第14講等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一、基本概念1.數(shù)列(1)定義.按照一定順序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.從函數(shù)的角度來看,數(shù)列是特殊的函數(shù).在中,當(dāng)自變量時(shí),所對應(yīng)的函數(shù)值就構(gòu)成一數(shù)列,通常記為,所以數(shù)列有些問題可用函數(shù)方法來解決.2.等差數(shù)列(1)定義.一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一常數(shù),則該數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做公差,常用字母表示,即.(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.若等差數(shù)列的首項(xiàng)是,公差是,則其通項(xiàng)公式為,是關(guān)于的一次型函數(shù).或,公差(直線的斜率)().(3)等差中項(xiàng).若成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項(xiàng),即或.在一個(gè)等差數(shù)列中,從第2項(xiàng)起(有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外),每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng);事實(shí)上,等差數(shù)列中每一項(xiàng)都是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng).(4)等差數(shù)列的前項(xiàng)和(類似于),是關(guān)于的二次型函數(shù)(二次項(xiàng)系數(shù)為且常數(shù)項(xiàng)為0).的圖像在過原點(diǎn)的直線上或在過原點(diǎn)的拋物線上.3.等比數(shù)列(1)定義.一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù),則該數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做公比,常用字母表示,即.(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.等比數(shù)列的通項(xiàng),是不含常數(shù)項(xiàng)的指數(shù)型函數(shù).(3).(4)等比中項(xiàng)如果成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項(xiàng),即或(兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)).(5)等比數(shù)列的前項(xiàng)和二、基本性質(zhì)1.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)等差中項(xiàng)的推廣.當(dāng)時(shí),則有,特別地,當(dāng)時(shí),則有.(2)等差數(shù)列線性組合.①設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.②設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.(3)等差數(shù)列的單調(diào)性及前項(xiàng)和的最值.公差為遞增等差數(shù)列,有最小值;公差為遞減等差數(shù)列,有最大值;公差為常數(shù)列.特別地若,則有最大值(所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和);若,則有最小值(所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和).(4)其他衍生等差數(shù)列.若已知等差數(shù)列,公差為,前項(xiàng)和為,則為等差數(shù)列,公差為.3.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)等比中項(xiàng)的推廣.若時(shí),則,特別地,當(dāng)時(shí),.(2)①設(shè)為等比數(shù)列,則(為非零常數(shù)),,仍為等比數(shù)列.②設(shè)與為等比數(shù)列,則也為等比數(shù)列.(3)等比數(shù)列的單調(diào)性(等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)與公比決定).當(dāng)或時(shí),為遞增數(shù)列;當(dāng)或時(shí),為遞減數(shù)列.(4)其他衍生等比數(shù)列.若已知等比數(shù)列,公比為,前項(xiàng)和為,則為等比數(shù)列,公比為(當(dāng)時(shí),不為偶數(shù)).4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化(1)若為正項(xiàng)等比數(shù)列,則為等差數(shù)列.(2)若為等差數(shù)列,則為等比數(shù)列.(3)若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列.【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項(xiàng)的和為（）A．－24 B．－3C．3 D．8例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A．38 B．50 C．36 D．45例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，則a1=（）A． B． C． D．例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若S10∶S5=1∶2，則S15∶S5=（）A． B． C． D．例5．（2020·全國·高考真題（理））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊例6．（2019·海南·嘉積中學(xué)高三階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列前項(xiàng)和，，，當(dāng)取得最小值時(shí)（）．A．2 B．14 C．7 D．6或7例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列、都是等差數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為.若，則（）A． B． C． D．例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且對任意的正整數(shù)n，是和的等差中項(xiàng)，證明：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式．例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式：例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有下列三個(gè)條件：①數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，②是公差為1的等差數(shù)列，③，在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題中“___________”處，使問題完整，并加以解答.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，對任意的，都有___________.已知數(shù)列滿足，是否存在，使得對任意的，都有？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則等于（）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的公差為（）A．3 B．2 C．－2 D．－34．（2021·湖北·高三階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A．22 B．45 C．50 D．555．（2021·四川遂寧·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，若，則（）A．9 B． C．10 D．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對任意的n∈N*，都有＝，則＋的值為（）A． B． C． D．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是（）A．20 B．22 C．24 D．88．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，且，，則（）A． B． C． D．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為（）A． B． C． D．10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（）A． B．C． D．11．（2021·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測（文））等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，則()A． B．C． D．12．（2021·安徽定遠(yuǎn)·高三階段練習(xí)（理））等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則（）A． B． C． D．13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．28 B．34 C．40 D．4414．（2021·廣東廣州·高三階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最小值為（）A． B． C． D．15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我國明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問：各該鈔若干？其意思是：現(xiàn)有錢238貫，采用等差數(shù)列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人，現(xiàn)在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問各人各得錢多少？在這個(gè)問題中，戊所得錢數(shù)為（）A．30.8貫 B．39.2貫 C．47.6貫 D．64.4貫16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A． B．5 C．10 D．1517．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則的值是（）A． B． C． D．18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則的公比為()A．1 B． C．2 D．419．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））等比數(shù)列{an}中，每項(xiàng)均為正數(shù)，且a3a8＝81，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（）A．5 B．10 C．20 D．4020．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝（）A．5 B．10 C．15 D．2021．（2021·陜西安康·高三期中（理））等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A．1 B．5 C．1或31 D．5或1122．（2021·四川·雙流中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知為等比數(shù)列，是它的前n項(xiàng)和．若，且與的等差中項(xiàng)為，則（）A．29 B．31 C．33 D．3523．（2021·西藏·拉薩那曲第二高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則公比（）A． B． C． D．或224．（2021·山西運(yùn)城·高三期中（文））數(shù)列中，，對任意，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．525．（2021·遼寧·大連市第一中學(xué)高三期中）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．2 B．-2 C．1 D．-126．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足、、成等差數(shù)列.其前項(xiàng)和為，且，則（）A． B． C． D．27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為等比數(shù)列，且，與的等差中項(xiàng)為，則（）A．1 B．2 C．31 D．28．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知1，a1，a2，9四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3，9五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則b2（a2﹣a1）等于（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．二、多選題29．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列是遞增數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，滿足，下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C．當(dāng)時(shí)最小 D．時(shí)的最小值為三、填空題30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則_______.31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為___________.32．（2022·上海寶山·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則___________.33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則______．34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最小值，且，則使得成立的的最小值是________．35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，求____36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，，則公比等于________.37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)均為正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，則a4＋a8＝________．38．（2021·海南·三亞華僑學(xué)校高三階段練習(xí)）若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則___________.39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)之和，，則______40．（2021·江蘇·無錫市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則________．四、解答題41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．42．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，.（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若數(shù)列前n項(xiàng)和，求n的最小值.43．（2021·江西南昌·模擬預(yù)測（文））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.44．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和45．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的最大值及取得最大值時(shí)的值.46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：.證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)；47．（2020·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）數(shù)列滿足：，．（1）記，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．4