第1頁/共1頁2023北京高一（上）期末數(shù)學匯編數(shù)列章節(jié)綜合一、單選題1．（2023秋·北京·高一北京市十一學校?？计谀?shù)列的通項公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件2．（2023秋·北京·高一北京市十一學校?？计谀┮阎畈粸?的等差數(shù)列中，，，則使其前項和取得最大值的正整數(shù)的值為（

）A．11或12 B．6或7 C．10或11 D．5或63．（2023秋·北京·高一北京市十一學校?？计谀┪覀兌悸犝f過一個著名的關(guān)于指數(shù)增長的故事：古希臘著名的數(shù)學家、思想家阿基米德與國王下棋.國王輸了，問阿基米德要什么獎賞？阿基米德說：“我只要在棋盤上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八?！创朔椒ǚ诺竭@棋盤的第64個格子就行了.”通過計算，國王要給阿基米德粒米，這是一個天文數(shù)字.年后，又一個數(shù)學家小明與當時的國王下棋，也提出了與阿基米德一樣的要求，由于當時的國王已經(jīng)聽說過阿基米德的故事，所以沒有同意小明的請求.這時候，小明做出了部分妥協(xié)，他提出每一個格子放的米的個數(shù)按照如下方法計算，首先按照阿基米德的方法，先把米的個數(shù)變?yōu)榍耙粋€格子的兩倍，但從第三個格子起，每次都歸還給國王一粒米，并由此計算出每個格子實際放置的米的個數(shù).這樣一來，第一個格子有一粒米，第二個格子有兩粒米.第三個格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于歸還給國王一粒米，就剩下三粒米；第四個格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聰明”的國王一看，每個格子上放的米的個數(shù)都比阿基米德的方案顯著減少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，請你計算個格子一共能得到（

）粒米.A． B． C． D．4．（2023秋·北京·高一北京市十一學校?？计谀┑炔顢?shù)列的前項和，，則（

）A．9 B．12 C．30 D．455．（2023秋·北京·高一北京市十一學校?？计谀┮阎堑炔顢?shù)列，且，則（

）A．1 B．3 C．5 D．76．（2023秋·北京·高一北京市十一學校校考期末）已知等比數(shù)列的前項和為，若，公比，，，則（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2023秋·北京·高一北京市十一學校校考期末）已知數(shù)列滿足，，且對于，均有，則______.8．（2023秋·北京·高一北京市十一學校?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，且對于，，則______.9．（2023秋·北京·高一北京市十一學校?？计谀┮阎獢?shù)列是首項為4，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和記為，則使得能被5整除的最小正整數(shù)的值為______.10．（2023秋·北京·高一北京市十一學校?？计谀┰诘缺葦?shù)列中，，，則______.11．（2023秋·北京·高一北京市十一學校校考期末）已知數(shù)列的前項和為，則的通項公式為______.三、解答題12．（2023秋·北京·高一北京市十一學校?？计谀┮阎獌蓚€均含有項的有限數(shù)列，，其中對于，且．定義數(shù)列與之間的距離：．定義數(shù)列的“和序列”，其滿足對于，，數(shù)列的項和記為：；定義數(shù)列的“和序列”，其滿足對于，，數(shù)列的項和記為：．(1)已知數(shù)列，，求和；(2)當且時，求的所有可能取值；(3)當且時，求的最大值和最小值，并分別列舉一對數(shù)列，，使取到最大值和最小值；(4)求證：對于，當且是4的倍數(shù)時，的最小值為0；(5)當，時，直接寫出一對數(shù)列，，使得．

參考答案1．B【分析】根據(jù)以及充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可【詳解】由題意得數(shù)列為遞增數(shù)列等價于對任意恒成立，即對任意恒成立，因為，且可以無限接近于0，所以，所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B2．D【分析】分和兩種情況進行討論，當時利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得取得最大值時的的值【詳解】當時，由可得，且等差數(shù)列單調(diào)遞增，不存在；當時，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，由可得，則，所以，則，，所以，當或時，取得最大值.故選：D3．D【分析】按照小明的方案，設(shè)第個格子放的米粒數(shù)為，其中，分析可知數(shù)列滿足：，，，求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法可求得結(jié)果.【詳解】按照小明的方案，設(shè)第個格子放的米粒數(shù)為，其中，則數(shù)列滿足：，，，所以，當時，，故數(shù)列是從第項開始成以為公比的等比數(shù)列，且，所以，，則，所以，數(shù)列的前項和為.故選：D.4．D【分析】由等差數(shù)列的通項公式與前項和公式求得，然后再由前項和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)計算．【詳解】是等差數(shù)列，∴，，，，，．故選：D．5．B【分析】結(jié)合等差數(shù)列通項公式即可解決.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，則故選：B.6．D【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)可得，解方程即可得數(shù)列中的項，進而可得首項與公比，求得.【詳解】由等比中項的性質(zhì)得，又，解得或，當時，或（舍），當時，（舍），所以，，此時，所以，故選：D.7．【分析】利用遞推公式可得到數(shù)列的周期為8，即可求解【詳解】由，，可得，，，，，，，，所以數(shù)列的周期為8，因為，所以，故答案為：8．【分析】構(gòu)造等比數(shù)列求得數(shù)列的通項公式，進而求得的值.【詳解】由，可得整理得，又，則數(shù)列是首項為公比為的等比數(shù)列，則，則故答案為：9．4【分析】利用等差數(shù)列的定義得到，用錯位相減法可得到，即可求出答案【詳解】因為數(shù)列是首項為4，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以，所以，則有兩式相減得：，因此，所以，要使能被5整除，只需能被5整除，因為，故，所以最小正整數(shù)的值為4故答案為：410．【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出，繼而算出，即可得到答案【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，所以又，所以，所以，，所以故答案為：11．【分析】利用計算即可，注意求時，的值.【詳解】由已知當時，，又時，，故的通項公式為，故答案為：.12．(1)，(2)4，3，2，1(3)的最大值19，例如：，；的最小值1，例如：，（的列舉不唯一）(4)證明見解析(5)數(shù)列，（答案不唯一）【分析】（1）利用新定義直接代入計算即可；（2）當且時，中1的個數(shù)為1，其余3個為0，結(jié)合的表達式即可得出結(jié)果；（3）當且時，中1的個數(shù)為2，其余8個為0．結(jié)合分析可得出結(jié)果；（4）設(shè)，中1的個數(shù)為，其余的為0．在中，取相鄰4項作為一組，共取組（取的項不重復(fù)），即可求解；（5）當，時，中1的個數(shù)為7，其余3個為0，結(jié)合條件寫出結(jié)果即可．【詳解】（1）因為數(shù)列，所以．（2）因為，故或1，，，當且時，中1的個數(shù)為1，其余3個為0當時，，則當時，則當時，則當時，則故的所有可能取值為：4，3，2，1．（3）當且時，中1的個數(shù)為2，其余8個為0則當或時，取到最大值19，例如：，在中，取相鄰2項，令第1項的值為1，第2項的值為－1；或令第1項的值為－1，第2項的值為1，此時取到最小值1，例如：，．（4）當且是4的倍數(shù)時設(shè)，中1的個數(shù)為，其余的為0在中，取相鄰4項作為一組，共取組（取的項不重復(fù)）令每組的第1項與第4項的值為1，第2項與第3項的值為－1；或令每組的