6．2平面向量的運(yùn)算6.2.1向量的加法運(yùn)算一、向量加法的定義及其運(yùn)算法則1．定義：求____________的運(yùn)算，叫做向量的加法．對(duì)于零向量與任一向量a，規(guī)定0＋a＝a＋0＝a.2．向量求和的法則向量加法的三角形法則要領(lǐng)：首尾相接，從始至終．前提已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A作法作AB＝a，BC結(jié)論向量AC叫做a與b的和，記作________，即a＋b＝AB+圖形向量加法的平行四邊形法則只適用于兩個(gè)向量不共線．前提已知兩個(gè)同一起點(diǎn)的向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O作法作OA＝a，OB＝b，以O(shè)A，結(jié)論以O(shè)為起點(diǎn)的向量OC就是向量a與b的和，即OC＝________圖形【微點(diǎn)撥】(1)在使用向量加法的三角形法則時(shí)，要注意“首尾相接”，即第一個(gè)向量的終點(diǎn)與第二個(gè)向量的起點(diǎn)重合，則以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，并以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即兩向量的和．(2)向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用前提是“共起點(diǎn)”，即兩個(gè)向量是從同一點(diǎn)出發(fā)的不共線向量．(3)當(dāng)首尾依次相接的向量構(gòu)成封閉的“向量鏈”時(shí)，各向量的和為0.如圖，在n(n≥3)邊形A1…An中，有A1A2(4)三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個(gè)法則是統(tǒng)一的．當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí)常選用三角形法則，當(dāng)兩個(gè)向量共起點(diǎn)時(shí)，常選用平行四邊形法則．【即時(shí)練習(xí)】判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)兩個(gè)向量的和可能是數(shù)量．()(2)兩個(gè)向量相加就是它們的模相加．()(3)MN+(4)向量加法的平行四邊形法則適合任意兩個(gè)向量．()二、向量加法的運(yùn)算律1．(加法交換律)a＋b＝____________；和實(shí)數(shù)的加法交換律完全相同，也可以從位移的角度來(lái)理解．2．(加法結(jié)合律)(a＋b)＋c＝____________．【微點(diǎn)撥】(1)當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，向量加法的交換律和結(jié)合律也成立．(2)多個(gè)向量的加法運(yùn)算可按照任意的次序與任意的組合進(jìn)行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．【即時(shí)練習(xí)】化簡(jiǎn)：AB+6.2.2向量的減法運(yùn)算一、相反向量定義如果兩個(gè)向量長(zhǎng)度，而方向，那么稱(chēng)這兩個(gè)向量是相反向量從模與方向兩個(gè)要素下定義．性質(zhì)對(duì)于相反向量有：a＋(－a)＝________若a，b互為相反向量，則a＝________，a＋b＝________零向量的相反向量仍是零向量推論－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；如果a與b互為相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0【微點(diǎn)撥】相反向量仍具備兩個(gè)要素：方向和長(zhǎng)度．互為相反向量的兩個(gè)向量一定是共線向量，任一向量與它的相反向量的和是零向量．【即時(shí)練習(xí)】1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若b是a的相反向量，則a與b一定不相等．()(2)若b是a的相反向量，則a∥b.()(3)向量AB的相反向量是BA，且BA＝?2．在平行四邊形ABCD中，向量AB的相反向量為_(kāi)_______.二、向量的減法從加法運(yùn)算中，逆向而來(lái)．定義a－b＝a＋(－b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的________作法在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA＝a，OB＝b，則向量a幾何意義如果把兩個(gè)向量OA＝a，OB＝b的起點(diǎn)放在一起，則a－b可以表示為從向量【微點(diǎn)撥】(1)向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算．利用相反向量的定義，－AB＝BA，就可以把減法化為加法．在用三角形法則作向量減法時(shí)，只要記住“連接兩向量終點(diǎn)，箭頭指向被減向量(2)以向量AB＝a，AD＝b為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對(duì)角線的向量為AC＝(3)在平行四邊形ABCD中，AB+AD【即時(shí)練習(xí)】1．在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，則AD?A．CBB．BCC．CDD．DC2．設(shè)a與b是兩個(gè)相等向量，則a－b＝________．6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算一、向量的數(shù)乘定義實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)區(qū)別于實(shí)數(shù)間的乘法．記法λa長(zhǎng)度|λa|＝|λ||a|方向λ＞0方向與a的方向________λ＜0λ的符號(hào)決定λa的方向．方向與a的方向________【微點(diǎn)撥】(1)向量數(shù)乘仍是一個(gè)向量．λa中的實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)．(2)不要忽略特殊情況：當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0；當(dāng)λ≠0時(shí)，若a＝0，也有λa＝0.(3)實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算．(4)向量的數(shù)乘的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或a的反方向擴(kuò)大或縮小．當(dāng)λ＞0時(shí)，沿著a的方向擴(kuò)大(λ＞1)或縮小(0<λ<1)λ倍；當(dāng)λ＜0時(shí)，沿著a的反方向擴(kuò)大(|λ|＞1)或縮小(|λ|<1)|λ|倍．【即時(shí)練習(xí)】判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)對(duì)于任意的向量a，總有0·a＝0.()(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，|λa|＝λa.()(3)若a≠0，λ≠0，則a與－λa的方向相反．()(4)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．()二、向量數(shù)乘的運(yùn)算律特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝________．向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算．對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________．【微點(diǎn)撥】(1)向量數(shù)乘運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算律很相似，只是向量數(shù)乘分配律由于因子的不同，可分為(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb.(2)向量數(shù)乘運(yùn)算律的理論依據(jù)是兩個(gè)向量共線的定義．【即時(shí)練習(xí)】3(2a－4b)＝()A．5a＋7bB．5a－7bC．6a＋12bD．6a－12b三、向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使________.a作為參照對(duì)象，應(yīng)為非零向量．【微點(diǎn)撥】(1)由a＝λb?a∥b中，若λ＝0，則a＝0，零向量與任一向量都平行；若λ＞0，則a與b同向；若λ＜0，則a與b反向．(2)由a∥b?a＝λb中，由λ的唯一性得b≠0.(3)該定理有兩方面的應(yīng)用，一是一個(gè)向量可以由另一個(gè)向量線性表示，則可以判定兩向量平行；二是若兩向量平行，則一個(gè)向量可以由另一非零向量線性表示，可以用來(lái)求參數(shù)λ，它是向量坐標(biāo)化的依據(jù)．【即時(shí)練習(xí)】1．已知a＝－23e，A．b＝12aB．b＝－12aC．b＝2a2．若|a|＝5，b與a的方向相反，且|b|＝7，則a＝________b.6．2.4第1課時(shí)向量數(shù)量積的概念一、向量的夾角1．定義：已知兩個(gè)________a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，，則________叫做向量a與b的夾角，夾角的取值范圍是________．求夾角，先共起點(diǎn)．2．特例：當(dāng)θ＝0時(shí)，向量a，b；當(dāng)θ＝π時(shí)，向量a，b；當(dāng)θ＝π2時(shí)，向量a，b________，記作________．向量共線?夾角θ＝0或θ＝π【微點(diǎn)撥】按照向量夾角的定義，只有兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是兩向量的夾角，如圖所示，∠BAC不是向量CA與向量AB的夾角，∠BAD才是向量CA與向量AB的夾角．【即時(shí)練習(xí)】若向量a與b的夾角為60°，則向量－a與－b的夾角是()A．60°B．120°C．30°D．150°二、向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量____________叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作________，即a·b＝|a||b|cosθ．等式兩邊都稱(chēng)為“積”，但右邊是實(shí)數(shù)的積．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_(kāi)_______．【微點(diǎn)撥】(1)兩向量的數(shù)量積是個(gè)數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值決定．(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱(chēng)為內(nèi)積，應(yīng)寫(xiě)成a·b，不能寫(xiě)成a×b(兩向量的外積)，它與代數(shù)中數(shù)a，b的乘積ab(或a·b)是不同的．(3)在實(shí)數(shù)中，若a≠0，且ab＝0，則b＝0；但是在數(shù)量積中，當(dāng)a≠0時(shí)，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因?yàn)槠渲衏osθ有可能為0，即任一與a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.(4)已知實(shí)數(shù)a，b，c(b≠0)，則ab＝bc?a＝c；但對(duì)于向量，該推理就是不正確的，即a·b＝b·cD?/a＝c.【即時(shí)練習(xí)】已知平面向量a，b的夾角為π3，且a＝4，|b|＝4，則A．4B．43C．8D．83三、投影向量1．如圖(1)，設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，AB＝a，CD＝b，我們考慮如下的變換：過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，我們稱(chēng)上述變換為向量a向向量b2．如圖(2)，我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OM＝a，ON＝b.過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1就是向量a在向量b上的________.投影向量的長(zhǎng)度就是向量OM1的長(zhǎng)度，3．如圖(2)，設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則OM1與e，a，θ之間的關(guān)系為OM【微點(diǎn)撥】(1)向量a在向量b上的投影向量是與向量b平行的向量．(2)如果向量a與向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性．【即時(shí)練習(xí)】已知|a|＝3，e為單位向量，它們的夾角為π3，則向量a在e四、向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝．a(chǎn)在b上的投影．(2)a⊥b?________．(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝________；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝________．特別地，a·a＝________或|a|＝________．(4)|a·b|____|a||b|.【微點(diǎn)撥】(1)a⊥b?a·b＝0，既可以用來(lái)證明兩向量垂直，也可以由垂直進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．(2)a·a＝a2＝|a|2與|a|＝a2＝a(3)用cosθ＝a·bab求兩向量的夾角，且?jiàn)A角的取值與設(shè)兩個(gè)非零向量a與b的夾角為θ，則當(dāng)θ＝0時(shí)，cosθ＝1，a·b＝|a||b|；當(dāng)θ為銳角時(shí)，cosθ>0，a·b>0；當(dāng)θ為直角時(shí)，cosθ＝0，a·b＝0；當(dāng)θ為鈍角時(shí)，cosθ<0，a·b<0；當(dāng)θ＝π時(shí)，cosθ＝－1，a·b＝－|a||b|.(4)|a·b|≤|a||b|可以用來(lái)通過(guò)構(gòu)造向量來(lái)證明不等式問(wèn)題或解決最值問(wèn)題．【即時(shí)練習(xí)】1．判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)a與b的數(shù)量積a·b是一個(gè)向量．()(2)若a·b＝0，則a＝0或b＝0.()(3)若a⊥b，則a·b＝0.()(4)向量a在b上的投影向量是一個(gè)模等于|acosθ|(θ是a與b的夾角)，方向與b相同或相反的一個(gè)向量．()2．若|a|＝1，|b|＝3，a·b＝32，則向量a與bA．π6B．C．π3D．6．2.4第2課時(shí)向量數(shù)量積的運(yùn)算向量的數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，則(1)a·b＝________(交換律)．(2)(λa)·b＝________＝________(結(jié)合律)．(3)(a＋b)·c＝(分配律)．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但對(duì)于向量a，b，c，(a·b)·c與a·(【微點(diǎn)撥】(1)向量的數(shù)量積不滿足消去律：若a，b，c均為非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b.(2)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律，但向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，這是由于(a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量，而a(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線．(3)常用結(jié)論：①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；③(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d.【即時(shí)練習(xí)】1．判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)若a·b＝a·c且a≠0，則b＝c.()(2)(a·b)c＝a(b·c)．()(3)(a·b)2＝a2·b2.()(4)a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.()2．已知a，b是互相垂直的單位向量，若c＝a－2b，則b·c＝()A．－2B．－1C．0D．26．2.1向量的加法運(yùn)算一、1．兩個(gè)向量和2．a(chǎn)＋bACa＋b[即時(shí)練習(xí)]答案：(1)×(2)×(3)√(4)×二、1．b＋a2.a2.a＋(b＋c)[即時(shí)練習(xí)]解析：AB+答案：AM6．2.2向量的減法運(yùn)算一、相等相反0－b0[即時(shí)練習(xí)]1．答案：(1)×(2)√(3)√2．答案：BA二、相反向量BA終點(diǎn)終點(diǎn)[即時(shí)練習(xí)]1．解析：AD?答案：C2．解析：因?yàn)閍與b是兩個(gè)相等向量，所以a－b＝0.答案：06．2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算一、向量相同相反[即時(shí)練習(xí)]答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、(1)(λμ)a(2)λa＋μa(3)λa＋λbλa－λbλμ1a±λμ2b[即時(shí)練習(xí)]解析：3(2a－