創(chuàng)新。項(xiàng)目將建立共享代碼庫(kù)與數(shù)據(jù)集平臺(tái)，采用版本控制與協(xié)同編輯工具，促進(jìn)知識(shí)共享與團(tuán)隊(duì)協(xié)作。項(xiàng)目負(fù)責(zé)人將統(tǒng)籌協(xié)調(diào)各子課題的進(jìn)度與質(zhì)量，確保項(xiàng)目目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。青年研究人員D將負(fù)責(zé)算法實(shí)現(xiàn)、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析，并參與部分應(yīng)用案例的研究與驗(yàn)證。所有成員將共同參與生物醫(yī)學(xué)與金融工程領(lǐng)域的應(yīng)用研究，與領(lǐng)域?qū)＜揖o密合作，確保研究成果的實(shí)用性與轉(zhuǎn)化價(jià)值。

十一.經(jīng)費(fèi)預(yù)算

本項(xiàng)目預(yù)算總額為人民幣80萬(wàn)元，具體分配如下：

1.**人員工資**：本項(xiàng)目共需支付人員工資80萬(wàn)元，包括項(xiàng)目負(fù)責(zé)人、核心成員A、核心成員B、核心成員C、青年研究人員D的工資及社保公積金等，具體分配為：項(xiàng)目負(fù)責(zé)人30萬(wàn)元，核心成員A、B、C、D分別為25萬(wàn)元，均按國(guó)家和北京市規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)執(zhí)行。

2.**設(shè)備采購(gòu)**：本項(xiàng)目擬購(gòu)置高性能計(jì)算服務(wù)器、專業(yè)數(shù)據(jù)分析軟件、高性能網(wǎng)絡(luò)設(shè)備等，預(yù)算為20萬(wàn)元，主要用于支持大規(guī)模數(shù)據(jù)模擬、算法實(shí)現(xiàn)、模型訓(xùn)練和評(píng)估等研究工作。

3.**材料費(fèi)用**：本項(xiàng)目擬