初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)講義同學(xué)們，我們?cè)谏钪谐３?huì)遇到這樣的問(wèn)題：如何測(cè)量一座山的高度？如何計(jì)算河流的寬度？這些看似復(fù)雜的問(wèn)題，往往可以通過(guò)我們今天要學(xué)習(xí)的知識(shí)——銳角三角函數(shù)，來(lái)找到簡(jiǎn)潔的解決途徑。三角函數(shù)是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，它將直角三角形中的邊角關(guān)系數(shù)量化，為我們解決與三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題提供了強(qiáng)大的工具。本節(jié)課，我們將一起探索銳角三角函數(shù)的世界，理解其概念，掌握其基本運(yùn)算，并初步學(xué)會(huì)運(yùn)用它們解決問(wèn)題。一、直角三角形中的邊角關(guān)系初探在我們開(kāi)始學(xué)習(xí)三角函數(shù)之前，讓我們先回顧一下直角三角形的基本構(gòu)成。一個(gè)直角三角形，有一個(gè)角是直角（90°），另外兩個(gè)角都是銳角，且這兩個(gè)銳角的和為90°，我們稱它們互為余角。組成直角的兩條邊稱為直角邊，直角所對(duì)的邊則是三角形中最長(zhǎng)的邊，稱為斜邊。在直角三角形中，邊與角之間存在著密切的聯(lián)系。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)確定度數(shù)的銳角而言，無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何變化，只要這個(gè)銳角的度數(shù)不變，那么這個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值、對(duì)邊與鄰邊的比值都是固定不變的。這就是我們引入三角函數(shù)的基本依據(jù)——它們是角度的函數(shù)，只與角度的大小有關(guān)，而與三角形的具體大小無(wú)關(guān)。二、銳角三角函數(shù)的定義基于上述觀察，我們來(lái)正式定義直角三角形中銳角的三角函數(shù)。在Rt△ABC中，∠C為直角（∠C=90°），我們把∠A的對(duì)邊記為a，∠B的對(duì)邊記為b，斜邊記為c。對(duì)于銳角∠A，我們定義：1.∠A的正弦（sine），記作sinA：sinA=∠A的對(duì)邊/斜邊=a/c2.∠A的余弦（cosine），記作cosA：cosA=∠A的鄰邊/斜邊=b/c3.∠A的正切（tangent），記作tanA：tanA=∠A的對(duì)邊/∠A的鄰邊=a/b重要說(shuō)明：*這里的∠A是直角三角形中的一個(gè)銳角。*sinA、cosA、tanA都是一個(gè)比值，沒(méi)有單位。*這個(gè)比值只與銳角A的大小有關(guān)，與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)。*在書寫時(shí)，三角函數(shù)符號(hào)（sin、cos、tan）后面緊跟的是角的符號(hào)（如A），中間不需要空格。為了幫助記憶，可以記住這個(gè)簡(jiǎn)單的口訣：“正弦對(duì)邊比斜邊，余弦鄰邊比斜邊，正切對(duì)邊比鄰邊”?；蛘吒?jiǎn)潔地：“正對(duì)對(duì)，余對(duì)鄰，切對(duì)鄰”（正弦是對(duì)邊比斜邊，余弦是鄰邊比斜邊，正切是對(duì)邊比鄰邊）。三、特殊銳角的三角函數(shù)值在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到30°、45°、60°這幾個(gè)特殊角度的三角函數(shù)值。這些值可以通過(guò)含這些特殊角的直角三角形的性質(zhì)推導(dǎo)得來(lái)，要求同學(xué)們務(wù)必熟記。1.30°角的三角函數(shù)值：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角是30°，那么它所對(duì)的直角邊是斜邊的一半。設(shè)30°角所對(duì)的直角邊為1，則斜邊為2，另一條直角邊為√3（根據(jù)勾股定理）。*sin30°=對(duì)邊/斜邊=1/2*cos30°=鄰邊/斜邊=√3/2*tan30°=對(duì)邊/鄰邊=1/√3=√3/3（通?；?jiǎn)為分母不含根號(hào)的形式）2.45°角的三角函數(shù)值：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角是45°，那么這個(gè)三角形是等腰直角三角形，兩條直角邊相等。設(shè)兩條直角邊均為1，則斜邊為√2。*sin45°=對(duì)邊/斜邊=1/√2=√2/2*cos45°=鄰邊/斜邊=1/√2=√2/2*tan45°=對(duì)邊/鄰邊=1/1=13.60°角的三角函數(shù)值：60°角與30°角互為余角，在同一個(gè)直角三角形中，60°角所對(duì)的直角邊是30°角所對(duì)直角邊的√3倍。我們?nèi)栽O(shè)30°角所對(duì)直角邊為1，斜邊為2，則60°角所對(duì)直角邊為√3。*sin60°=對(duì)邊/斜邊=√3/2（注意此時(shí)60°角的對(duì)邊是√3）*cos60°=鄰邊/斜邊=1/2（此時(shí)60°角的鄰邊是1）*tan60°=對(duì)邊/鄰邊=√3/1=√3為了方便記憶，我們可以將這些特殊值整理成表格：銳角AsinAcosAtanA-------------------------30°1/2√3/2√3/345°√2/2√2/2160°√3/21/2√3記憶小竅門：*sin30°=cos60°=1/2；sin60°=cos30°=√3/2；sin45°=cos45°=√2/2。正弦和余弦互為余函數(shù)，即sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)。*tan30°和tan60°的值互為倒數(shù)。tan45°=1。四、解直角三角形及其簡(jiǎn)單應(yīng)用解直角三角形指的是：在直角三角形中，除直角外，已知一些邊和角，求出其余未知邊和角的過(guò)程。在Rt△ABC中，∠C=90°，三邊分別為a、b、c（a對(duì)∠A，b對(duì)∠B，c為斜邊）。我們有以下關(guān)系：1.兩銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°2.三邊關(guān)系（勾股定理）：a2+b2=c23.邊角關(guān)系（三角函數(shù)）：sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,以及sinB=b/c,cosB=a/c,tanB=b/a解直角三角形的基本類型與解法：1.已知一條直角邊和一個(gè)銳角（如已知a和∠A）：*求∠B：∠B=90°-∠A*求c：利用sinA=a/c=>c=a/sinA或利用cosB=a/c=>c=a/cosB*求b：利用tanA=a/b=>b=a/tanA或利用sinB=b/c=>b=c*sinB或勾股定理2.已知斜邊和一個(gè)銳角（如已知c和∠A）：*求∠B：∠B=90°-∠A*求a：利用sinA=a/c=>a=c*sinA*求b：利用cosA=b/c=>b=c*cosA或利用sinB=b/c=>b=c*sinB3.已知兩條直角邊（如已知a和b）：*求c：利用勾股定理c=√(a2+b2)*求∠A：利用tanA=a/b，通過(guò)反正切求出∠A（初中階段可通過(guò)特殊角的三角函數(shù)值直接得出，若不是特殊角，則需用計(jì)算器）*求∠B：∠B=90°-∠A4.已知一條直角邊和斜邊（如已知a和c）：*求b：利用勾股定理b=√(c2-a2)*求∠A：利用sinA=a/c，通過(guò)反正弦求出∠A（初中階段可通過(guò)特殊角的三角函數(shù)值直接得出，若不是特殊角，則需用計(jì)算器）*求∠B：∠B=90°-∠A應(yīng)用舉例（方向角、仰角、俯角等問(wèn)題思路）：在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，即構(gòu)造出直角三角形，明確哪個(gè)角是已知角，哪些邊是已知邊或待求邊，然后選擇合適的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解。例如：*測(cè)量高度：通常會(huì)涉及仰角或俯角。視線與水平線的夾角，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角。*測(cè)量距離：通常會(huì)涉及方向角。如“北偏東30°”、“南偏西60°”等，表示以正北或正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，偏向某個(gè)方向的角度。例題（示意）：在Rt△ABC中，∠C=90°，已知∠A=30°，a=5，求∠B、b、c。解：∠B=90°-∠A=90°-30°=60°因?yàn)閟inA=a/c，所以c=a/sinA=5/sin30°=5/(1/2)=10因?yàn)閠anA=a/b，所以b=a/tanA=5/tan30°=5/(√3/3)=5√3（或利用勾股定理：b=√(c2-a2)=√(102-52)=√75=5√3）五、學(xué)習(xí)小結(jié)與注意事項(xiàng)1.深刻理解定義：三角函數(shù)的定義是整個(gè)章節(jié)的基礎(chǔ)，務(wù)必理解“對(duì)邊、鄰邊、斜邊”是相對(duì)于哪個(gè)銳角而言的，以及每個(gè)三角函數(shù)所對(duì)應(yīng)的邊的比值關(guān)系。2.熟記特殊角值：30°、45°、60°的三角函數(shù)值是解決問(wèn)題的“利器”，必須通過(guò)理解其推導(dǎo)過(guò)程并結(jié)合練習(xí)加以熟記。3.靈活選擇公式：在解直角三角形時(shí)，要根據(jù)已知條件和所求量，靈活選擇最合適的三角函數(shù)關(guān)系式，盡量使用已知數(shù)據(jù)，避免中間誤差。4.注意運(yùn)算準(zhǔn)確：涉及到根號(hào)運(yùn)算和除法運(yùn)算時(shí)，要細(xì)心計(jì)算，確保結(jié)果的準(zhǔn)確性。特殊角的三角函數(shù)值代入要準(zhǔn)確無(wú)誤。5.聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用：學(xué)習(xí)三角函數(shù)的最終目的是為了應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。要學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（構(gòu)