第02講一定是直角三角形嗎知識(shí)點(diǎn)1：勾股數(shù)知識(shí)點(diǎn)2：勾股定理的逆定理像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)。勾股數(shù)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①滿(mǎn)足勾股定理②三個(gè)正整數(shù)【題型1勾股樹(shù)(數(shù))問(wèn)題】【典例1】（2425八年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．6，9，12 B．?9，40【答案】D【分析】此題考查了勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的定義判斷即可求解，掌握勾股數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、∵62∴6，B、∵?9不是正整數(shù)，∴?9，C、∵92∴9，D、∵72+24∴7，故選：D．【變式1】（2425八年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）在下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10C．35，45，1 D．32，【答案】B【分析】本題主要考查勾股數(shù)的定義，根據(jù)勾股數(shù)的定義，滿(mǎn)足三個(gè)正整數(shù)且兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方，逐一判斷即可．【詳解】解：A．0.3，0.4，0.5：非正整數(shù)，不符合勾股數(shù)條件，排除．B．6，8，10：均為正整數(shù)，驗(yàn)證得62C．35，4D．32，42，52綜上，正確答案為B．故選：B．【變式2】（2425八年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）下列各組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是（

）A．3，4，6 B．9，12，15 C．0.6,0.8，1 D．13，14【答案】B【分析】本題考查的是勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)是滿(mǎn)足勾股定理且均為正整數(shù)的三個(gè)數(shù)，需逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)是否同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)條件．【詳解】A、32B、92C、0.6,0.8，1，含小數(shù)，非正整數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、13，14，故選：B．【變式3】（2324八年級(jí)上·甘肅蘭州·期末）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)在著名的數(shù)著作《周髀算經(jīng)》中，下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．5，10，13 D．3，4，5【答案】D【分析】此題主要考查了勾股數(shù)．欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【詳解】解：A、42B、1.5和2.5不是整數(shù)，故不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、52D、32故選：D．注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.【題型2判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】【典例2】（2324八年級(jí)下·吉林松原·期中）以下列各組數(shù)為邊，能組成直角三角形的一組是（

）A．3，4，7 B．5，12，13 C．7，14，25 D．8，15，15【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，必須滿(mǎn)足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．【詳解】解：A、3+4=7，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；B、52C、7+14<25，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；D、152故選：B．【變式1】（2425八年級(jí)上·寧夏銀川·期末）下列各組數(shù)中能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（

）A．3，4，5 B．2，6，7 C．1，3，4 D．3，6，8【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)選項(xiàng)中的各個(gè)數(shù)進(jìn)行計(jì)算判斷，即可解題．【詳解】解：A、∵3∴3，4，5能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，符合題意；B、∵2∴2，6，7不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，不符合題意；C、∵1∴1，3，4不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，不符合題意；D、∵3∴3，6，8不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，不符合題意；故選：A．【變式2】（2425八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）下列四組線(xiàn)段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A．1cm，3cm，4cm B．2cmC．3cm，2cm，5cm D．5cm【答案】D【分析】本題主要考查勾股定理的逆定理，三角形三邊關(guān)系，如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足a2由勾股定理的逆定理，逐項(xiàng)驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方即可解答．【詳解】解：A．1+3=4，故無(wú)法構(gòu)成三角形，不符合題意；B．22C．32D．52故選：D．【變式3】（2425八年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期末）以下列各組數(shù)值作為線(xiàn)段長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．3,4,5 B．5，12，13【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，已知三條線(xiàn)段的長(zhǎng)，判斷是否能構(gòu)成直角三角形的三邊，判斷的方法是：判斷兩個(gè)較小的數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方即可．分別計(jì)算每一組中較小兩數(shù)的平方和，看是否等于最大數(shù)的平方，若等于就能構(gòu)成直角三角形，否則就不能構(gòu)成直角三角形．【詳解】解：A、因?yàn)?2B、因?yàn)?2C、因?yàn)?2D、因?yàn)?2故選：B．【題型3在網(wǎng)格中判斷直角三角形】【典例3】（2324八年級(jí)下·廣東廣州·期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．(1)填空：AB=________，AC=________，BC=________；(2)∠ABC是直角嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)25，5，5(2)∠ABC=90°，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查的是勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟記定理的含義是解本題的關(guān)鍵；（1）直接利用勾股定理計(jì)算即可；（2）利用勾股定理的逆定理證明∠ABC=90°即可．【詳解】（1）解：∵每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，∴AB=22+42（2）解：∵AB2=25∴AB∴∠ABC=90°．【變式1】（2324八年級(jí)下·河南洛陽(yáng)·期末）如圖正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫為格點(diǎn)，利用正方形網(wǎng)格可以畫(huà)出長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線(xiàn)段，如圖1，AB=3(1)在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)△EFM，使得EF=FM=25，EM=2(2)猜想△EFM是什么形狀的三角形？并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析【分析】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．（1）直接利用網(wǎng)格結(jié)合勾股定理得出答案；（2）直接利用勾股定理逆定理進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：如圖所示，△EFM即為所求作三角形．(答案不唯一)（2）△EFM為等腰直角三角形理由如下：∵EE∴E即△EFM為直角三角形．又∵EF=FM=2∴△EFM為等腰直角三角形．【變式2】（2324八年級(jí)下·福建福州·期末）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且點(diǎn)A，B的位置如圖所示．若AC=25，BC=5，請(qǐng)判斷并說(shuō)明△ABC的形狀，再畫(huà)出△ABC【答案】△ABC是直角三角形，見(jiàn)解析【分析】本題考查了勾股定理以及逆定理等知識(shí)，根據(jù)勾股定理求得AB，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理證明，△ABC是直角三角形，其中∠BAC=90°，根據(jù)網(wǎng)格畫(huà)出△ABC即可求解．【詳解】解：△ABC是直角三角形．

理由如下：在網(wǎng)格中，根據(jù)勾股定理得AB2∵AC=25，BC=5∴AC2=20，∵5+20=25，即AB2∴根據(jù)勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，其中∠BAC=90°．∴△ABC是滿(mǎn)足題意的三角形．【變式3】（2324八年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期中）如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．(1)求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；(2)求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)5(2)17.5【分析】本題考查的是勾股定理，以及勾股定理的逆定理；（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)與勾股定理分別求得AB,AD,CD,BC，再求和，即可求解；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理，可以證明△ABD為直角三角形；△BCD為直角三角形；所以四邊形ABCD的面積等于△ABD加上△BCD的面積，即可求解；【詳解】（1）根據(jù)勾股定理得AB=12+CD=12+故四邊形ABCD的周長(zhǎng)為52（2）連接BD，∵BC=25，CD=5，∴BC∴∠BCD=90°，同理可證∠BDA=90°，四邊形ABCD的面積為12【題型4利用勾股定理的逆定理求解】【典例4】（2324八年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=6，AC=4，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠BDC=90°，CD=2，(1)求BC的長(zhǎng)；(2)求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)2(2)4【分析】本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是求出BC的長(zhǎng)．（1）根據(jù)勾股定理和∠BDC=90°，CD=2，BD=AC，可以求出（2）根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷△ABC的形狀，從而可以求出陰影部分的面積．【詳解】（1）解：∵∠BDC=90°，CD=2，BD=AC，∴BC=（2）解：∵AB=6，AC=4，BC=25，且4即AC∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴S【變式1】（2425八年級(jí)上·江蘇南京·期中）在四邊形ABCD中，AB=12m，AD=9m，AD⊥AB，DC=8m，BC=17【答案】114【分析】本題考查勾股定理和逆定理，連接BD，先根據(jù)勾股定理求出BD長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷∠CDB=90°，再根據(jù)S【詳解】解：連接BD，∵∠A=90°，AB=12cm，∴BD=A∵CD=8cm，BD=15cm∴CD2+BD∴CD2∴∠CDB=90°∴S四邊形即四邊形ABCD的面積為114cm【變式2】（2324八年級(jí)下·云南昭通·期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D,BD=9,AD=12,CD=16．

(1)求AC的長(zhǎng)；(2)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)20(2)△ABC是直角三角形，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正確理解定理是關(guān)鍵．（1）在直角△ADC中利用勾股定理即可求解．（2）利用勾股定理的逆定理即可判斷．【詳解】（1）解：∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形，∠ADC=90°．∴AC=A（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵AD⊥BC，∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°．∴AB=A∴BC=BD+CD=9+16=25．∵15∴△ABC是直角三角形，∠BAC是直角．【變式3】（2324八年級(jí)下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13，求四邊形ABCD的面積．

【答案】84【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出AC=12，再利用勾股定理的逆定理推出△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°，據(jù)此根據(jù)S四邊形【詳解】解：∵∠ACB=90°，AB=15，BC=9，∴AC=A∵AD=5，DC=13，且52∴AD∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°，∴S四邊形1．（2324八年級(jí)上·廣東茂名·期末）若一個(gè)三角形的三邊滿(mǎn)足a2=bA．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判定求解，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一個(gè)三角形的三邊滿(mǎn)足a2∴這個(gè)三角形是直角三角形，故選：B．2．（2324八年級(jí)下·吉林延邊·期中）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，則該三角形的面積為（

）A．12 B．15 C．6 D．7.5【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理的逆應(yīng)用和三角形面積的計(jì)算，解決此題的關(guān)鍵是合理的利用勾股定理的逆定理，先根據(jù)勾股定理的逆定理證明三角形是直角三角形，再求出面積即可；【詳解】解：∵一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，又32∴這個(gè)三角形是直角三角形，且直角邊分別為3，4，∴該三角形的面積為12故選：C．3．（2425八年級(jí)上·山西太原·階段練習(xí)）如圖所示，在4×4的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．BC2=5 B．AB=5 C．∠ACB=90°【答案】D【分析】本題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．由勾股定理求出BC2=22+12=5【詳解】解：由勾股定理得：BC2=22故選項(xiàng)A、B不符合題意，選項(xiàng)D符合題意，∵BC2+A∴BC∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故選項(xiàng)C不符合題意；故選：D4．（2324八年級(jí)下·山西呂梁·期末）如圖，老李家有一塊草坪，家里想整理它，需要知道其面積，老李測(cè)量了草坪各邊得知：AB=3米，BC=4米，AD=12米，CD=13米，且AB⊥CB．則這塊草坪的面積是（

）A．36m2 B．26m2 C．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解題的關(guān)鍵是在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．連接AC，根據(jù)勾股定理，求得AC，再根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷△ACD是直角三角形．這塊草坪的面積等于兩個(gè)直角三角形的面積之和．【詳解】解：連接AC，如圖，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵AB=3米，BC=4米，∴AC=5米，∵CD=13米，DA=12米，∴AC∴△ACD為直角三角形，∴這塊草坪的面積=S故選：A．5．（2324八年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）已知三角形三邊長(zhǎng)分別是8，15和17，則三角形的面積是．【答案】60【分析】本題考查勾股定理的逆定理，先根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用直角三角形面積公式求解．【詳解】解：∵三角形的三邊長(zhǎng)分別是8、15、17，82∴這個(gè)三角形為直角三角形，∴這個(gè)三角形的面積是12故答案為：60．6．（2324八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)之比為8∶15∶17，則它為三角形．【答案】直角【分析】此題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．解題關(guān)鍵在于判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．【詳解】解：∵一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)之比為8∶15∶17，設(shè)三邊分別為8x，15x，17x，而8x2∴三角形構(gòu)成直角三角形，故答案為：直角7．（2223八年級(jí)上·寧夏銀川·階段練習(xí)）如圖，所有的四邊形都是正方形．所有的三角形都是直角三角形，其中SA=10，SB=8，SC=9【答案】31【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理的幾何意義解答即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知：S=SF=10+8+9+4=31；即S=31；故答案為：31．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的幾何意義，關(guān)鍵是掌握兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．8．（2324八年級(jí)下·貴州遵義·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BC=4，AC=23，AB=2(1)求證：△ABC是直角三角形；(2)求AD的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，二次根式的化簡(jiǎn)，三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．（1）根據(jù)勾股定理的逆定理求解即可；（2）利用三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：在△ABC中