CONTENTS題型一01題型二0203題型三04跟蹤訓(xùn)練·鞏固提升01題型一水平面內(nèi)圓周運動的臨界極值問題物體做圓周運動時，若物體的速度、角速度發(fā)生變化，會引起某

些力（如拉力、支持力、摩擦力）發(fā)生變化，進而出現(xiàn)某些物理量或

運動狀態(tài)的突變，即出現(xiàn)臨界狀態(tài)。1.常見的臨界情況（1）水平轉(zhuǎn)盤上的物體恰好不發(fā)生相對滑動的臨界條件是物體與

盤間恰好達(dá)到最大靜摩擦力。（2）物體間恰好分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。（3）繩的拉力出現(xiàn)臨界條件的情形有：繩恰好拉直（意味著繩上

無彈力）；繩上拉力恰好為最大承受力等。2.分析方法分析圓周運動臨界問題的方法是讓角速度或線速度從小逐漸增大，

分析各量的變化，找出臨界狀態(tài)。確定了物體運動的臨界狀態(tài)和臨

界條件后，選擇研究對象進行受力分析，利用牛頓第二定律列方程

求解?！纠?】

（多選）如圖所示，兩個質(zhì)量相同的小物塊A、B（可視為

質(zhì)點），用一根長為3l的細(xì)線（不計質(zhì)量）相連，放在絕緣的水平圓

形轉(zhuǎn)臺的一條直徑上，A、B與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)都是μ。轉(zhuǎn)臺可繞

過圓心的豎直軸OO'以角速度ω逆時針轉(zhuǎn)動（俯視），且A、B到轉(zhuǎn)軸

的距離分別為l和2l。初始時，A、B間的連接細(xì)線恰好拉直但沒有張

力，轉(zhuǎn)臺的角速度ω極為緩慢地增大，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦

力，重力加速度為g，則（

）A.當(dāng)ω＜時，連接細(xì)線不會產(chǎn)生張力B.當(dāng)＜ω＜時，隨著ω的緩慢增大，物塊A所受的靜摩擦力逐

漸減小C.若A、B帶有等量的正電荷，在空間中加上豎直向上的勻強磁場，

當(dāng)ω＝時，物塊A、B一定會和轉(zhuǎn)臺保持相對靜止D.若A、B帶有等量的正電荷，在空間中加上豎直向上的勻強磁場，

當(dāng)ω＝時，物塊A、B已經(jīng)與轉(zhuǎn)臺發(fā)生相對滑動

1.（多選）摩擦傳動是傳動裝置中的一個重要模型，如圖所示的甲、乙兩個水平放置的輪盤靠摩擦力傳動，其中O、O'分別為兩輪盤的軸心，已知兩個輪盤的半徑之比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作時兩輪盤不打滑。今在兩輪盤上分別放置同種材料制成的滑塊A、B，兩滑塊與輪盤間的動摩擦因數(shù)相同，兩滑塊與軸心O、O'的間距分別為RA、RB，且RA＝2RB。若乙輪盤由靜止開始緩慢地轉(zhuǎn)動起來，且轉(zhuǎn)速逐漸增大，則下列說法正確的是（

）A.滑塊A和B在與輪盤相對靜止時，角速度之比為ωA∶ωB＝1∶3B.滑塊A和B在與輪盤相對靜止時，向心加速度的大小之比為aA∶aB＝

2∶9C.轉(zhuǎn)速增大后滑塊B先發(fā)生滑動D.轉(zhuǎn)速增大后兩滑塊一起發(fā)生滑動

2.（多選）（2024·湖北六縣質(zhì)檢）如圖所示，AB為豎直放置的光滑圓筒，一根長細(xì)繩穿過圓筒后一端連著質(zhì)量為m1＝5kg的小球（可視為質(zhì)點），另一端和細(xì)繩BC（懸點為B）在結(jié)點C處共同連著一質(zhì)量為m2的小球（可視為質(zhì)點），長細(xì)繩能承受的最大拉力為60N，細(xì)繩BC能承受的最大拉力為27.6N。圓筒頂端A到C點的距離l1＝1.5m，細(xì)繩BC剛好被水平拉直時長l2＝0.9m，轉(zhuǎn)動圓筒并逐漸緩慢增大角速度，在BC繩被拉直之前，用手拿著m1，保證其位置不變，在BC繩被拉直之后，放開m1，重力加速度g取10m/s2，下列說法正確的是（

）A.在BC繩被拉直之前，AC繩中拉力逐漸增大B.當(dāng)角速度ω＝rad/s時，BC繩剛好被拉直C.當(dāng)角速度ω＝3rad/s時，AC繩剛好被拉斷D.當(dāng)角速度ω＝4rad/s時，BC繩剛好被拉斷

02題型二豎直面內(nèi)圓周運動的臨界極值問題1.兩類模型對比輕繩模型（最高點無支撐）輕桿模型（最高點有支撐）實例球與繩連接、水流星、沿內(nèi)軌

道運動的“過山車”等球與桿連接、球在光滑管道中運動

等圖示

輕繩模型（最高點無支撐）輕桿模型（最高點有支撐）受力示意圖

F彈向下或等于零

F彈向下、等于零或向上力學(xué)方程mg＋F彈＝mmg±F彈＝m輕繩模型（最高點無支撐）輕桿模型（最高點有支撐）臨界特征F彈＝0mg＝m即vmin＝v＝0即F向＝0F彈＝mg輕繩模型（最高點無支撐）輕桿模型（最高點有支撐）討論分析（1）最高點，若

v≥，F(xiàn)彈＋mg

＝m，繩或軌道對

球產(chǎn)生彈力F彈；（2）若v＜，

則不能到達(dá)最高

點，即到達(dá)最高點

前小球已經(jīng)脫離了

圓軌道（1）當(dāng)v＝0時，F(xiàn)彈＝mg，F(xiàn)彈背

離圓心；（2）當(dāng)0＜v＜時，mg－F彈＝

m，F(xiàn)彈背離圓心并隨v的增大而

減小；（3）當(dāng)v＝時，F(xiàn)彈＝0；（4）當(dāng)v＞時，mg＋F彈＝

m，F(xiàn)彈指向圓心并隨v的增大而

增大2.解題技巧（1）物體通過圓周運動最低點、最高點時，利用合力提供向心力

列牛頓第二定律方程；（2）物體從某一位置到另一位置的過程中，用動能定理找出兩處

速度關(guān)系；（3）注意：求對軌道的壓力時，轉(zhuǎn)換研究對象，先求物體所受支

持力，再根據(jù)牛頓第三定律求出壓力?！纠?】如圖甲所示，一質(zhì)量m＝4kg的小球（可視為質(zhì)點）以v0＝4

m/s的速度從A點沖上豎直光滑半圓軌道。當(dāng)半圓軌道的半徑R發(fā)生改

變時，小球?qū)點的壓力與半徑R的關(guān)系圖像如圖乙所示，g取10

m/s2，下列說法正確的是（

）A.a＝2.5B.b＝40C.若小球能通過軌道上的C點，則

其落地點距A點的最大水平距離為0.80mD.當(dāng)小球恰能通過軌道上的C點時，半圓軌道的半徑R＝64cm

1.（多選）一半徑為r的小球緊貼豎直放置的圓形管道內(nèi)壁做圓周運

動，如圖甲所示。小球運動到最高點時管壁對小球的作用力大小為

FN，小球的速度大小為v，其FN－v2圖像如圖乙所示。已知重力加

速度為g，規(guī)定豎直向下為正方向，不計一切阻力。則下列說法正

確的是（

）A.小球的質(zhì)量為B.圓形管道內(nèi)側(cè)壁半徑為－rC.當(dāng)v2＝d時，小球受到外側(cè)壁豎直向上的作用力，大小為－bD.小球在最低點的最小速度為2

2.（2024·廣東汕頭一模）如圖甲所示，被稱為“魔力陀螺”玩具的

陀螺能在圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)不脫落，其原理可等效為如圖乙所示的模

型：半徑為R的磁性圓軌道豎直固定，質(zhì)量為m的鐵球（視為質(zhì)

點）沿軌道外側(cè)運動，A、B分別為軌道的最高點和最低點，軌道對

鐵球的磁性引力始終指向圓心且大小不變，不計摩擦和空氣阻力，

重力加速度為g，則（

）A.鐵球繞軌道可能做勻速圓周運動B.由于磁力的作用，鐵球繞軌道運動過程中機械能不守恒C.鐵球在A點的速度必須大于D.軌道對鐵球的磁性引力至少為5mg，才能使鐵球不脫軌

03題型三斜面上圓周運動的臨界極值問題物體在斜面上做圓周運動時，設(shè)斜面的傾角為θ，重力在垂直斜

面方向的分力與物體受到的支持力大小相等，解決此類問題時，可以

按以下操作，把問題簡化。物體在轉(zhuǎn)動過程中，最容易滑動的位置是最低點，恰好滑動時：

μmgcosθ－mgsinθ＝mω2R。【例3】

（多選）如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固

定對稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸2.5m處有一小物體（可

視為質(zhì)點）與圓盤始終保持相對靜止，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦

力，盤面與水平面的夾角為30°，g取10m/s2，則以下說法中正確的是

（

）A.小物體隨圓盤以不同的角速度ω做勻速圓周運動時，ω越大時，小

物體在最高點處受到的摩擦力一定越大B.小物體受到的摩擦力可能背離圓心C.若小物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為，則ω的最大值是1.0rad/sD.若小物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為，則ω的最大值是rad/s解析：小物體在最高點時，可能受到重力、支持力與摩擦力三個力的

作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上（即背離圓心），也可能沿斜面

向下（即指向圓心），摩擦力的方向沿斜面向上時，ω越大時，小物

體在最高點處受到的摩擦力越小，故A錯誤，B正確；當(dāng)小物體轉(zhuǎn)到

圓盤的最低點恰好不滑動時，圓盤的角速度最大，此時小物體受豎直

向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圓心的摩擦力，

則支持力FN＝mgcos30°，摩擦力Ff＝μFN＝μmgcos30°，根據(jù)合力提

供向心力，有μmgcos30°－mgsin30°＝mω2R，解得ω＝1.0rad/s，故C

正確，D錯誤。

如圖所示，一傾角為θ＝30°的斜劈靜置于粗糙水平面上，斜劈上表

面光滑，一輕繩的一端固定在斜面上的O點，另一端系一小球。在圖

示位置垂直于繩給小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圓周運

動。已知O點到小球球心的距離為l，重力加速度為g，整個過程中斜

劈靜止，下列說法正確的是（

）A.小球在頂端時，速度大小為B.小球在底端時，速度大小為C.小球運動過程中，地面對斜劈的摩擦力大小不變D.小球運動過程中，地面對斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和

小球在斜面上受重力、支持力和繩的拉力作用做變速圓周運動、其所

受重力與斜面的支持力大小和方向均保持不變，繩的拉力大小和方向

均不斷變化，根據(jù)牛頓第三定律，以斜劈為研究對象，斜劈在小球恒

定的壓力、繩沿斜面方向不斷變化的拉力、地面的支持力、摩擦力和

自身的重力作用下保持平衡，繩的拉力沿斜面方向不斷變化，故其在

水平和豎直方向上的分量也在不斷變化，根據(jù)斜劈的平衡條件可知，

它受到的水平方向上的摩擦力大小是變化的，地面對斜劈支持力的大

小不一定等于小球和斜劈重力之和，選項C、D錯誤。04跟蹤訓(xùn)練·鞏固提升1.（2024·上海統(tǒng)考一模）如圖所示，用光電門傳感器和力傳感器研

究小球經(jīng)過拱橋最高點時對橋面壓力FN的大小與小球速度的關(guān)系。

若光電門測得小球的擋光時間t，多次實驗，則t越短（

）A.FN越小，且大于小球重力B.FN越大，且大于小球重力C.FN越小，且小于小球重力D.FN越大，且小于小球重力12345678910

123456789102.（多選）如圖所示，三角形為一光滑錐體的正視圖，母線與豎直方

向的夾角為θ＝37°。一根長為l＝1m的細(xì)線一端系在錐體頂端，另

一端系著一可視為質(zhì)點的小球，小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速

圓周運動，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，不計空氣阻力，

則（

）A.小球受重力、支持力、拉力和向心力B.小球可能只受拉力和重力C.當(dāng)ω＝rad/s時，小球?qū)﹀F體的壓力剛好為零D.當(dāng)ω＝2rad/s時，小球受重力、支持力和拉力作用12345678910

123456789103.（2024·重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)模擬）如圖所示，在傾角為α＝30°的

光滑斜面上有一長為L＝0.8m的輕桿，桿一端固定在O點，可繞O點

自由轉(zhuǎn)動，另一端系一質(zhì)量為m＝0.05kg的小球（可視為質(zhì)點），

小球在斜面上做圓周運動，g取10m/s2。要使小球能到達(dá)最高點A，

則小球在最低點B的最小速度是（

）A.4m/sB.2m/sC.2m/sD.2m/s12345678910

123456789104.（2024·四川綿陽診斷）如圖所示，輕桿長3L，在桿兩端分別固定

質(zhì)量均為m的球A和B（均可視為質(zhì)點），光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距

球A為L處的O點，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)

動，球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力。忽略空氣阻力，

重力加速度為g，則球B在最高點時（

）A.球B的速度為零B.球A的速度大小為C.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mgD.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg12345678910

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5.一圓盤可以繞其豎直軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，圓盤半徑為R，甲、乙兩物體質(zhì)量分別為M和m（M＞m），它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為壓力的μ倍，兩物體用一根長為L（L＜R）的輕繩連在一起，如圖所示。若將甲物體放在轉(zhuǎn)軸的位置，甲、乙之間的輕繩剛好沿半

徑方向被拉直，讓圓盤從角速度為0開始轉(zhuǎn)動，角速度逐漸增大，

兩物體與圓盤不發(fā)生相對滑動，（兩物體均可看作質(zhì)點，重力加速

度為g）則下列說法正確的是（

）12345678910A.隨著角速度的增大，物體乙受到的摩擦力先增加再逐漸減少B.隨著角速度的增大，物體甲始終受到摩擦力C.圓盤旋轉(zhuǎn)的角速度最大不得超過D.圓盤旋轉(zhuǎn)的角速度最大不得超過12345678910

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A.1rad/sB.rad/sC.rad/sD.5rad/s12345678910

123456789107.如圖所示，放在水平轉(zhuǎn)臺上可視為質(zhì)點的物體A、B、C隨轉(zhuǎn)臺一起

以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，A、B、C的質(zhì)量分別為3m、2m、m，A與C之

間的動摩擦因數(shù)為2μ、B和C與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)均為μ，A、C以

及B離轉(zhuǎn)臺中心的距離分別為1.5r、r。設(shè)最大靜靡擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，下列說法正確的是（

）A.物體A受到的摩擦力大小為6μmgB.轉(zhuǎn)盤對物體C的摩擦力大小為9mω2rC.維持物體A、B、C能隨轉(zhuǎn)臺一起轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)盤的角速度應(yīng)滿足ω≤D.隨著轉(zhuǎn)臺角速度增大，最先被甩出去的是物體B12345678910

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123456789108.（2024·湖南邵陽模擬）一宇航員到達(dá)半徑為R、密度均勻的某星球

表面，做如下實驗：用不可伸長的輕繩拴一質(zhì)量為m的小球，上端

固定在O點，如圖甲所示，在最低點給小球一初速度，使其繞O點

在豎直面內(nèi)做半徑為r的圓周運動，測得繩的拉力F大小隨時間t的變

化規(guī)律如圖乙所示。設(shè)R、m、r、引力常量G以及F1和F2為已知

量，忽略各種阻力。以下說法正確的是（

）12345678910A.該星球表面的重力加速度為B.小球在最高點的最小速度為C.該星球的密度為D.衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為12345678910

123456789109.在如圖所示的裝置中，輕繩的上端系在豎直桿的