高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】雙曲線的漸近線方程為，即，故選：C.2.在空間直角坐標系Oxyz中，點關(guān)于坐標平面Ozx對稱的點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得對稱點的橫坐標和豎坐標與點P的相同，縱坐標與點P的互為相反數(shù)，所以點關(guān)于坐標平面Ozx對稱的點的坐標為，故選：C.3.在平面直角坐標系xOy中，已知直線，，若，則實數(shù)（）．A. B.1 C.3 D.1或3【答案】B【解析】根據(jù)，則，即，得或，但時兩直線重合，故.故選：B．4.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的右焦點為F，右頂點為A，上、下頂點分別為，，點D在線段上，且．若，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可得，點，，，∴，∵，則點為的三等分點，故，，，由得：，化簡得．故選：B．5.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）．A. B.1 C. D.【答案】D【解析】，由于是等差數(shù)列，所以，即也是等差數(shù)列，故．故選：D．6.在平面直角坐標系中，已知圓經(jīng)過，，三點，直線與交于，兩點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)圓的方程為，則，解得，所以，即圓，則圓心為，半徑；又直線，即，令，解得，所以直線過定點，又點與圓心在直線（斜率不存在）上，又，所以，當且僅當直線的斜率時取得，又無最大值，且無限接近圓的直徑，所以．故選：C．7.如圖，已知點，軸于點C，M是線段OB上任意一點，軸于點D，于點E．OE與MD相交于點P，則P的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)，因為直線的方程為，且點在直線上，所以，因為直線的方程為，且點在直線上，所以，因為軸，所以，則，故D正確.故選：D．8.已知等比數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，，若，則（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由是等比數(shù)列，得也是等比數(shù)列，而當公比時，，此時，則，不滿足，故，所以當公比時，有，則，由，則，即，又由，得，故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知數(shù)列的前n項和為，若，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.【答案】ABD【解析】對于AB：因為，故，當時，，當時，也成立，所以，即為常數(shù)列，其既是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列，故A、B正確；對于C：，，顯然等式僅當時成立，故C錯誤；對于D：，故D正確故選：ABD．10.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點，延長交E于點B，延長交E于點C，則（）．A.的面積為 B.的周長為8C. D.A到直線BC的距離為2【答案】AC【解析】，的面積為，故A正確；周長為8，由，故的周長大于8，故B錯誤；利用橢圓性質(zhì)，由，，故C正確；，而，故A到直線BC距離為，故D錯誤；當然也可以由不垂直到直線BC的距離小于2．故選：AC.11.如圖，在棱長為1的正方體中，分別是棱上的動點，且，，，，則（）A.當時，平面B.當時，平面C.當時，三棱錐體積的最大值為D.當時，的最小值為【答案】ABD【解析】以A為原點建立坐標系，則，，,，，,時，,故，,故，平面，故平面，A正確，當時，，由于，故，，平面,平面,故平面，B正確；由，當時，，，，故C錯誤；當時，則，，可將看作是平面內(nèi)到點的距離之和，如圖：作出關(guān)于直線的對稱點，則最小距離為與點之間的距離，故，過與點的直線方程為，令，則，故當時取等號，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則______．【答案】8【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，解得，所以．13.如圖，已知M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，，，若，則______．【答案】【解析】，．14.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知與雙曲線的漸近線不平行的直線與C有且僅有一個公共點，直線且與C交于A，B兩點，與交于點P，則______．【答案】【解析】直線的斜率為，由直線，設(shè)直線的方程為，由消去并整理得，設(shè)，則，，取中點，連接，直線的斜率，設(shè)直線的方程為，由消去并整理得，則，整理得，而，則，解得，因此直線，四邊形為平行四邊形，于是，，，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，記的前n項和為，數(shù)列的首項，且．（1）求及；（2）求的通項公式．解：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，則，；又，所以，所以，所以，．（2）因為，所以，，以上各式相乘可得，因為，所以.16.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點和點B是圓上兩點．（1）判斷直線與C的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，的面積為，求C的方程．解：（1）直線與圓相交，理由如下：圓的方程可化為，可知圓心為，半徑，直線的方程可化，可知直線l過定點，因為，故定點在圓C內(nèi)，所以直線l與圓C相交．（2）因為，，又因為的面積為，可得，因為，結(jié)合垂直關(guān)系可知直線AB的方向向量可以為，可得，則，即，將代入圓C方程可得，解得，所以圓C的方程為．17.如圖，在三棱錐中，已知平面平面ABC，，D，E分別是棱PA，PC的中點，，，三棱錐的體積為．（1）求直線BD與直線CP所成角的大??；（2）求平面BDE與平面ABC的夾角的余弦值．解：（1）因為平面平面ABC，交線為，，平面，所以平面PAB，因為，為的中點，所以⊥，故，又，故，三棱錐的體積為，故，解得，設(shè)，故，則，又，由勾股定理得，即，解得或，取的中點，連接，因為，，由勾股定理得，故，因為平面，平面，所以，由勾股定理得，故，當時，，為等邊三角形，所以，直線BD與直線CP所成角的大小為；當時，，由勾股定理逆定理得⊥，又，所以為等腰直角三角形，，故直線BD與直線CP所成角的大小為或；（2）D，E分別是棱PA，PC的中點，故，因為平面，平面，所以平面，設(shè)平面平面，故，且，由（1）知，，，若，則，故為等邊三角形，取的中點，連接，則⊥，，，過點作⊥于點，連接，故或其補角為平面BDE與平面ABC的夾角，因為，，，所以，故，，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，故，，由余弦定理得，若，則，故⊥，且，又，故為等邊三角形，，過點作⊥于點，連接，故或其補角為平面BDE與平面ABC的夾角，因為，，在中，由余弦定理得，又，，由余弦定理得，綜上，平面BDE與平面ABC的夾角的余弦值為或18.已知數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求和；（3）記數(shù)列的前n項和為，求證：．（1）證明：，且，故為等比數(shù)列.（2）解：由（1）可知：，故．（3）解：.19.如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，直線與有且只有一個公共點，過點且斜率為的直線交于另一點為中點，延長交于點，以為圓心，為半徑的圓交直線于兩點．（1）求C標準方程；（2）若，求的值及的方程；（3）當最大時，求的坐標．解：（1）由題意可知，，結(jié)合，解得，故橢圓