試題試題上海中學(xué)2024-2025上高一數(shù)學(xué)期末試卷（定稿）一．填空題1.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．2.已知，試用表示__________．3.函數(shù)的最小值是______．4.不等式解集為_(kāi)_______．5.若函數(shù)的對(duì)稱中心是則_______6.已知偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則滿足的取值范圍是______.7.已知是定義在上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為常數(shù))，則_______.8.若集合是的子集，則的取值范圍是_______9.已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則________．10.設(shè)函數(shù)，給出下列命題：①，時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；②時(shí)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③方程至多有兩個(gè)實(shí)根；④圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．上述四個(gè)命題中所有的正確命題的序號(hào)為_(kāi)______11.已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)（互不相同），則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.12.已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，均有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．二．選擇題13.若命題甲：，命題乙：，則命題甲是命題乙的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.非充分也非必要條件14.若，，則一定有（）A. B. C. D.15.若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.16.設(shè)、、是定義域?yàn)榈娜齻€(gè)函數(shù)，對(duì)于命題：①若、、均為增函數(shù)，則、、中至少有一個(gè)增函數(shù)；②若、、均是以為周期的函數(shù)，則、、均是以為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題C.①為真命題，②為假命題D.①假命題，②為真命題三．解答題17.已知集合集合（1）求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18.已知快遞公司要從地往地送貨，，兩地的距離為100km，按交通法規(guī)，，兩地之間的公路車速x應(yīng)限制在60~120km/h（含端點(diǎn)），假設(shè)汽車的油耗為元/時(shí)，司機(jī)的工資為70元/時(shí)（設(shè)汽車為勻速行駛），若燃油費(fèi)用與司機(jī)工資都由快遞公司承擔(dān)，（1）試建立行車總費(fèi)用元關(guān)于車速的函數(shù)關(guān)系：（2）若不考慮其他費(fèi)用，以多少車速行駛，快遞公司所要支付的總費(fèi)用最少?最少費(fèi)用為多少?19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明；（2）討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由．20.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，即若則稱在上封閉．（1）分別判斷函數(shù)，在上否封閉，說(shuō)明理由；（2）函數(shù)的定義域?yàn)榍掖嬖诜春瘮?shù)若函數(shù)在上封閉，且函數(shù)在上也封閉，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21.已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有成立，且．（1）求的值和的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位得到函的圖象，若，且，求的取值范圍；（3）若，關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．上海中學(xué)2024-2025上高一數(shù)學(xué)期末試卷（定稿）一．填空題1.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】要求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，須保證對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，即可.【詳解】由題意知：，∴x<5，所以原函數(shù)的定義域?yàn)椋?，故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，利用真數(shù)大于0列不等式求解即可，屬于基礎(chǔ)題.2.已知，試用表示__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，，代入求解即可.【詳解】由，∵，∴，∴=，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，主要考查計(jì)算能力和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)的最小值是______．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)化為，注意運(yùn)用基本不等式和二次函數(shù)的最值，同時(shí)注意最小值取得時(shí)，的取值要一致，即可得到所求最小值．【詳解】解：函數(shù)．當(dāng)且僅當(dāng)，即有，取得等號(hào)．則函數(shù)的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意求最值的條件：一正二定三等，屬于中檔題和易錯(cuò)題．4.不等式的解集為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】利用數(shù)軸穿根法解分式不等式，不等式首先進(jìn)行移項(xiàng)再通分變形為分式不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后轉(zhuǎn)化為整式不等式進(jìn)行求解，兩不等式的解集取交集即為所求.【詳解】，根據(jù)數(shù)軸穿根法可解得或，，解得或或，所以，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】分式不等式的解法：（1）標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為（或）；（或）的形式；（2）轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）；.5.若函數(shù)的對(duì)稱中心是則_______【答案】1【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得，整理可求出的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱中心是，所以.即.整理得：，所以，所以.故答案為：16.已知偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則滿足的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，解得即可.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，不等式等價(jià)于，等價(jià)于，即，解得，即滿足的取值范圍是.故答案為：7.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為常數(shù))，則_______.【答案】【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解，【詳解】由是定義在上的奇函數(shù)，故，得，而，則，故答案為：8.若集合是的子集，則的取值范圍是_______【答案】【解析】【分析】先求得集合，再分集合和兩種情況求得的取值范圍．【詳解】由，即.若，則，此時(shí)是的子集；若，由得：.綜上可得：及取值范圍是.故答案為：9.已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則________．【答案】【解析】【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以為負(fù)奇數(shù)，因?yàn)椋?，故答案為?0.設(shè)函數(shù)，給出下列命題：①，時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；②時(shí)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③方程至多有兩個(gè)實(shí)根；④的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．上述四個(gè)命題中所有的正確命題的序號(hào)為_(kāi)______【答案】①②④【解析】【分析】先分析函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及圖象平移逐一判斷．【詳解】對(duì)①：因?yàn)楹瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，而，時(shí)，函數(shù)相當(dāng)于將函數(shù)向上平移了個(gè)單位，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.故①正確；對(duì)②：當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故②正確；對(duì)③：當(dāng)，時(shí)，由或或，方程可以有3個(gè)根，故③錯(cuò)誤；對(duì)④：當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，將其圖象向上（）或向下（）平移個(gè)單位，可得的圖象，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.故④正確.故答案為：①②④11.已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)（互不相同），則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】【詳解】作出函數(shù)的圖象，可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，，，方程在上有10個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)和圖象與直線在上有10個(gè)交點(diǎn)，由于函數(shù)的周期為3，因此直線與函數(shù)的應(yīng)該是4個(gè)交點(diǎn)，則有．【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)，周期函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．12.已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，均有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】【詳解】試題分析：若對(duì)任意的，均有，則（1）當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在上取得，,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）；故；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，;故可化為；（2）當(dāng)或時(shí)，討論可得故答案為考點(diǎn)：分段函數(shù)，函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用二．選擇題13.若命題甲：，命題乙：，則命題甲是命題乙的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.非充分也非必要條件【答案】A【解析】【分析】分別分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命題甲與命題乙的關(guān)系.【詳解】解：當(dāng)，即時(shí)，，故命題甲可推出命題乙；當(dāng)，可得或，故命題乙不可以推出命題甲,故命題甲是命題乙充分非必要條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分性和必要性的判斷，是基礎(chǔ)題.14.若，，則一定有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷．【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所以?故選：C15.若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用“換元法”把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在某區(qū)間有解的問(wèn)題求解.【詳解】設(shè)，則，.所以關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，變成關(guān)于的方程在上有解.設(shè)，，因?yàn)槎魏瘮?shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減.所以關(guān)于的方程在上有解.故選：D16.設(shè)、、是定義域?yàn)榈娜齻€(gè)函數(shù)，對(duì)于命題：①若、、均為增函數(shù)，則、、中至少有一個(gè)增函數(shù)；②若、、均是以為周期的函數(shù)，則、、均是以為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是A.①和②均為真命題B.①和②均假命題C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題【答案】D【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?，所?又、、均是以為周期的函數(shù)，所以，所以是周期為的函數(shù)，同理可得、均是以為周期的函數(shù)，②正確；取，，均不是增函數(shù)，而，，均為增函數(shù)，因此命題①是假命題；，因此①不正確.選D.【考點(diǎn)】抽象函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的周期性【名師點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性與周期性，是高考?？純?nèi)容.本題有一定難度.解答此類問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于靈活選擇方法，如結(jié)合選項(xiàng)或通過(guò)舉反例應(yīng)用“排除法”等.本題能較好地考查考生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力、基本計(jì)算能力等.三．解答題17.已知集合集合（1）求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求集合.（2）根據(jù)，確定集合的形式，求參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?當(dāng)即時(shí)，得或，即，此時(shí)不能成立；當(dāng)即時(shí)，得或，即，此時(shí).故.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知快遞公司要從地往地送貨，，兩地的距離為100km，按交通法規(guī)，，兩地之間的公路車速x應(yīng)限制在60~120km/h（含端點(diǎn)），假設(shè)汽車的油耗為元/時(shí)，司機(jī)的工資為70元/時(shí)（設(shè)汽車為勻速行駛），若燃油費(fèi)用與司機(jī)工資都由快遞公司承擔(dān)，（1）試建立行車總費(fèi)用元關(guān)于車速的函數(shù)關(guān)系：（2）若不考慮其他費(fèi)用，以多少車速行駛，快遞公司所要支付的總費(fèi)用最少?最少費(fèi)用為多少?【答案】（1），；（2）以80km/h車速行駛，快遞公司所要支付總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為280元.【解析】【分析】（1）依題意設(shè)車速為，即可得到函數(shù)解析式；（2）利用基本不等式求最值，即可得解．【詳解】解：（1）設(shè)車速為，則時(shí)間為，依題意可得，；（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以以80km/h車速行駛，快遞公司所要支付的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為280元.【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明；（2）討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由．【答案】（1）在上是增函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，為非奇非偶函數(shù)；理由見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）在上為增函數(shù)，按照取值、作差、變形、判號(hào)、下結(jié)論這5個(gè)步驟證明即可得解；（2）利用奇偶函數(shù)的定義討論可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，證明：任取，則，因?yàn)?，所以，即，所以，即，所以在上是增函?shù).（2）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，此時(shí)為奇函數(shù)；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即恒成立，此時(shí)為偶函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，為非奇非偶函數(shù).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義是解題關(guān)鍵.20.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，即若則稱在上封閉．（1）分別判斷函數(shù)，在上是否封閉，說(shuō)明理由；（2）函數(shù)定義域?yàn)榍掖嬖诜春瘮?shù)若函數(shù)在上封閉，且函數(shù)在上也封閉，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）不封閉，封閉，理由見(jiàn)解析.（2）【解析】【分析】（1）分析兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，求出它們的值域，根據(jù)“封閉”的概念進(jìn)行判斷.（2）先根據(jù)題意確定，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在給定區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹驮诰鶠樵龊瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，且，即，因?yàn)椴皇堑淖蛹院瘮?shù)在不封閉.對(duì)，.設(shè)，則.因?yàn)椋?，?所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，，所以，因?yàn)椋栽谏戏忾].【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上封閉，所以；又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上封閉，所以.所以.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的解.令（），則.所以在上有兩個(gè)不同的解.所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：弄清楚兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)時(shí)，它們的定義域和值域的關(guān)系是解決第二問(wèn)的關(guān)鍵.21.已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有成立，且．（1）求的值和的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位得到函的圖象，若，且，求的取值范圍；（3）若，關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）