/2025年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng).本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）人類探索浩瀚宇宙的步伐從未停止，天文學(xué)家已經(jīng)探明一年之中地球與太陽(yáng)之間的距離隨時(shí)間變化而變化，地球與太陽(yáng)之間的平均距離約為149600000km，用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)149600000表示為（）A．1.496×109 B．1.496×108 C．1.496×107 D．14.96×1072．（3分）如圖是由五個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）在實(shí)際生活中，常用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量．如果把向東走80米記作+80米，那么向西走60米記作（）A．﹣60米 B．﹣80米 C．+90米 D．+60米4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．2a+a2＝2a3 B．6a2b÷a＝6b C．（ab）7＝a7b7 D．195．（3分）2020年，我國(guó)承諾，力爭(zhēng)于2030年前實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，2060年前實(shí)現(xiàn)“碳中和”倡導(dǎo)低碳生活是每個(gè)公民的社會(huì)責(zé)任．某班環(huán)保小組為了解同學(xué)們?nèi)ツ旮髯约彝ピ缕骄疤甲阚E”的情況，收集了本組8名同學(xué)的家庭月平均用電產(chǎn)生的耗碳量（單位：千克）數(shù)據(jù)，依次為：76，78，77，79，78，75，78，80，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A．77 B．78 C．79 D．806．（3分）智慧農(nóng)業(yè)廣泛應(yīng)用智能機(jī)器人．某品牌智能機(jī)器人的一個(gè)機(jī)械手平均每分鐘采摘10個(gè)蘋(píng)果．若該機(jī)器人搭載m個(gè)機(jī)械手（m＞1），則該機(jī)器人平均每分鐘采摘的蘋(píng)果個(gè)數(shù)為（）A．6m B．m+10 C．60m D．10m7．（3分）如圖，AB∥CD，直線EF與直線AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線EG與直線CD交于點(diǎn)G．若∠1＝70°，∠2＝50°，則∠GEF的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．65° D．70°8．（3分）如圖，AC，BC為⊙O的弦，連接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，則∠BCO的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．55°9．（3分）如圖，將△ABC沿折痕AD折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)E處，若AB＝4，BC＝5，AC＝6，則△CDE的周長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．6.5 D．710．（3分）中國(guó)式現(xiàn)代化取得了彪炳史冊(cè)的偉大成就，極大地提升了我國(guó)的綜合國(guó)力與國(guó)際影響力．據(jù)世界銀行公布的2024年各國(guó)GDP數(shù)據(jù)，可知2024年中國(guó)GDP總量為18.53萬(wàn)億美元．附：世界銀行公布的2024年GDP排名前20名的部分國(guó)家數(shù)據(jù)表國(guó)家GDP總量（單位：萬(wàn)億美元）國(guó)家GDP總量（單位：萬(wàn)億美元）德國(guó)4.59巴西2.33印度3.93俄羅斯2.05英國(guó)3.49韓國(guó)1.76法國(guó)3.13瑞士0.93預(yù)計(jì)2025年中國(guó)GDP總量的增長(zhǎng)率為5%左右，請(qǐng)你根據(jù)以上信息估算：2025年中國(guó)GDP的增長(zhǎng)量與下列哪個(gè)國(guó)家2024年GDP總量最接近？（）A．法國(guó) B．瑞士 C．巴西 D．英國(guó)二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．（3分）分解因式：mx﹣2my＝．12．（3分）為了解某校學(xué)生利用全國(guó)中小學(xué)智慧教育平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)的情況，從該校全體3600名學(xué)生中，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示僅有3名學(xué)生從未使用該平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)．由此，估計(jì)該校全體學(xué)生中，從未使用該平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)的學(xué)生有名．13．（3分）分式方程3x+1=14．（3分）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，則OA的長(zhǎng)為．15．（3分）如圖，五邊形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，則∠A+∠E＝．16．（3分）衣服穿戴整不整齊，系好第一粒扣子很重要．青少年邁開(kāi)人生第一步就要走正道，要嚴(yán)格遵守國(guó)家法律法規(guī)．同樣的道理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先就必須遵守?cái)?shù)學(xué)中的基本法則．例如：下面命題的推理過(guò)程所得出的錯(cuò)誤結(jié)論就是由于不遵守?cái)?shù)學(xué)的基本法則導(dǎo)致的．命題：如果a，b，c為實(shí)數(shù)，且滿足a+b＝﹣c．那么2＝1．推理過(guò)程如下：第一步：根據(jù)上述命題條件有a+b＝﹣c；①第二步：根據(jù)七年級(jí)學(xué)過(guò)的整式運(yùn)算法則有a＝2a﹣a，b＝2b﹣b，c＝2c﹣c；②第三步：把②代入①，可得（2a﹣a）+（2b﹣b）＝﹣（2c﹣c）；③第四步：把③兩邊利用移項(xiàng)、去括號(hào)法則、加法交換律等，變形可得2（a+b+c）＝（a+b+c）；④第五步：把④兩邊同時(shí)除以（a+b+c），得2＝1．⑤請(qǐng)你判斷上述推理過(guò)程中，第步是錯(cuò)誤的，它違背了數(shù)學(xué)的基本法則．二、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（6分）計(jì)算：|22?1|+(15)18．（6分）解不等式組：1+2x19．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交CA于點(diǎn)M，交CB于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)D（1）求∠BCD的度數(shù)；（2）若BC＝2.5，求AD的長(zhǎng)．20．（8分）2025年5月18日，湖南省第三屆大中小學(xué)閱讀教育論壇在長(zhǎng)沙舉行．論壇聚焦美育與閱讀融合．為探索美育與閱讀融合的新路徑，某校舉行了以“美育與閱讀融合”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽成績(jī)以等第形式呈現(xiàn)，隨機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下兩幅待完善的統(tǒng)計(jì)圖表．（A代表優(yōu)秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．）等第頻數(shù)頻率A20mB300.30Cn0.44D60.06根據(jù)圖表中所給信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)；表中m＝，n＝；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“A等”所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為度；（3）若該校八年級(jí)一班和二班恰好各有2名學(xué)生的參賽成績(jī)是“A等”，從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加以“美育與閱讀融合”為主題的校級(jí)閱讀分享活動(dòng)，請(qǐng)用列表法或樹(shù)狀圖法求選出的2名學(xué)生恰好來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的概率．21．（8分）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且BE＝DF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）連接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的長(zhǎng)．22．（9分）為落實(shí)科技興農(nóng)政策，某鄉(xiāng)辦食品企業(yè)應(yīng)用新科技推動(dòng)農(nóng)產(chǎn)品由粗加工向精加工轉(zhuǎn)變．根據(jù)市場(chǎng)需求，該食品企業(yè)將收購(gòu)的農(nóng)產(chǎn)品加工成A，B兩種等級(jí)的農(nóng)產(chǎn)品對(duì)外銷售，已知銷售6千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和4千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品共收入112元，銷售4千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和2千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品共收入68元．（不考慮加工損耗）（1）求每千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和每千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)分別為多少元？（2）若該食品企業(yè)以每千克8元購(gòu)進(jìn)6000千克農(nóng)產(chǎn)品，全部加工后對(duì)外銷售，要求總利潤(rùn)不低于16000元，則至少需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品多少千克？23．（9分）如圖，某景區(qū)內(nèi)兩條互相垂直的道路a，b交于點(diǎn)M，景點(diǎn)A，B在道路a上，景點(diǎn)C在道路b上．為了進(jìn)一步提升景區(qū)品質(zhì)，景區(qū)管委會(huì)在道路b上又開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D．經(jīng)測(cè)得景點(diǎn)C位于景點(diǎn)B的北偏東60°方向上，位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向上，景點(diǎn)B位于景點(diǎn)D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）求景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）24．（10分）我們約定：當(dāng)x1，y1，x2，y2滿足（x1+y2）2+（x2+y1）2＝0，且x1+y1≠0時(shí)，稱點(diǎn)（x1，y1）與點(diǎn)（x2，y2）為一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”．若某函數(shù)圖象上至少存在一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，就稱該函數(shù)為“對(duì)偶函數(shù)”．請(qǐng)你根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)你判斷下列說(shuō)法是否正確（在題后相應(yīng)的括號(hào)中，正確的打“?”，錯(cuò)誤的打“×”）；①函數(shù)y=kx（k是非零常數(shù)）的圖象上存在無(wú)數(shù)對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”；②函數(shù)y＝﹣2x+1一定不是“對(duì)偶函數(shù)”；③函數(shù)y＝x2+x﹣1的圖象上至少存在兩對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”．（2）若關(guān)于x的一次函數(shù)y＝k1x+b1與y＝k2x+b2（b1，b2都是常數(shù)，且b1?b2＜0）均是“對(duì)偶函數(shù)”，求這兩個(gè)函數(shù)的圖象分別與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形的面積之和；（3）若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝2ax2﹣1是“對(duì)偶函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．25．（10分）如圖1，點(diǎn)O是以AB為直徑的半圓的圓心，AD與BC均為該半圓的切線，C，D均為直徑AB上方的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，且始終滿足CD＝AD+BC．（1）求證：CD與該半圓相切；（2）當(dāng)半徑r=2時(shí)，令A(yù)D＝a，BC＝b，m=22+a+22+b（3）在（1）的條件下，如圖2，當(dāng)半徑r＝1時(shí)，若點(diǎn)E為CD與該半圓的切點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)G，連接EG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接AE，BE，令EG＝x，4AE?BE+1FG+CD＝y(tǒng)

2025年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案B．AA．CBDBCDB一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng).本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）人類探索浩瀚宇宙的步伐從未停止，天文學(xué)家已經(jīng)探明一年之中地球與太陽(yáng)之間的距離隨時(shí)間變化而變化，地球與太陽(yáng)之間的平均距離約為149600000km，用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)149600000表示為（）A．1.496×109 B．1.496×108 C．1.496×107 D．14.96×107【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：149600000＝1.496×108．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．2．（3分）如圖是由五個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【解答】解：從左邊看，底層是兩個(gè)小正方形，上層的左邊是一個(gè)小正方形．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖．3．（3分）在實(shí)際生活中，常用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量．如果把向東走80米記作+80米，那么向西走60米記作（）A．﹣60米 B．﹣80米 C．+90米 D．+60米【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．【解答】解：“正”和“負(fù)”相對(duì)，所以，如果把向東走80米記作+80米，那么向西走60米記作﹣60米．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量．4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．2a+a2＝2a3 B．6a2b÷a＝6b C．（ab）7＝a7b7 D．19【分析】利用二次根式的加減法，合并同類項(xiàng)，積的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：2a與a2不是同類項(xiàng)，無(wú)法合并，則A不符合題意，6a2b÷a＝6ab，則B不符合題意，（ab）7＝a7b7，則C符合題意，19與6不是同類二次根式，無(wú)法合并，則D不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的加減法，合并同類項(xiàng)，積的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．（3分）2020年，我國(guó)承諾，力爭(zhēng)于2030年前實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，2060年前實(shí)現(xiàn)“碳中和”倡導(dǎo)低碳生活是每個(gè)公民的社會(huì)責(zé)任．某班環(huán)保小組為了解同學(xué)們?nèi)ツ旮髯约彝ピ缕骄疤甲阚E”的情況，收集了本組8名同學(xué)的家庭月平均用電產(chǎn)生的耗碳量（單位：千克）數(shù)據(jù)，依次為：76，78，77，79，78，75，78，80，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A．77 B．78 C．79 D．80【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義即可得出答案．【解答】解：這組數(shù)據(jù)中78出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)是78．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了眾數(shù)，給定一組數(shù)據(jù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)，稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．6．（3分）智慧農(nóng)業(yè)廣泛應(yīng)用智能機(jī)器人．某品牌智能機(jī)器人的一個(gè)機(jī)械手平均每分鐘采摘10個(gè)蘋(píng)果．若該機(jī)器人搭載m個(gè)機(jī)械手（m＞1），則該機(jī)器人平均每分鐘采摘的蘋(píng)果個(gè)數(shù)為（）A．6m B．m+10 C．60m D．10m【分析】根據(jù)每個(gè)機(jī)械手摘的數(shù)量乘機(jī)械手的數(shù)量，即可求出m（m＞1）個(gè)機(jī)械手平均每分鐘可以采摘的蘋(píng)果數(shù)．【解答】解：m（m＞1）個(gè)機(jī)械手每分鐘采摘蘋(píng)果：10m，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列代數(shù)式．7．（3分）如圖，AB∥CD，直線EF與直線AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線EG與直線CD交于點(diǎn)G．若∠1＝70°，∠2＝50°，則∠GEF的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．65° D．70°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝70°，∴∠GFE＝∠1＝70°．又∵∠EGF＝∠2＝50°，∴∠GEF＝180°﹣50°﹣70°＝60°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，AC，BC為⊙O的弦，連接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，則∠BCO的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．55°【分析】根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系得∠ACB=12∠AOB＝20°，再根據(jù)∠OCA＝30°即可得出∠【解答】解：∵∠AOB＝40°，∴∠ACB=12∠∵∠OCA＝30°，∴∠BCO＝∠OCA+∠ACB＝50°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，將△ABC沿折痕AD折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)E處，若AB＝4，BC＝5，AC＝6，則△CDE的周長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．6.5 D．7【分析】由折疊性質(zhì)得AE＝AB＝4，DE＝BD，進(jìn)而得CE＝AC﹣AE＝2，CD+DE＝BC＝5，由此即可得出△CDE的周長(zhǎng)．【解答】解：∵AB＝4，BC＝5，AC＝6，∴由折疊的性質(zhì)得：AE＝AB＝4，DE＝BD，∴CE＝AC﹣AE＝6﹣4＝2，CD+DE＝CD+BD＝BC＝5，∴△CDE的周長(zhǎng)為：CE+CD+DE＝2+5＝7．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的折疊變換及其性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)D形的折疊變換及其性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．（3分）中國(guó)式現(xiàn)代化取得了彪炳史冊(cè)的偉大成就，極大地提升了我國(guó)的綜合國(guó)力與國(guó)際影響力．據(jù)世界銀行公布的2024年各國(guó)GDP數(shù)據(jù)，可知2024年中國(guó)GDP總量為18.53萬(wàn)億美元．附：世界銀行公布的2024年GDP排名前20名的部分國(guó)家數(shù)據(jù)表國(guó)家GDP總量（單位：萬(wàn)億美元）國(guó)家GDP總量（單位：萬(wàn)億美元）德國(guó)4.59巴西2.33印度3.93俄羅斯2.05英國(guó)3.49韓國(guó)1.76法國(guó)3.13瑞士0.93預(yù)計(jì)2025年中國(guó)GDP總量的增長(zhǎng)率為5%左右，請(qǐng)你根據(jù)以上信息估算：2025年中國(guó)GDP的增長(zhǎng)量與下列哪個(gè)國(guó)家2024年GDP總量最接近？（）A．法國(guó) B．瑞士 C．巴西 D．英國(guó)【分析】求出2025年中國(guó)GDP的增長(zhǎng)量，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意可知，18.53×5%＝0.9265（萬(wàn)億美元），即2025年中國(guó)GDP的增長(zhǎng)量與瑞士2024年GDP總量最接近，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，正確列式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．（3分）分解因式：mx﹣2my＝m（x﹣2y）．【分析】提取公因式m進(jìn)行因式分解即可．【解答】解：原式＝m?x﹣m?2y＝m（x﹣2y），故答案為：m（x﹣2y）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式法因式分解，找到正確的公因式是解題的關(guān)鍵．12．（3分）為了解某校學(xué)生利用全國(guó)中小學(xué)智慧教育平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)的情況，從該校全體3600名學(xué)生中，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示僅有3名學(xué)生從未使用該平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)．由此，估計(jì)該校全體學(xué)生中，從未使用該平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)的學(xué)生有108名．【分析】用總?cè)藬?shù)乘樣本中“未使用該平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)”的人數(shù)所占比例即可得．【解答】解：估計(jì)該校全體學(xué)生中，從未使用該平臺(tái)輔助學(xué)習(xí)的學(xué)生有：3600×3故答案為：108．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查樣本估計(jì)總體，熟練掌握樣本估計(jì)總體的思想及計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．13．（3分）分式方程3x+1=22【分析】利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：原方程去分母得：6x﹣3＝2x+2，解得：x＝1.25，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1.25是分式方程的解，故答案為：x＝1.25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，則OA的長(zhǎng)為6．【分析】由垂徑定理得到AB＝2AC＝6，即可得到OA的長(zhǎng)．【解答】解：∵OC⊥AB于點(diǎn)C，∴AB＝2AC＝2×3＝6，∴OA＝AB＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，關(guān)鍵是由垂徑定理推出AB＝2AC．15．（3分）如圖，五邊形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，則∠A+∠E＝205°．【分析】先根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理求出五邊形的內(nèi)角和，從而得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，再根據(jù)已知條件求出答案即可．【解答】解：∵五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，∵∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，∴∠A+∠E＝540°﹣120°﹣110°﹣105°＝205°，故答案為：205°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解題關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理．16．（3分）衣服穿戴整不整齊，系好第一?？圩雍苤匾嗌倌赀~開(kāi)人生第一步就要走正道，要嚴(yán)格遵守國(guó)家法律法規(guī)．同樣的道理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先就必須遵守?cái)?shù)學(xué)中的基本法則．例如：下面命題的推理過(guò)程所得出的錯(cuò)誤結(jié)論就是由于不遵守?cái)?shù)學(xué)的基本法則導(dǎo)致的．命題：如果a，b，c為實(shí)數(shù)，且滿足a+b＝﹣c．那么2＝1．推理過(guò)程如下：第一步：根據(jù)上述命題條件有a+b＝﹣c；①第二步：根據(jù)七年級(jí)學(xué)過(guò)的整式運(yùn)算法則有a＝2a﹣a，b＝2b﹣b，c＝2c﹣c；②第三步：把②代入①，可得（2a﹣a）+（2b﹣b）＝﹣（2c﹣c）；③第四步：把③兩邊利用移項(xiàng)、去括號(hào)法則、加法交換律等，變形可得2（a+b+c）＝（a+b+c）；④第五步：把④兩邊同時(shí)除以（a+b+c），得2＝1．⑤請(qǐng)你判斷上述推理過(guò)程中，第⑤步是錯(cuò)誤的，它違背了數(shù)學(xué)的基本法則．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，逐步分析即可．【解答】解：∵等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的整式，或是等式左右兩邊同時(shí)乘方，等式仍然成立．∴對(duì)于等式2（a+b+c）＝（a+b+c），當(dāng)a+b+c＝0時(shí)，該等式恒成立，當(dāng)a+b+c≠0，兩邊同時(shí)除以（a+b+c），得2＝1，∵a+b＝﹣c，∴a+b+c＝0，∴上述推理過(guò)程中，第⑤步是錯(cuò)誤的；故答案為：⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的性質(zhì)，熟記相關(guān)結(jié)論即可．二、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（6分）計(jì)算：|22?1|+(15)【分析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算后再算加減即可．【解答】解：原式=2=22【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18．（6分）解不等式組：1+2x【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解了確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣7，解不等式②，得x≤2，∴不等式組的解集為﹣7＜x≤2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．19．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交CA于點(diǎn)M，交CB于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)D（1）求∠BCD的度數(shù)；（2）若BC＝2.5，求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線定義即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明∠A＝∠ACD，得AD＝CD．進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝72°，∴∠ACB＝∠B＝72°，由作圖可知：CD是∠ACB的角平分線，∴∠BCD（2）∵∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∠B＝72°，∴∠BDC＝∠B，∴CD＝CB，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACD＝36°，∴∠A＝∠BDC﹣∠ACD＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AD＝BC＝2.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，角平分線定義，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．20．（8分）2025年5月18日，湖南省第三屆大中小學(xué)閱讀教育論壇在長(zhǎng)沙舉行．論壇聚焦美育與閱讀融合．為探索美育與閱讀融合的新路徑，某校舉行了以“美育與閱讀融合”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽成績(jī)以等第形式呈現(xiàn)，隨機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下兩幅待完善的統(tǒng)計(jì)圖表．（A代表優(yōu)秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．）等第頻數(shù)頻率A20mB300.30Cn0.44D60.06根據(jù)圖表中所給信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)；表中m＝0.2，n＝44；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“A等”所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為72度；（3）若該校八年級(jí)一班和二班恰好各有2名學(xué)生的參賽成績(jī)是“A等”，從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加以“美育與閱讀融合”為主題的校級(jí)閱讀分享活動(dòng)，請(qǐng)用列表法或樹(shù)狀圖法求選出的2名學(xué)生恰好來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的概率．【分析】（1）由A等頻數(shù)及頻率求解即可得出被調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)求解即可得出m、n的值；（2）用360°乘A等頻率即可；（3）畫(huà)樹(shù)狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為30÷0.3＝100（名），m＝20÷100＝0.2，n＝100×0.44＝44，故答案為：100，0.2，44；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“A等”所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為360°×0.2＝72°，故答案為：72；（3）記“選出的2名學(xué)生恰好來(lái)自同一個(gè)班級(jí)”為事件A，設(shè)一班的2名學(xué)生為甲和乙，二班的2名學(xué)生為丙和丁，畫(huà)出樹(shù)狀圖如下：一共有12種等可能的結(jié)果，其中事件A包含4種可能的結(jié)果．∴P(【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻數(shù)分布表，頻數(shù)、頻率的計(jì)算，列表法和樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率，熟悉頻數(shù)、頻率的關(guān)系，掌握列表法和樹(shù)狀圖法求等可能事件概率的方法是解題的關(guān)鍵．21．（8分）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且BE＝DF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）連接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得AB＝CD，AB∥CD，再根據(jù)BE＝DF得AE＝CF，由此根據(jù)平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，證明四邊形EBCH是矩形得EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，進(jìn)而得DH＝7，再根據(jù)BE＝DF＝5得HF＝2，然后在Rt△EFH中，由勾股定理即可求出EF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∵BE＝DF，∴AB﹣BE＝CD﹣DF，∴AE＝CF，又∵AB∥CD，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，如圖所示：∴∠EHC＝∠EHF＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，BC＝12，∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°，∴四邊形EBCH是矩形，∴EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，∴DH＝CD﹣CH＝12﹣5＝7，∵BE＝DF＝5，∴HF＝DH﹣DF＝7﹣5＝2，在Rt△EFH中，由勾股定理得：EF=E【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，理解正方形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定，勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22．（9分）為落實(shí)科技興農(nóng)政策，某鄉(xiāng)辦食品企業(yè)應(yīng)用新科技推動(dòng)農(nóng)產(chǎn)品由粗加工向精加工轉(zhuǎn)變．根據(jù)市場(chǎng)需求，該食品企業(yè)將收購(gòu)的農(nóng)產(chǎn)品加工成A，B兩種等級(jí)的農(nóng)產(chǎn)品對(duì)外銷售，已知銷售6千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和4千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品共收入112元，銷售4千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和2千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品共收入68元．（不考慮加工損耗）（1）求每千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和每千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)分別為多少元？（2）若該食品企業(yè)以每千克8元購(gòu)進(jìn)6000千克農(nóng)產(chǎn)品，全部加工后對(duì)外銷售，要求總利潤(rùn)不低于16000元，則至少需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品多少千克？【分析】（1）設(shè)每千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x元，每千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)為y元，根據(jù)銷售6千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和4千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品共收入112元，銷售4千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和2千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品共收入68元，列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品m千克，則需加工B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品（6000﹣m）千克，根據(jù)總利潤(rùn)不低于16000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)每千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x元，每千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)為y元，由題意得：6x解得：x=12答：每千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)為12元，每千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售單價(jià)為10元；（2）設(shè)需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品m千克，則需加工B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品（6000﹣m）千克，由題意得：（12﹣8）m+（10﹣8）（6000﹣m）≥16000，解得：m≥2000，答：至少需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品2000千克．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．23．（9分）如圖，某景區(qū)內(nèi)兩條互相垂直的道路a，b交于點(diǎn)M，景點(diǎn)A，B在道路a上，景點(diǎn)C在道路b上．為了進(jìn)一步提升景區(qū)品質(zhì)，景區(qū)管委會(huì)在道路b上又開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D．經(jīng)測(cè)得景點(diǎn)C位于景點(diǎn)B的北偏東60°方向上，位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向上，景點(diǎn)B位于景點(diǎn)D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）求景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】（1）由題意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖，由題意點(diǎn)C位于景點(diǎn)B的北偏東60°方向上，位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向上，景點(diǎn)B位于景點(diǎn)D的南偏西45°方向上，∴∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°，∴∠ACB＝∠BCM﹣∠ACM＝60°﹣30°＝30°；（2）方法一：∵∠CBE＝60°，∴∠CBM＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°，由（1）得∠ACB＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，又∵AB＝800m，∴AB＝AC＝800m，在Rt△ACM中，sin∠∴AM=AC?CM=AC?∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，∴DM＝BM＝1200m，∴DC=∴景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離為(1200?4003方法二：∵∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，BE∥AF∥DM，∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°．設(shè)AM＝xm，∴AC＝2xm，∴CM=3AM=3x（在Rt△BCM中，tan∠即3=解得x＝400，經(jīng)檢驗(yàn)得x＝400是原方程的解，∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，∴BM＝DM＝1200m，∴DC=∴景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離為（1200?4003）m【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角定義．24．（10分）我們約定：當(dāng)x1，y1，x2，y2滿足（x1+y2）2+（x2+y1）2＝0，且x1+y1≠0時(shí)，稱點(diǎn)（x1，y1）與點(diǎn)（x2，y2）為一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”．若某函數(shù)圖象上至少存在一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，就稱該函數(shù)為“對(duì)偶函數(shù)”．請(qǐng)你根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)你判斷下列說(shuō)法是否正確（在題后相應(yīng)的括號(hào)中，正確的打“?”，錯(cuò)誤的打“×”）；①函數(shù)y=kx（k是非零常數(shù)）的圖象上存在無(wú)數(shù)對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”；②函數(shù)y＝﹣2x+1一定不是“對(duì)偶函數(shù)”；?③函數(shù)y＝x2+x﹣1的圖象上至少存在兩對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”．×（2）若關(guān)于x的一次函數(shù)y＝k1x+b1與y＝k2x+b2（b1，b2都是常數(shù)，且b1?b2＜0）均是“對(duì)偶函數(shù)”，求這兩個(gè)函數(shù)的圖象分別與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形的面積之和；（3）若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝2ax2﹣1是“對(duì)偶函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）①根據(jù)“對(duì)偶點(diǎn)”判斷即可；②設(shè)（n，﹣2n+1）和（2n﹣1，﹣n）是y＝﹣2x+1圖象上一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，可得得n＝1，此時(shí)n+（﹣2n+1）＝0，不符合“對(duì)偶點(diǎn)”定義，即可判斷；③設(shè)（t，t2+t﹣1）和（﹣t2﹣t+1，﹣t）是函數(shù)y＝x2+x﹣1的圖象上的“對(duì)偶點(diǎn)”，故（﹣t2﹣t+1）2+（﹣t2﹣t+1）﹣1＝﹣t，解得t的值可知（1，1）和（﹣1，﹣1）是一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，判斷函數(shù)y＝x2+x﹣1的圖象上只有一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”；（2）由題意可求出兩個(gè)一次函數(shù)為y＝x+b1，y＝x+b2，畫(huà)出圖象由三角形面積公式可得答案；（3）由題意可得a≠0，且x1≠﹣y1時(shí)，可得2ax12?x1+12a?1＝0，當(dāng)Δ＝0，即8a﹣3＝0時(shí)，可得x【解答】解：（1）①設(shè)函數(shù)y=kx圖象上任意一點(diǎn)（m，km），可知（?km，﹣而（m，km）與（?km∴函數(shù)y=kx（故答案為：?；②設(shè)（n，﹣2n+1）和（2n﹣1，﹣n）是y＝﹣2x+1圖象上一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，∴﹣n＝﹣2（2n﹣1）+1，解得n＝1，此時(shí)n+（﹣2n+1）＝0，不符合“對(duì)偶點(diǎn)”定義，∴函數(shù)y＝﹣2x+1一定不是“對(duì)偶函數(shù)”，故答案為：?；③設(shè)（t，t2+t﹣1）和（﹣t2﹣t+1，﹣t）是函數(shù)y＝x2+x﹣1的圖象上的“對(duì)偶點(diǎn)”，∴（﹣t2﹣t+1）2+（﹣t2﹣t+1）﹣1＝﹣t，變形整理得：（t+1）（t﹣1）（t2+2t﹣1）＝0，解得t1＝﹣1，t2＝1，t3=2?1，t4當(dāng)t1＝﹣1或t2＝1時(shí)，（1，1）和（﹣1，﹣1）是一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，符合題意；當(dāng)t3=2?1，t4=?2?1時(shí)，t+（t∴函數(shù)y＝x2+x﹣1的圖象上只有一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，故答案為：×；（2）由題意可得：x2＝﹣y1，y2＝﹣x1，則點(diǎn)（x1，y1）與點(diǎn)（﹣y1，﹣x1）在x1≠﹣y1是一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，∵y＝k1x+b1是“對(duì)偶函數(shù)”，∴其圖象上必存在一對(duì)“對(duì)偶點(diǎn)”，有y1=k1同理可得k2＝1，∴兩個(gè)一次函數(shù)為y＝x+b1，y＝x+b2，∵b1，b2都是常數(shù)，且b1?b2＜0，∴兩個(gè)一次函數(shù)的圖象分別與兩坐標(biāo)軸圍成的平面圖形是有公共直角頂點(diǎn)的分別位于二、四象限的兩個(gè)等腰直角三角形，如圖：∴其面積之和S=1（3）由題意可得a≠0，且x1≠﹣y1時(shí)，有y1兩式相減可得x1∴y1代入①整理可得2ax12?x∵二次函數(shù)y＝2ax2﹣1是“對(duì)偶函數(shù)”，∴關(guān)于x1的一元二次方程2ax12?x而Δ＝1﹣8a（12a