/四川省2023年普通高中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分.第Ⅰ卷為選擇題，第Ⅱ卷為非選擇題.第Ⅰ卷（選擇題共40分）注意事項：（1）答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必用藍、黑墨水鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、準考證號、考試科目等填寫在答題卡上，考試結(jié)束時，由監(jiān)考人員將試卷和答題卡一并收回.（2）每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試卷上.一、選擇題：本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】直接求交集即可.【詳解】集合，，則.故選：C.2.已知是虛數(shù)單位，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)乘法運算求解即可.【詳解】，故選：B3.已知向量，，則（）A. B.14C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標表示求解.【詳解】因為向量，，所以.故選：A4.已知直線的方程為，則直線的斜率為（）A. B. C. D.2【正確答案】A【分析】根據(jù)直線方程直接求解.【詳解】由線的方程為可知，斜率.故選：A5.某高中一、二、三年級學生參加社團活動的人數(shù)分別為500，300，200，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取100人參加藝術(shù)節(jié)表演，則抽出的高一年級學生人數(shù)為（）A.20 B.30 C.40 D.50【正確答案】D【分析】直接根據(jù)比例關(guān)系計算得到答案.【詳解】抽出的高一年級學生人數(shù)為.故選：D.6.已知，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解.【詳解】因為，所以，故選：C7.某同學計劃在四大名著《三國演義》《水滸傳》《西游記》《紅樓夢》中隨機選一本作為課外讀本，則《紅樓夢》恰好被選中的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】直接計算概率即可.【詳解】《紅樓夢》恰好被選中的概率為.故選：D.8.函數(shù)的圖象是（）A. B.C D.【正確答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)定義域及函數(shù)值的正負判斷即可.【詳解】因為的定義域為，故BD錯誤；又，故C錯誤；故A正確.故選：A9.若球的表面積為，則頂點均在該球球面上的正方體體積為（）A.256 B.64 C.27 D.8【正確答案】B【分析】根據(jù)正方體體對角線為外接球直徑計算即可.【詳解】因為球的表面積為，所以，解得，設(shè)正方體的棱長為，因為正方體外接球的直徑為正方體的體對角線，所以，即，所以.故選：B10.若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，利用判別式即可求出的范圍．【詳解】函數(shù)，，若在遞增，則在恒成立，可得,解得，故選：D第Ⅱ卷（非選擇題共60分）注意事項：（1）用藍、黑墨水鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上.（2）答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚.二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.11.若，求圓心坐標為___________.【正確答案】【分析】將圓的一般方程化為標準方程，即可得出答案.【詳解】解：由，可得圓的標準方程為，所以圓心坐標為.故答案為.12.已知，則的最小值為_____________.【正確答案】6【分析】利用基本不等式即可求解．【詳解】，，當且僅當時，取“”，所以最小值為6，故613.函數(shù)的最小正周期是______．【正確答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，再求最小正周期即可.【詳解】函數(shù)，最小正周期是.故14.如圖，在正方體中，直線與平面所成角的正切值為______.【正確答案】【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)及線面角定義求解.【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，在正方體中，平面，故在平面上的射影為，所以為直線與平面所成角，故.故三、解答題：本大題共5個小題，共44分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列等差數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式列方程求出公差即可得解；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式得解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知，16.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大?。唬?）若，，求a.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理及同角三角函數(shù)的關(guān)系得解；（2）由余弦定理直接求解.【小問1詳解】由正弦定理可得：，由知，可得，即，由知，.【小問2詳解】由余弦定理可得：，解得.17.如圖，在三棱錐中，底面是邊長為4的正三角形，且，.（1）求證：平面；（2）求點A到平面的距離.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)邊長的關(guān)系可得線線垂直，再由線面垂直的判定定理證明；（2）利用等體積法求點到面的距離.【小問1詳解】，，,，,，,又平面,平面.【小問2詳解】設(shè)點A到平面的距離為，中邊上的高為.在中，邊上的高，所以，又所以，即,所以，解得.即點A到平面的距離為.18.已知點，在橢圓上.（1）求橢圓C離心率；（2）過點P的直線與橢圓的另一個交點為R，當（為坐標原點）的面積最大時，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）根據(jù)橢圓所過頂點求出即可得解；（2）設(shè)，表示出三角形的面積，再由的范圍求最值，確定出點坐標，得出直線方程即可.【小問1詳解】因為點，在橢圓上，所以，，所以，即，所以橢圓離心率.【小問2詳解】設(shè)，如圖，則，由在橢圓上可知，所以，所以當時，有最大值，此時或，所以直線的方程為或，即直線為或.19.已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【正確答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）不等式恒成