2025年教師資格證考試（中學(xué)數(shù)學(xué)）函數(shù)應(yīng)用題專項(xiàng)訓(xùn)練試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某城市出租車的計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：起步價(jià)3元（含3公里），起步價(jià)之后每公里收費(fèi)0.8元。若某人乘坐出租車行駛了x公里（x>3），則他需要支付的車費(fèi)y（元）與x（公里）之間的函數(shù)關(guān)系式為（）。A.y=0.8xB.y=0.8x-1.2C.y=0.8x+1.2D.y=3+0.8(x-3)2.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，則函數(shù)f(x)的最小值是（）。A.1B.2C.3D.43.函數(shù)g(x)=|x-1|在區(qū)間[0,3]上的最小值是（）。A.-1B.0C.1D.24.若函數(shù)h(x)=kx2-2x+1在定義域內(nèi)恒有h(x)>0，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）。A.k>1B.k≥1C.k>0且k≠1D.k>1或k<05.函數(shù)y=sin(2x+π/3)的圖像關(guān)于（）對(duì)稱。A.x軸B.y軸C.直線x=π/6D.直線x=-π/66.函數(shù)y=ln(x2-3x+2)的定義域是（）。A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.[1,2]C.(1,2)D.(-∞,1]∪[2,+∞)7.將函數(shù)y=2^x的圖像向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到的函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是（）。A.y=2^(x+1)+2B.y=2^(x+1)-2C.y=2^x+1D.y=2^x-28.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的表達(dá)式為（）。A.x2+1B.-x2-1C.x2-1D.-x2+19.某產(chǎn)品的成本C（元）與產(chǎn)量x（件）之間的關(guān)系式為C=1000+2x，售價(jià)P（元/件）與產(chǎn)量x（件）之間的關(guān)系式為P=50-0.01x。則當(dāng)產(chǎn)量x為何值時(shí)，該產(chǎn)品的利潤(rùn)最大？（利潤(rùn)=總收入-總成本，總收入=售價(jià)×產(chǎn)量）A.2000件B.2500件C.3000件D.3500件10.已知a=0.??1，b=log?2，c=2^(-0.5)，則a，b，c三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為（）。A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a二、填空題：本大題共5小題，每小題6分，共30分。11.若函數(shù)f(x)=3x2-2ax+1在x=1時(shí)取得最小值，則實(shí)數(shù)a的值為________。12.已知函數(shù)g(x)=√(x-1)，則它的反函數(shù)g?1(x)的表達(dá)式為________（其中x≥1）。13.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為10萬元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，可變成本增加3萬元，售價(jià)為每件5萬元。則該工廠生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，能恰好不虧本？（設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品）14.函數(shù)y=2cos(3x-π/4)的周期T=________。15.甲、乙兩地相距S公里，一輛汽車從甲地出發(fā)開往乙地，其速度v（公里/小時(shí)）與剩余路程y（公里）的關(guān)系式為v=√(36-y)。則汽車從甲地到達(dá)乙地所需的時(shí)間t（小時(shí)）與剩余路程y（公里）之間的函數(shù)關(guān)系式為________。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分12分）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃修建一個(gè)面積為1500平方米的矩形豬舍，豬舍的一邊利用現(xiàn)有的墻，另三邊需要修建圍墻。設(shè)利用現(xiàn)有墻的一邊長(zhǎng)為x米，修建圍墻的總長(zhǎng)度為y米。(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，修建圍墻的總長(zhǎng)度y最?。坎⑶蟪鲎钚≈?。17.（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+a2+1。(1)求函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值。18.（本小題滿分14分）某商場(chǎng)銷售一種商品，進(jìn)價(jià)為每件40元。商場(chǎng)決定按進(jìn)價(jià)提高定價(jià)，設(shè)售價(jià)為每件x元（40<x<100），銷售量y（件）與售價(jià)x（元）之間的關(guān)系式為y=-0.4x2+36x-720。(1)寫出商場(chǎng)銷售這種商品所獲利潤(rùn)P（元）關(guān)于售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；(2)商場(chǎng)欲獲得最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少元？最大利潤(rùn)是多少元？19.（本小題滿分15分）已知函數(shù)g(x)=ln(x+3)-2x。(1)求函數(shù)g(x)的定義域；(2)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；(3)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[m,m+1]上的值域?yàn)閇-3,0]，求實(shí)數(shù)m的值。20.（本小題滿分15分）如圖（此處無圖），在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)。一動(dòng)圓C過點(diǎn)A且與y軸相切。(1)求動(dòng)圓C的圓心軌跡C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P為圓C上的任意一點(diǎn)，求△APB面積的最小值。---試卷答案一、選擇題：1.D2.B3.B4.B5.C6.A7.A8.D9.B10.C二、填空題：11.312.y=1+√(x)(x≥1)13.2000件14.2π/315.t=√(36-y)/5(0≤y≤S)三、解答題：16.（1）解：設(shè)豬舍另兩邊長(zhǎng)分別為y米和z米。由題意，利用現(xiàn)有墻的一邊長(zhǎng)為x米，則豬舍面積為S=xy=1500，即y=1500/x。修建圍墻的總長(zhǎng)度y米，包括兩邊長(zhǎng)z和另外一邊長(zhǎng)x，以及利用的墻長(zhǎng)x，即y=x+z+1500/x。因?yàn)樨i舍的一邊利用現(xiàn)有墻，所以x>0。又因?yàn)樨i舍的面積是1500平方米，所以x不能太大，豬舍的另一邊長(zhǎng)1500/x也必須為正，且豬舍的長(zhǎng)寬需合理，考慮實(shí)際意義，x應(yīng)小于豬舍的另一邊長(zhǎng)，即x<1500。綜上，定義域?yàn)?0,1500)。y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=x+(1500/x)+1500/x=x+3000/x，定義域?yàn)?0,1500)。（2）解：求y=x+3000/x在(0,1500)上的最小值。方法一：利用基本不等式。y=x+3000/x≥2√(x*3000/x)=2√3000=60√(15)。當(dāng)且僅當(dāng)x=3000/x，即x=√3000時(shí)，等號(hào)成立。由于√3000=10√(30)，且0<√(30)<1500，所以x=√3000在定義域(0,1500)內(nèi)。故當(dāng)x=√3000時(shí)，修建圍墻的總長(zhǎng)度y最小，最小值為60√(15)。方法二：利用導(dǎo)數(shù)。設(shè)h(x)=x+3000/x，x∈(0,1500)。h'(x)=1-3000/x2。令h'(x)=0，得1-3000/x2=0，解得x2=3000，即x=√3000（負(fù)值舍去）。當(dāng)x∈(0,√3000)時(shí)，h'(x)<0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(√3000,1500)時(shí)，h'(x)>0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增。故函數(shù)h(x)在x=√3000處取得極小值，也是最小值。h(√3000)=√3000+3000/√3000=2√3000=60√(15)。答：當(dāng)x=√3000時(shí)，修建圍墻的總長(zhǎng)度y最小，最小值為60√(15)米。17.（1）解：函數(shù)f(x)=x2-2ax+a2+1是一個(gè)二次函數(shù)，其圖像是開口向上的拋物線。二次函數(shù)的一般形式為f(x)=ax2+bx+c，其對(duì)稱軸方程為x=-b/(2a)。在f(x)=x2-2ax+a2+1中，a=1,b=-2a。所以對(duì)稱軸方程為x=-(-2a)/(2*1)=a。（2）解：方法一：根據(jù)對(duì)稱軸性質(zhì)。函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=a，對(duì)稱軸將區(qū)間[-1,3]分為兩部分。①當(dāng)a≤-1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上單調(diào)遞增。最小值在x=-1處取得，即f(-1)=3。代入得：(-1)2-2a(-1)+a2+1=3。1+2a+a2+1=3，即a2+2a-1=0。解得a=-1±√2。由于a≤-1，所以a=-1-√2。②當(dāng)a≥3時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上單調(diào)遞減。最小值在x=3處取得，即f(3)=3。代入得：32-2a(3)+a2+1=3。9-6a+a2+1=3，即a2-6a+7=0。Δ=(-6)2-4*1*7=36-28=8>0，解得a=3±√2。由于a≥3，所以a=3+√2。③當(dāng)-1<a<3時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[a,3]上單調(diào)遞增。最小值在x=a處取得，即f(a)=3。代入得：a2-2a2+a2+1=3。0+1=3，矛盾。綜上，a的值為-1-√2或3+√2。方法二：配方。f(x)=x2-2ax+a2+1=(x-a)2+1。函數(shù)f(x)的圖像是頂點(diǎn)為(a,1)、開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x=a。①當(dāng)a≤-1時(shí)，區(qū)間[-1,3]在對(duì)稱軸x=a的左側(cè)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上單調(diào)遞增。最小值在x=-1處取得，f(-1)=3。解得a=-1-√2。②當(dāng)a≥3時(shí)，區(qū)間[-1,3]在對(duì)稱軸x=a的右側(cè)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上單調(diào)遞減。最小值在x=3處取得，f(3)=3。解得a=3+√2。③當(dāng)-1<a<3時(shí)，區(qū)間[-1,3]包含對(duì)稱軸x=a，函數(shù)f(x)在x=a處取得最小值f(a)=1。但f(a)=1≠3，矛盾。綜上，a的值為-1-√2或3+√2。18.（1）解：總收入=售價(jià)×銷售量=x*y=x*(-0.4x2+36x-720)=-0.4x3+36x2-720x?？偝杀?進(jìn)價(jià)×銷售量=40*y=40*(-0.4x2+36x-720)=-16x2+1440x-28800。利潤(rùn)P=總收入-總成本P=(-0.4x3+36x2-720x)-(-16x2+1440x-28800)P=-0.4x3+36x2-720x+16x2-1440x+28800P=-0.4x3+52x2-2160x+28800。由于40<x<100，定義域?yàn)?40,100)。故利潤(rùn)P（元）關(guān)于售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式為P=-0.4x3+52x2-2160x+28800，定義域?yàn)?40,100)。（2）解：求利潤(rùn)函數(shù)P=-0.4x3+52x2-2160x+28800在(40,100)上的最大值。方法一：利用導(dǎo)數(shù)。P'(x)=-1.2x2+104x-2160。令P'(x)=0，得-1.2x2+104x-2160=0。方程兩邊同除以-0.4，得3x2-260x+5400=0。Δ=(-260)2-4*3*5400=67600-64800=2800>0。解得x=(260±√2800)/6=(260±20√7)/6=130/3±10√7/3。計(jì)算近似值：√7≈2.6458，10√7/3≈8.8193。x?≈130/3-8.8193≈26.539-8.8193≈17.72。x?≈130/3+8.8193≈26.539+8.8193≈35.36?？紤]到定義域?yàn)?40,100)，只有x?≈35.36在定義域內(nèi)。檢查端點(diǎn)：P(40)=-0.4(40)3+52(40)2-2160(40)+28800=-64000+83200-86400+28800=-86400+112000=25600。P(100)=-0.4(100)3+52(100)2-2160(100)+28800=-400000+520000-216000+28800=-216000+74800=-141200。比較函數(shù)值：P(x?)≈P(35.36)和P(40)=25600,P(100)=-141200。計(jì)算P(35.36)：P(35.36)≈-0.4(35.36)3+52(35.36)2-2160(35.36)+28800≈-0.4(44100.9)+52(1250.5)-76000+28800≈-17640.36+65026-76000+28800≈47385.64-76000+28800≈47385.64-47200=185.64。顯然，P(40)=25600>P(35.36)≈185.64>P(100)=-141200。故最大利潤(rùn)在x=40處取得（盡管40不在嚴(yán)格開區(qū)間(40,100)內(nèi)，但在左端點(diǎn)取得最大值，可認(rèn)為在定義域左端點(diǎn)附近達(dá)到最大，或在邊界值附近考慮，但計(jì)算顯示在x略小于40處取得最大值，最接近的是x=40時(shí)的值）。方法二：配方（對(duì)于三次函數(shù)較復(fù)雜，此處導(dǎo)數(shù)法更常用）。P(x)=-0.4x3+52x2-2160x+28800。令P'(x)=-1.2x2+104x-2160=0。解得x=35.36或x=40。根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷，在x=35.36處取得極大值，在x=40處取得極小值。由于在(40,100)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x=35.36，且在定義域兩端點(diǎn)x=40和x=100處函數(shù)值分別為正和負(fù)，故極大值P(35.36)即為最大值。（此處計(jì)算P(35.36)過程同上，結(jié)果約為185.64，與端點(diǎn)值P(40)=25600比較，P(40)更大。這說明在嚴(yán)格(40,100)內(nèi)，最大值應(yīng)在x略小于40處，或在端點(diǎn)附近，但計(jì)算顯示端點(diǎn)x=40時(shí)利潤(rùn)最大。這提示我們可能在定義域界定或求解極值時(shí)需更細(xì)致考慮，或者題目設(shè)計(jì)可能需要調(diào)整以確保極值點(diǎn)在開區(qū)間內(nèi)。按常規(guī)處理，若極值點(diǎn)在端點(diǎn)附近，且端點(diǎn)值更大，常取端點(diǎn)值。但嚴(yán)格來說，最大值在x略小于40處。為符合中學(xué)數(shù)學(xué)常見處理，且P(40)=25600遠(yuǎn)大于P(35.36)，可認(rèn)為最大利潤(rùn)在售價(jià)接近40元時(shí)獲得，最大利潤(rùn)約為25600元。）答：當(dāng)售價(jià)定為40元時(shí)，商場(chǎng)銷售這種商品所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)約為25600元。19.（1）解：函數(shù)g(x)=ln(x+3)-2x的定義域要求對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，即x+3>0。解得x>-3。故函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?-3,+∞)。（2）解：求函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù)g'(x)。g'(x)=d/dx[ln(x+3)]-d/dx[2x]=1/(x+3)-2。令g'(x)=0，得1/(x+3)-2=0。解得1/(x+3)=2，即x+3=1/2，得x=-5/2。當(dāng)x∈(-3,-5/2)時(shí)，x+3∈(0,1/2)，1/(x+3)>2，g'(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-5/2,+∞)時(shí)，x+3∈(1/2,+∞)，1/(x+3)<2，g'(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減。綜上，函數(shù)g(x)在區(qū)間(-3,-5/2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-5/2,+∞)上單調(diào)遞減。（3）解：函數(shù)g(x)在區(qū)間[m,m+1]上的值域?yàn)閇-3,0]。根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，最小值在區(qū)間的右端點(diǎn)取得，即g(m+1)=0。g(m+1)=ln((m+1)+3)-2(m+1)=ln(m+4)-2m-2=0。即ln(m+4)=2m+2。最大值在區(qū)間的左端點(diǎn)或極值點(diǎn)取得，即g(m)=-3。g(m)=ln(m+3)-2m=-3。即ln(m+3)=2m-3?，F(xiàn)在我們有兩個(gè)方程：i)ln(m+4)=2m+2ii)ln(m+3)=2m-3用方程i)減去方程ii)，得：ln(m+4)-ln(m+3)=(2m+2)-(2m-3)ln((m+4)/(m+3))=5。(m+4)/(m+3)=e?。m+4=e?(m+3)。m+4=em?+3em?+3em3+3em2+3em+9。m-em?-3em?-3em3-3em2-3em-5=0。此五次方程解析解較難，但我們可以根據(jù)值域[-3,0]來確定m的范圍。g(m)=ln(m+3)-2m=-3。ln(m+3)=2m-3。當(dāng)m=-3時(shí)，g(-3)不存在。當(dāng)m>-3時(shí)，考慮函數(shù)h(m)=ln(m+3)-2m。h'(m)=1/(m+3)-2。令h'(m)=0，得m=-5/2。h(m)在(-3,-5/2)上單調(diào)遞增，在(-5/2,+∞)上單調(diào)遞減。h(m)的最大值為h(-5/2)=ln(-5/2+3)-2(-5/2)=ln(1/2)+5=-ln2+5。當(dāng)m→+∞時(shí)，ln(m+3)增長(zhǎng)慢于2m，h(m)→-∞。要使h(m)的值域包含-3，必須有h(m)的最大值≥-3。-ln2+5≥-3，即8≥ln2，顯然成立。故存在m使得h(m)=-3。由于方程m-em?-3em?-3em3-3em2-3em-5=0的復(fù)雜性，通常在解答題中，若無法精確求解，可嘗試特殊值或范圍確定。假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足ln(m+4)=2m+2且ln(m+3)=2m-3。則ln(m+4)-ln(m+3)=5。(m+4)/(m+3)=e?。m+4=e?(m+3)。m+4=e?m+3e?。m(1-e?m?-3e?m3-3e?m2-3e?m)=3e?-4。由于e?>1，1-e?m?-3e?m3-3e?m2-3e?m<0，除非m=0。若m=0，代入ln(m+4)=2m+2，得ln(4)=2，不成立。故不存在實(shí)數(shù)m滿足ln(m+4)=2m+2且ln(m+3)=2m-3。似乎出現(xiàn)了矛盾。問題可能出在題目條件設(shè)置或解答思路的嚴(yán)謹(jǐn)性上。重新審視：函數(shù)g(x)在[m,m+1]上單調(diào)遞減（因?yàn)閙>-3且m>-5/2，所以m+1>-5/2）。要使值域?yàn)閇-3,0]，則g(m)=-3，g(m+1)=0。g(m)=ln(m+3)-2m=-3=>ln(m+3)=2m-3。g(m+1)=ln((m+1)+3)-2(m+1)=ln(m+4)-2m-2=0=>ln(m+4)=2m+2。這兩個(gè)方程同時(shí)成立。方程組：i)ln(m+4)=2m+2ii)ln(m+3)=2m-3i)-ii)=>ln((m+4)/(m+3))=5。(m+4)/(m+3)=e?。m+4=e?(m+3)。m+4=em?+3em?+3em3+3em2+3em+9。m-em?-3em?-3em3-3em2-3em-5=0。此方程無實(shí)數(shù)解，如前所述。這意味著題目條件“值域?yàn)閇-3,0]”與函數(shù)“在[m,m+1]上單調(diào)遞減”同時(shí)成立是不可能的。因此，題目本身可能存在錯(cuò)誤。若必須給出答案，可能需要假設(shè)題目條件有微小偏差或印刷錯(cuò)誤。例如，如果值域?yàn)閇0,-3]的相反數(shù)，或區(qū)間為[m,m-1]等。在沒有修正題目的情況下，此題無法有滿足條件的實(shí)數(shù)m。但按標(biāo)準(zhǔn)考試思路，通常認(rèn)為題目是正確的，那么可能是我們推導(dǎo)過程有疏漏，或需要接受題目條件矛盾的結(jié)果。在中學(xué)數(shù)學(xué)教師資格考試中，此類題目可能需要指出矛盾或探討在何種條件下可能成立。這里按標(biāo)準(zhǔn)流程推導(dǎo)，得出矛盾結(jié)論。（基于標(biāo)準(zhǔn)考試題型和評(píng)分期望，可能存在某種特殊情況或近似解被接受，但嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)如上。若必須給出一個(gè)“答案”，可能需要選擇一個(gè)使得其中一個(gè)方程近似成立的m值，但這不符合嚴(yán)格求解。）結(jié)論：在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)框架下，給定條件下無解。若題目無誤，則題目條件矛盾。若允許近似或特定情境，需題目明確。按此推導(dǎo)，無解。）20.（1）解：設(shè)動(dòng)圓C的圓心為C(a,b)，半徑為r。由題意，圓C過點(diǎn)A(1,0)，所以|CA|=r。即√((a-1)2+b2)=r。圓C與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為T(0,t)。則|CT|=r。即√(a2+t2)=r。同時(shí)，切點(diǎn)T在y軸上，且切點(diǎn)到圓心C的距離等于半徑r，所以圓心C到y(tǒng)軸的距離等于半徑r。即|a|=r。聯(lián)立上述三個(gè)方程：i)√((a-1)2+b2)=rii)√(a2+t2)=riii)|a|=r由iii)，r=|a|。代入i)和ii)：√((|a|-1)2+b2)=|a|√(|a|2+t2)=|a|平方得：(|a|-1)2+b2=a2|a|2+t2=a2整理得：a2-2|a|+1+b2=a2=>b2=2|a|-1t2=a2-a2=>t2=0=>t=0。所以切點(diǎn)T(0,0)。將t=0代入a2+t2=a2，恒成立。所以|a|=√(2|a|-1)。兩邊平方得a?=2|a|-1。①當(dāng)a≥0時(shí)，a?=2a-1。②當(dāng)a<0時(shí)，a?=-2a-1。a?總是非負(fù)的，-2a-1非負(fù)當(dāng)且僅當(dāng)a≤-1/2。此時(shí)a?=-2a-1，左邊非負(fù)，右邊非負(fù)，若成立則a≤-1/2。代入檢驗(yàn)，(a?+1)/2=a2-1/2，(a2-1/2)2=a?+1，(a2)2-a?-1=0，a?-a?-1=0，-1=0，矛盾。所以a<0時(shí)無解。故只有