第57講

隨機事件與概率、古典概型課前基礎(chǔ)鞏固課堂考點探究教師備用習(xí)題作業(yè)手冊答案核查【聽】答案核查【作】【課標(biāo)要求】

1.結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關(guān)系.2.了解隨機事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實例進行隨機事件的并、交運算.3.結(jié)合具體實例，理解古典概型,能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.4.通過實例，理解概率的性質(zhì),掌握隨機事件概率的運算法則.5.結(jié)合實例，會用頻率估計概率.◆知識聚焦◆1.樣本空間與樣本點名稱含義樣本點樣本空間有限樣本空間每個可能樣本點2.隨機事件、必然事件與不可能事件名稱含義隨機事件基本事件只包含______樣本點的事件必然事件每次試驗__________的事件不可能事件每次試驗____________的事件子集一個一定發(fā)生一定不發(fā)生3.事件的關(guān)系和運算定義符號表示包含關(guān)系相等關(guān)系_______并事件（和事件）一定發(fā)生

至少有一個定義符號表示交事件（積事件）互斥事件對立事件

同時不能同時發(fā)生續(xù)表4.古典概型兩個特征：有限性：樣本空間的樣本點只有______個；等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性______.有限相等

（1）

6.頻率與概率（1）概率：對隨機事件發(fā)生____________的度量（數(shù)值）.可能性大小

穩(wěn)定于

◆課前演練◆題組一

易錯辨析判斷下列說法是否正確.（請在括號中打“√”或“×”）

×[解析]

該考生“選擇化學(xué)”和“選擇生物”可能同時發(fā)生，故該考生“選擇化學(xué)”和“選擇生物”不互斥.（2）某人去市場挑選水果，至少挑選一種水果和至多挑選一種水果是對立事件.(

)×[解析]

若至少挑選一種水果，則挑選的水果種類數(shù)大于或等于1，若至多挑選一種水果，則挑選的水果種類數(shù)小于或等于1.當(dāng)挑選的水果種類數(shù)為1時，這兩種情況同時發(fā)生，故至少挑選一種水果和至多挑選一種水果不對立.

×

×

題組二

教材改編

3件中至多有2件一級品

卡片號碼12345678910取到次數(shù)1785769189129取到的號碼為奇數(shù)的頻率為_____.0.58

探究點一

事件的關(guān)系與運算

A.全部擊中

B.至少擊中1發(fā)

C.都未擊中

D.擊中3發(fā)

√（2）現(xiàn)有一批產(chǎn)品共9件，已知其中5件正品和4件次品，現(xiàn)從中選4件產(chǎn)品進行檢測，則下列事件中互為對立事件的是(

)A.恰好有兩件正品與全都是正品B.至少有三件正品與全都是正品C.至少有一件正品與全都是次品D.至少有一件正品與至少有一件次品√[解析]

根據(jù)題意，選項A中的兩個事件為互斥事件，但不是對立事件；選項B中的兩個事件可能同時發(fā)生，則兩個事件不對立；選項C中的兩個事件為對立事件；選項D中的兩個事件可能同時發(fā)生，則兩個事件不對立.故選C.總結(jié)反思互斥事件、對立事件的判斷定義法不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件;兩個事件中,若有且僅有一個發(fā)生,則這兩個事件為對立事件;對立事件一定是互斥事件.集合法【對點演練1】（1）有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每個方向一人，事件“甲向南”與事件“乙向南”是(

)A.互斥但不對立事件

B.對立事件C.不互斥事件

D.以上都不對[解析]

因為甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每個方向一人，所以事件“甲向南”與事件“乙向南”不能同時發(fā)生，但能同時都不發(fā)生，故事件“甲向南”與事件“乙向南”是互斥但不對立事件.故選A.√（2）[2024·河北邢臺期末]一個袋子里裝有2個紅球和2個黑球，甲、乙兩人每人隨機不放回地取1個球，則互斥但不對立的兩個事件可以是(

)A.“甲取出的球是紅球”與“甲取出的球是黑球”B.“甲取出的球是紅球”與“乙取出的球是紅球”C.“甲、乙取出的球都是紅球”與“甲、乙取出的球都是黑球”D.“甲、乙取出的球都是紅球”與“甲、乙取出的球中至少有1個紅球”√[解析]

對于A，“甲取出的球是紅球”與“甲取出的球是黑球”是對立事件，故A錯誤；對于B，“甲取出的球是紅球”與“乙取出的球是紅球”可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故B錯誤；對于C，“甲、乙取出的球都是紅球”與“甲、乙取出的球都是黑球”不能同時發(fā)生，也可以都不發(fā)生，是互斥但不對立事件，故C正確；對于D，“甲、乙取出的球都是紅球”與“甲、乙取出的球中至少有1個紅球”可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故D錯誤.故選C.探究點二

古典概型例2（1）從正六邊形的六個頂點中任取四個點，則這四個點構(gòu)成等腰梯形的概率是(

)

√

（2）[2024·江蘇南京期末]從分別寫有數(shù)字1，2，3，4的4張卡片中無放回地隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為(

)

√（3）某年級有12個班，現(xiàn)要從2班到12班中選1個班的學(xué)生參加一項活動，有人提議：擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，得到的點數(shù)之和是幾就選幾班，針對這種提議，下列說法正確的是(

)

√[解析]

列表如下：第一枚第二枚123456123456723456783456789456789105678910116789101112

【對點演練2】（1）中國古代數(shù)學(xué)著作主要有《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《四元玉鑒》《張邱建算經(jīng)》，若從上述5部書籍中任意抽取2部，則抽到《九章算術(shù)》的概率為(

)

√

（2）[2024·河北石家莊期末]

從長度分別為2，3，5，7，11的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為__.

探究點三

概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用

√

①寫出該試驗的樣本空間；

√

√

√√√

探究點四

頻率與概率例4（1）[2024·廣西河池期末]下列說法中正確的是(

)

√

√

【對點演練4】（1）[2024·廣東梅州模擬]兩名同學(xué)在一次用頻率估計概率的試驗中統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出統(tǒng)計圖如圖甲所示，則符合這一結(jié)果的試驗是(

)A.拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率B.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)1點的概率C.轉(zhuǎn)動如圖乙所示的轉(zhuǎn)盤（三個區(qū)域面積相等），轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率D.從裝有2個紅球和1個藍球的口袋中任取1個球，恰好是藍球的概率√

組號1234分組頻數(shù)231530組號5678分組頻數(shù)50751205①求上述數(shù)據(jù)中空氣相對濕度使病毒死亡較快的頻率；

續(xù)表

【備選理由】例1主要考查的是事件之間的關(guān)系，正確理解事件之間的關(guān)系才能更好地解決概率問題；例1

［配合探究點一使用］（1）在12件同類產(chǎn)品中，有10件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，則下列事件為必然事件的是(

)A.3件都是正品

B.至少有2件是次品C.3件都是次品

D.至少有1件是正品[解析]

因為在12件產(chǎn)品中，只有2件是次品，從中任意抽出3件，則至少有1件是正品.故選D.√

√

√【備選理由】例2主要考查了概率的基本性質(zhì)，正確利用概率的基本性質(zhì)是解決概率問題的前提；

第一枚第二枚123456123456

【備選理由】例3補充了典型的古典概型問題，這部分內(nèi)容是高考重點考查內(nèi)容.（1）甲、乙兩人誰被錄取的可能性大，并說明理由；

（2）求甲、乙兩人中至少有一人被錄取的概率.

作業(yè)手冊◆夯實基礎(chǔ)◆

√2.下列說法正確的是(

)

√

3.[2024·福建福州期末]某小組有2名男生和1名女生，從中任選2名學(xué)生參加比賽，事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”

(

)A.是對立事件

B.都是不可能事件C.是互斥事件但不是對立事件

D.不是互斥事件[解析]

根據(jù)題意，“至少有1名女生”與“至少有1名男生”可能同時發(fā)生，故事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”不是互斥事件.故選D.√

√5.某電子設(shè)備制造廠所用元件來自兩個不同的元件制造廠甲和乙，統(tǒng)計出2萬個元件的情況如下表：正品次品甲9400600乙9600400

A.0.93

B.0.94

C.0.95

D.0.96

√

A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5

√7.一個不透明袋子中有大小和質(zhì)地均相同的3個小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，先后不放回地摸出2個小球，若第二次摸出球的號碼比第一次大，則選擇第二次摸出的球，否則選擇未被摸出的球，則選到3號球的概率為(

)

√

√

√√

◆綜合提升◆11.[2024·貴州銅仁期末]從三棱錐的6條棱中任選2條棱，則這2條棱所在的直線是異面直線的概率為(

)

√

12.[2025·山東濟寧模擬]在調(diào)查運動員是否服用過興奮劑的時候，給出兩個問題作答，無關(guān)緊要的問題是：“你的手機號碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調(diào)查的運動員擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果出現(xiàn)正面朝上，就回答第一個問題，否則回答第二個問題.由于回答哪一個問題只有被測試者自