/2024-2025學(xué)年廣東省汕頭市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則（

）A． B． C． D．2．已知直線的傾斜角為，則（）A． B． C． D．3．圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)后的方程為（

）A． B． C． D．4．命題方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則使命題成立的充分必要條件是（）A． B．C． D．5．設(shè)數(shù)列滿足，且，則（

）A．-2 B． C． D．36．已知兩圓和恰有三條公切線，若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，直線不過(guò)點(diǎn)，且與左支交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)是的倍且兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之和為，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列滿足，且，若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．空間向量，若⊥，則B．若對(duì)平面中任意一點(diǎn)，有則，，三點(diǎn)共線.C．已知是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底.D．任意向量，滿足.10．已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．當(dāng)取得最大值時(shí) D．當(dāng)取得最大值時(shí)11．已知，，直線：，：，且，則（

）A． B．C． D．12．如圖所示．已知橢圓方程為，F(xiàn)1、F2為左右焦點(diǎn)，下列命題正確的是（

）A．P為橢圓上一點(diǎn)，線段PF1中點(diǎn)為Q，則為定值B．直線與橢圓交于R，S兩點(diǎn)，A是橢圓上異與R，S的點(diǎn)，且、均存在，則C．若橢圓上存在一點(diǎn)M使，則橢圓離心率的取值范圍是D．四邊形為橢圓內(nèi)接矩形，則其面積最大值為2ab三、填空題（本大題共4小題）13．已知方程表示的圓中，當(dāng)圓面積最小時(shí)，此時(shí).14．已知拋物線的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則．15．設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前99項(xiàng)和為.16．正四面體的棱長(zhǎng)為12，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到的距離為．四、解答題（本大題共6小題）17．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，證明是等差數(shù)列，并求的前項(xiàng)和．18．已知中角，，所對(duì)的邊分別為，，，設(shè)其面積為，．(1)求角；(2)若，點(diǎn)在邊上，若是的平分線，且，求．19．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．(1)求的值；(2)直接寫(xiě)出該函數(shù)在定義域中的單調(diào)性（不需要證明），若對(duì)于任意，不等式恒成立，求的范圍．20．如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，平面，過(guò)的平面交平面于，．

(1)證明：平面；(2)若平面平面，，四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.21．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且，數(shù)列的前項(xiàng)和（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)令，若（為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對(duì)任意，都有成立.22．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線（直線的斜率不為0）與橢圓相交于兩點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)作與直線的傾斜角互補(bǔ)的直線，與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的值.

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)在坐標(biāo)平面的投影確定點(diǎn)坐標(biāo)再表示向量即可.【詳解】根據(jù)題意點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為，所以.故選：C.2．【正確答案】A【分析】首先確定，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由條件可知，，則，所以，解得：，,故選：A3．【正確答案】A【分析】根據(jù)已知圓的圓心求出關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓的圓心，求出半徑，即可得到所求結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A，所以圓的圓心為，半徑為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，所以，解得：，所以所求圓的圓心為，半徑為,故所求圓的方程為.故選：A.4．【正確答案】B【分析】求出當(dāng)命題為真命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，再結(jié)合充要條件的定義可得出結(jié)論.【詳解】若命題為真命題，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，，解得，因此，使命題成立的充分必要條件是.故選：B．5．【正確答案】A【分析】判斷出數(shù)列的周期為4，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，，顯然數(shù)列的周期為4，而，因此.故選：A.6．【正確答案】B【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)三條公切線，推出兩個(gè)圓外切，求出，利用基本不等式求解.【詳解】根據(jù)題意可得，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為和，圓心為和，半徑分別為2，1，若兩圓恰有三條公切線，則等價(jià)為兩圓外切，則滿足圓心距，即則，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即，取等號(hào).故選：B7．【正確答案】B【分析】設(shè)，的周長(zhǎng)為，，然后根據(jù)已知條件結(jié)合雙曲線的定義求解出的值，則的值可求，故離心率可求.【詳解】設(shè)的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，由題意可得，解得，，因?yàn)?，，所以，所以，又，解得（舍去?fù)值），所以離心率，故選：B．8．【正確答案】D【分析】由可得數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，故可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而通過(guò)裂項(xiàng)相消法得到數(shù)列的前項(xiàng)和，最后代入得到.【詳解】，，數(shù)列是等差數(shù)列，，，，，數(shù)列的公差，，既，故，，，故選：D.9．【正確答案】ABC【分析】根據(jù)空間向量的基本概念，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，空間向量，若⊥，，夾角為，則，A正確；B選項(xiàng)，，所以，，三點(diǎn)共線，B正確；C選項(xiàng)，是空間的一個(gè)基底，則不存在使得，設(shè)，即，即，此方程無(wú)解，故不共面，則也是空間的一個(gè)基底，C正確；D選項(xiàng)，不妨設(shè)，則，，此時(shí)，D錯(cuò)誤.故選：ABC10．【正確答案】ABC【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式列方程得到；B選項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷；CD選項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和二次函數(shù)單調(diào)性判斷.【詳解】設(shè)公差為，則，所以，解得，故A正確；，故B正確；，所以當(dāng)時(shí)，最大，故C正確，D錯(cuò).故選：ABC.11．【正確答案】ABD【分析】由，得，利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷各選項(xiàng)中的不等式是否成立.【詳解】由，得，即，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以有，A選項(xiàng)正確；由，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以有，B選項(xiàng)成立；由，有，，，則，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，時(shí)，有最小值，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，有，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.12．【正確答案】ACD【分析】利用橢圓的定義、直線斜率公式、離心率公式，結(jié)合橢圓和矩形的對(duì)稱(chēng)性、基本不等式、余弦定理逐一判斷即可.【詳解】A：連接，由橢圓的定義可知，線段中點(diǎn)為Q，所以，于是有，所以本選項(xiàng)命題正確；B：直線與橢圓交于R，S兩點(diǎn)，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，而橢圓是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱(chēng)圖形，所以R，S兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)，，，因?yàn)锳是橢圓上異與R的點(diǎn)，所以有，兩個(gè)式相減，得，因此，所以本選項(xiàng)命題是假命題；C：橢圓上存在一點(diǎn)M使，由余弦定理可知：，即，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即M為上（下）頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，而，所以，因此本選項(xiàng)命題是真命題；D：因?yàn)榫匦魏驮摍E圓的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心相同，所以設(shè)矩形在第一象限的頂點(diǎn)為，即，所以矩形的面積為，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此本選項(xiàng)命題是真命題，故選：ACD關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義、橢圓和矩形的對(duì)稱(chēng)性、基本不等式進(jìn)行求解.13．【正確答案】0【分析】根據(jù)圓的半徑最小時(shí)圓的面積最小，然后考察圓的半徑即可.【詳解】由，得，易知當(dāng)，圓的半徑最小，即圓的面積最小.故014．【正確答案】1【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性以及等邊三角形的邊角關(guān)系即可代入求解.【詳解】設(shè)，則,即，所以，由于又，所以，因此，故關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，由得,將代入拋物線中得所以，故115．【正確答案】/【分析】先根據(jù)前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系得，然后求得，再根據(jù)裂項(xiàng)相消求和法求解即可得答案.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，將與式相減得：，即，當(dāng)時(shí)，也適用，所以，，所以，故答案為.16．【正確答案】【分析】先根據(jù)正四面體的體積求出內(nèi)切球的半徑，取的中點(diǎn)為，再根據(jù)數(shù)量積得到，可得當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，取得最小值，再求出球心到點(diǎn)的距離，從而可得點(diǎn)到的距離為，進(jìn)而求解即可．【詳解】由正四面體的棱長(zhǎng)為12，則其高為，則其體積為，設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，解得，如圖，取的中點(diǎn)為，則，顯然，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，取得最小值，設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，可求得，則球心到點(diǎn)的距離，所以?xún)?nèi)切球上的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為，即當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到的距離為．故．關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查幾何體的內(nèi)切球問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)正四面體的體積可求出內(nèi)切球的半徑，得出點(diǎn)P到AD的距離為球心O到點(diǎn)E的距離減去半徑．17．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）設(shè)的公比為（），然后根據(jù)題意列方程可求出，從而可求出；（2）由（1）可得，從而可證得是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可求出.【詳解】（1）設(shè)的公比為（），由，得，解得或（舍去），因?yàn)?，所以．?）由（1）可知，，則．因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故．18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形面積公式和余弦定理可求角；（2）利用余弦定理和角平分線的性質(zhì)建立方程組，結(jié)合面積公式可得答案.【詳解】（1）依題意，，因?yàn)?，所以．?）中，，．①又，，即，②聯(lián)立①②得，．．19．【正確答案】(1)(2).【分析】（1）由是定義在上奇函數(shù)可得，計(jì)算可得，根據(jù)奇函數(shù)對(duì)稱(chēng)性，帶特殊值計(jì)算可得，最后檢驗(yàn)可得；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性建立不等式計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，解得，即又由，可得，解得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以.（2）由（1）知，，可得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，

對(duì)于任意，不等式恒成立，

因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，即恒成立，又由，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由已知的線面位置關(guān)系，證明平面平面，可證平面；

（2）交于O，由已知條件證明兩兩互相垂直，求出的值，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求兩個(gè)平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面平面，即平面，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以?/p>

又平面，平面，所以平面，

四邊形為菱形，則，平面，平面，故平面，又，平面，所以平面平面.又平面，所以平面.（2）由（1）知四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為菱形，因?yàn)椋詾榈冗吶切?

連接交于O，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?又，，所以，因?yàn)樗睦忮F的體積為，即，解得，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，所以.

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即令，則，所以，平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面與平面的夾角為，夾角范圍為大于等于小于等于，，故平面與平面的夾角的余弦值為.21．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)的圖象過(guò)原點(diǎn)得到，然后利用求即可；（2）由得到，然后利用錯(cuò)位相減法求；（3）由題意得，將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，然后分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論.【詳解】（1）∵的圖象過(guò)原點(diǎn)，則，∴.∴.當(dāng)時(shí)，，又∵適合，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由得：（），∴，①.②②－①得：，∴.（3），故.要使恒成立，即要恒成立，即要恒成立.下面分為奇數(shù)、為偶數(shù)討論：①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即恒成立.又的最小值為1，∴.②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即恒成立.又的最大值為，∴.綜上，，又為非零整數(shù)，∴時(shí)，使得對(duì)任意，都有成立.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第3小問(wèn)的解決關(guān)鍵是分為奇數(shù)、為偶數(shù)討論，如此才能處理恒成立的問(wèn)題.22．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率可得橢圓方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算得到答案.