初中數(shù)學(xué)競賽集訓(xùn)班講義第十七講解直角三角形利用直角三角形中的已知元素(至少有一條是邊)求得其余元素的過程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下兩方面的應(yīng)用：1．為線段、角的計算提供新的途徑．解直角三角形的基礎(chǔ)是三角函數(shù)的概念，三角函數(shù)使直角三角形的邊與角得以轉(zhuǎn)化，突破純粹幾何關(guān)系的局限．2．解實際問題．測量、航行、工程技術(shù)等生活生產(chǎn)的實際問題，許多問題可轉(zhuǎn)化為解直角三角形獲解，解決問題的關(guān)鍵是在理解有關(guān)名詞的意義的基礎(chǔ)上，準確把實際問題抽象為幾何圖形，進而轉(zhuǎn)化為解直角三角形．【例題求解】【例1】如圖，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD與地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝()m，則電線桿AB的長為．思路點撥延長AD交BC于E，作DF⊥BC于F，為解直角三角形創(chuàng)造條件．【例2】如圖，在四邊形ABCD中，AB=，BC-1，CD=，∠B=135°，∠C＝90°，則∠D等于()A．60°B．67．5°C．75°D．無法確定思路點撥通過對內(nèi)分割或向外補形，構(gòu)造直角三角形．注：因直角三角形元素之間有很多關(guān)系，故用已知元素與未知元素的途徑常不惟一，選擇怎樣的途徑最有效、最合理呢？請記住：有斜用弦，無斜用切，寧乘勿除．在沒有直角的條件下，常通過作垂線構(gòu)造直角三角形；在解由多個直角三角形組合而成的問題時，往往先解已具備條件的直角三角形，使得求解的直角三角形最終可解．【例3】如圖，在△ABC中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l，D為BC邊上一點，tan∠ADC是方程的一個較大的根?求CD的長．思路點撥解方程求出tan∠ADC的值，解Rt△ABC求出AC值，為解Rt△ADC創(chuàng)造條件．【例4】如圖，自卸車車廂的一個側(cè)面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0．5米，車廂底部距離地面1．2米，卸貨時，車廂傾斜的角度θ=60°．問此時車廂的最高點A距離地面多少米?(精確到1米)思路點撥作輔助線將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形，怎樣作輔助線構(gòu)造基本圖形，展開空間想象，就能得到不同的解題尋路【例5】如圖，甲樓樓高16米，乙樓坐落在甲樓的正北面，已知當(dāng)?shù)囟林形?2時太陽光線與水平面的夾角為30°，此時，求：(1)如果兩樓相距20米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高?(2)如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上，那么兩樓的距離應(yīng)當(dāng)是多少米?思路點撥(1)設(shè)甲樓最高處A點的影子落在乙樓的C處，則圖中CD的長度就是甲樓的影子在乙樓上的高；(2)設(shè)點A的影子落在地面上某一點C，求BC即可．注：在解決一個數(shù)學(xué)問題后，不能只滿足求出問題的答案，同時還應(yīng)對解題過程進行多方面分析和考察，思考一下有沒有多種解題途徑，每種途徑各有什么優(yōu)點與缺陷，哪一條途徑更合理、更簡捷，從中又能給我們帶來怎樣的啟迪等．若能養(yǎng)成這種良好的思考問題的習(xí)慣，則可逐步培養(yǎng)和提高我們分析探索能力．學(xué)歷訓(xùn)練1．如圖，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，BC=，則AB的長為．2．如圖，在矩形ABCD中．E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，若tan∠AEH=，四邊形EFGH的周長為40cm，則矩形ABCD的面積為．3．如圖，旗桿AB，在C處測得旗桿頂A的仰角為30°，向旗桿前北進10m，達到D，在D處測得A的仰角為45°，則旗桿的高為．4．上午9時，一條船從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度向正東方向航行，9時30分到達B處，從A、B兩處分別測得小島M在北偏東45°和北偏東15°方向，那么B處船與小島M的距離為()A．20海里B．20海里C．海里D．5．已知a、b、c分別為△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，若關(guān)于的方程有兩個相等的實根，且sinB·cosA—cosB·sinA＝0，則△ABC的形狀為()A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形6．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝135°，∠B=∠D=90°，BC=，AD=2，則四邊形ABCD的面積是()A．B．C．4D．67．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=1，已知AD、BD的長是關(guān)于的方程的兩根，且tanA—tanB=2，求、的值．8．如圖，某電信部門計劃修建一條連結(jié)B、C兩地的電纜，測量人員在山腳A點測得B、C兩地的仰角分別為30°、45°，在B地測得C地的仰角為60°．已知C地比A地高200米，則電纜BC至少長多少米?(精確到0.1米)9．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，∠CBD＝30，則=．10．如圖，正方形ABCD中，N是DC的中點．M是AD上異于D的點，且∠NMB=∠MBC，則tan∠ABM＝．11．在△ABC中，AB=，BC=2，△ABC的面積為l，若∠B是銳角，則∠C的度數(shù)是．12．已知等腰三角形的三邊長為a、b、c，且，若關(guān)于的一元二次方程的兩根之差為，則等腰三角形的一個底角是()A．15°B．30°C．45°D．60°13．如圖，△ABC為等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，則∠1和∠2的大小關(guān)系是()A．∠1>∠2B．∠1<∠2C．∠1＝∠2D．無法確定14．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD上一點，AE⊥AF，點E在CB的延長線上，EF交AB于點G．(1)求證：DF×FC＝BG×EC；(2)當(dāng)tan∠DAF=時，△AEF的面積為10，問當(dāng)tan∠DAF=時，△AEF的面積是多少?15．在一個三角形中，有一邊邊長為16，這條邊上的中線和高線長度分別為10和9，求三角形中此邊所對的角的正切值．16．臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力．據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級，每遠離臺風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)正在以15千米／時的速度沿北偏東30°方向往C處移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達到或超過四級，則稱為受臺風(fēng)影響．(1)該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響?請說明理由．(2)若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長?(3)該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級?17．如圖，山上有一座鐵塔，山腳下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周圍沒有開闊平整地帶．該建筑物頂端寬度AD和高度DC都可直接測得，從A、D、C三點可看到塔頂端H．可供使用的測量工具有皮尺、測角器．(1)請你根據(jù)現(xiàn)有條件，充分利用矩形建筑物，設(shè)計一個測量塔頂端到地面高度HG的方案．具體要求如下：①測量數(shù)據(jù)盡可能少；②在所給圖形上，畫出你設(shè)計的測量平面圖，并將應(yīng)測數(shù)據(jù)標(biāo)記在圖形上(如果測A、D間距離，用m表示；如果測D、C間距離，用n表示；如果測角，用α、β、γ等表示．測角器高度不計)．(2)根據(jù)你測量的數(shù)據(jù)，計算塔頂端到地面的高度HG(用字母表示)．初中數(shù)學(xué)競賽集訓(xùn)班講義第十七講解直角三角形利用直角三角形中的已知元素(至少有一條是邊)求得其余元素的過程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下兩方面的應(yīng)用：1．為線段、角的計算提供新的途徑．解直角三角形的基礎(chǔ)是三角函數(shù)的概念，三角函數(shù)使直角三角形的邊與角得以轉(zhuǎn)化，突破純粹幾何關(guān)系的局限．2．解實際問題．測量、航行、工程技術(shù)等生活生產(chǎn)的實際問題，許多問題可轉(zhuǎn)化為解直角三角形獲解，解決問題的關(guān)鍵是在理解有關(guān)名詞的意義的基礎(chǔ)上，準確把實際問題抽象為幾何圖形，進而轉(zhuǎn)化為解直角三角形．【例題求解】【例1】如圖，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD與地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝()m，則電線桿AB的長為．思路點撥延長AD交BC于E，作DF⊥BC于F，為解直角三角形創(chuàng)造條件．【例2】如圖，在四邊形ABCD中，AB=，BC-1，CD=，∠B=135°，∠C＝90°，則∠D等于()A．60°B．67．5°C．75°D．無法確定思路點撥通過對內(nèi)分割或向外補形，構(gòu)造直角三角形．注：因直角三角形元素之間有很多關(guān)系，故用已知元素與未知元素的途徑常不惟一，選擇怎樣的途徑最有效、最合理呢？請記?。河行庇孟?，無斜用切，寧乘勿除．在沒有直角的條件下，常通過作垂線構(gòu)造直角三角形；在解由多個直角三角形組合而成的問題時，往往先解已具備條件的直角三角形，使得求解的直角三角形最終可解．【例3】如圖，在△ABC中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l，D為BC邊上一點，tan∠ADC是方程的一個較大的根?求CD的長．思路點撥解方程求出tan∠ADC的值，解Rt△ABC求出AC值，為解Rt△ADC創(chuàng)造條件．【例4】如圖，自卸車車廂的一個側(cè)面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0．5米，車廂底部距離地面1．2米，卸貨時，車廂傾斜的角度θ=60°．問此時車廂的最高點A距離地面多少米?(精確到1米)思路點撥作輔助線將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形，怎樣作輔助線構(gòu)造基本圖形，展開空間想象，就能得到不同的解題尋路【例5】如圖，甲樓樓高16米，乙樓坐落在甲樓的正北面，已知當(dāng)?shù)囟林形?2時太陽光線與水平面的夾角為30°，此時，求：(1)如果兩樓相距20米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高?(2)如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上，那么兩樓的距離應(yīng)當(dāng)是多少米?思路點撥(1)設(shè)甲樓最高處A點的影子落在乙樓的C處，則圖中CD的長度就是甲樓的影子在乙樓上的高；(2)設(shè)點A的影子落在地面上某一點C，求BC即可．注：在解決一個數(shù)學(xué)問題后，不能只滿足求出問題的答案，同時還應(yīng)對解題過程進行多方面分析和考察，思考一下有沒有多種解題途徑，每種途徑各有什么優(yōu)點與缺陷，哪一條途徑更合理、更簡捷，從中又能給我們帶來怎樣的啟迪等．若能養(yǎng)成這種良好的思考問題的習(xí)慣，則可逐步培養(yǎng)和提高我們分析探索能力．學(xué)歷訓(xùn)練1．如圖，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，BC=，則AB的長為．2．如圖，在矩形ABCD中．E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，若tan∠AEH=，四邊形EFGH的周長為40cm，則矩形ABCD的面積為．3．如圖，旗桿AB，在C處測得旗桿頂A的仰角為30°，向旗桿前北進10m，達到D，在D處測得A的仰角為45°，則旗桿的高為．4．上午9時，一條船從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度向正東方向航行，9時30分到達B處，從A、B兩處分別測得小島M在北偏東45°和北偏東15°方向，那么B處船與小島M的距離為()A．20海里B．20海里C．海里D．5．已知a、b、c分別為△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，若關(guān)于的方程有兩個相等的實根，且sinB·cosA—cosB·sinA＝0，則△ABC的形狀為()A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形6．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝135°，∠B=∠D=90°，BC=，AD=2，則四邊形ABCD的面積是()A．B．C．4D．67．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=1，已知AD、BD的長是關(guān)于的方程的兩根，且tanA—tanB=2，求、的值．8．如圖，某電信部門計劃修建一條連結(jié)B、C兩地的電纜，測量人員在山腳A點測得B、C兩地的仰角分別為30°、45°，在B地測得C地的仰角為60°．已知C地比A地高200米，則電纜BC至少長多少米?(精確到0.1米)9．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，∠CBD＝30，則=．10．如圖，正方形ABCD中，N是DC的中點．M是AD上異于D的點，且∠NMB=∠MBC，則tan∠ABM＝．11．在△ABC中，AB=，BC=2，△ABC的面積為l，若∠B是銳角，則∠C的度數(shù)是．12．已知等腰三角形的三邊長為a、b、c，且，若關(guān)于的一元二次方程的兩根之差為，則等腰三角形的一個底角是()A．15°B．30°C．45°D．60°13．如圖，△ABC為等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，則∠1和∠2的大小關(guān)系是()A．∠1>∠2B．∠1<∠2C．∠1＝∠2D．無法確定14．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD上一點，AE⊥AF，點E在CB的延長線上，EF交AB于點G．(1)求證：DF×FC＝BG×EC；(2)當(dāng)tan∠DAF=時，△AEF的面積為10，問當(dāng)tan∠DAF=時，△AEF的面積是