§6.1數(shù)列的概念課標要求1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).1.數(shù)列的有關概念概念含義數(shù)列按照排列的一列數(shù)

數(shù)列的項數(shù)列中的

通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與它的之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式

遞推公式如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式數(shù)列{an}的前n項和把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝

2.數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)

無窮數(shù)列項數(shù)

項與項間的大小關系遞增數(shù)列an＋1an

其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1an

常數(shù)列an＋1an

擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列與函數(shù)的關系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n).1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)數(shù)列1，2，3與3，2，1是兩個不同的數(shù)列.()(2)數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項公式只能是an＝1＋(-1)n(3)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.()(4)若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點.()2.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用小石子來研究數(shù).如圖中的數(shù)1，5，12，22，…稱為五邊形數(shù)，則第8個五邊形數(shù)是.

3.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝n＋an－1(n≥2，n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝.

4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2－4n＋1，則an＝.

1.靈活應用兩個常用結論(1)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則an＝S(2)在數(shù)列{an}中，若an最大，則a若an最小，則an≤an-1,an≤2.掌握數(shù)列的函數(shù)性質由于數(shù)列可以看作一個關于n(n∈N*)的函數(shù)，因此它具備函數(shù)的某些性質：(1)單調性——若an＋1>an，則{an}為遞增數(shù)列；若an＋1<an，則{an}為遞減數(shù)列，否則為擺動數(shù)列或常數(shù)列(an＋1＝an).(2)周期性——若an＋k＝an(k為非零常數(shù))，則{an}為周期數(shù)列，k為{an}的一個周期.3.關注數(shù)列通項公式的注意點(1)并不是所有的數(shù)列都有通項公式；(2)同一個數(shù)列的通項公式在形式上未必唯一；(3)對于一個數(shù)列，如果只知道它的前幾項，而沒有指出它的變化規(guī)律，是不能確定這個數(shù)列的.題型一由an與Sn的關系求通項公式例1(1)(多選)(2024·黃岡模擬)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，Sn－1＝3an(n≥2)，則下列結論中正確的是()A.a2＝13aB.數(shù)列{an}是等比數(shù)列C.an＋1＝43an(n≥2D.數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列(2)(2024·天津模擬)設數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n＋1(n∈N*)，則數(shù)列1an的前5項和為思維升華an與Sn的關系問題的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解.(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解.跟蹤訓練1(1)(2024·漳州模擬)已知各項均不為0的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若3Sn＝an＋1，則a8a7等于A.－12 B.－1C.12 D.(2)(2025·廣州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋n，則Sn＋9a題型二由數(shù)列的遞推關系求通項公式命題點1累加法例2(2024·唐山模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋a1＋2n，a10＝130，則a1等于()A.1 B.2C.3 D.4命題點2累乘法例3已知數(shù)列{an}滿足2anan＋1-an＝n，a1思維升華(1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法，即可求數(shù)列{an}的通項公式.(2)形如an＋1an＝f(n)的數(shù)列，利用累乘法，即可求數(shù)列{跟蹤訓練2(1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝6，Sn＝(n＋1)an2(n∈N*)，則數(shù)列{aA.an＝3n B.an＝3nC.an＝n＋4 D.an＝n2＋2(2)南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數(shù)列的第20項為.

題型三數(shù)列的性質命題點1數(shù)列的單調性例4(2024·阜陽模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＝2n2＋λn(λ∈R)，則“{an}為遞增數(shù)列”是“λ≥0”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件命題點2數(shù)列的周期性例5(2025·孝感模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝－2，anan＋1＝an－1，則數(shù)列{an}的前2025項的積為()A.－1 B.－2C.－3 D.3命題點3數(shù)列的最值例6數(shù)列{bn}滿足bn＝3n-72n-1，則當n＝時，b思維升華(1)解決數(shù)列的周期性問題，先求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.(2)解決數(shù)列的單調性問題，常用作差比較法，根據(jù)差的符號判斷數(shù)列{an}的單調性.跟蹤訓練3(1)(2024·周口模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，則a2025的值為()A.5 B.－5C.4 D.－4(2)(多選)(2024·泰安模擬)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝92n-7(n∈N*)，前n項和為Sn，則下列說法正確的是A.數(shù)列{an}為遞減數(shù)列B.使an∈Z的項共有5項C.數(shù)列{an}有最大項a4D.使Sn取得最小值的n為4

答案精析落實主干知識1.確定的順序每一個數(shù)序號na1＋a2＋…＋an2.有限無限><＝自主診斷1.(1)√(2)×(3)×(4)√2.92解析∵5－1＝4，12－5＝7，22－12＝10，∴相鄰兩個圖形的小石子數(shù)的差值依次增加3，∴第5個五邊形數(shù)是22＋13＝35，第6個五邊形數(shù)是35＋16＝51，第7個五邊形數(shù)是51＋19＝70，第8個五邊形數(shù)是70＋22＝92.3.n解析數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝n＋an－1(n≥2，n∈N*)，可得a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…an－an－1＝n，以上各式相加可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2(n≥2)，又a1＝1符合該式，所以4.-2解析當n＝1時，a1＝S1＝－2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋1－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5.因為當n＝1時，不滿足an＝2n－5，所以an＝-2探究核心題型例1(1)ACD[由Sn－1＝3an(n≥2)，當n＝2時，S1＝a1＝3a2＝1，解得a2＝13，所以a2＝13a故A正確；當n≥1時，可得Sn＝3an＋1，所以Sn－Sn－1＝3an＋1－3an(n≥2)，所以an＝3an＋1－3an(n≥2)，即an＋1＝43an(n≥2)，而a2＝13a1，故C正確，由Sn－1＝3an(n≥2)，得Sn－1＝3(Sn－Sn－1)(n≥2)，即SnSn-1＝43(n≥2)，所以數(shù)列{S(2)22解析當n＝1時，a1＝3，當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n＋1，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1，兩式相減可得nan＝2，所以an＝2n又當n＝1時，a1＝2，所以a1不滿足上式，所以an＝3所以1a跟蹤訓練1(1)A[因為3Sn＝an＋1，則3Sn＋1＝an＋1＋1，兩式相減可得3an＋1＝an＋1－an，即2an＋1＝－an，令n＝7，可得2a8＝－a7，且an≠0，所以a8a7＝－(2)7解析因為Sn＝n2＋n，則當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，又當n＝1時，a1＝S1＝2，滿足an＝2n，故an＝2n，則S＝12n＋9n＋當且僅當n＝9n即n＝3時取等號，所以Sn＋9例2D[由題意可得an＋1－an＝a1＋2n，則可得a2－a1＝a1＋2，a3－a2＝a1＋4，…a10－a9＝a1＋18，將以上等式左右兩邊分別相加得a10－a1＝9a1＋9×(2＋18)2＝9即a10＝10a1＋90，又a10＝130，所以a1＝4.]例3210解析∵2ana∴2an＝n(an＋1－an)，即nan＋1＝(n＋2)an，可得an∴a20a19×a19a18×a18a17×a17a16×…×a3a2∴a20a1＝21×202跟蹤訓練2(1)A[當n＝1時，S1＝a1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n整理得(n－1)an＝nan－1，方法一即an得an＝a2×a3a2×a4a3×…×anan-1＝6×32×43×又S2＝2＋12·a2＝a2＋解得a1＝3，滿足上式，綜上，an＝3n(n∈N*).方法二即ann＝an-1所以數(shù)列an所以ann＝所以an＝3n(n∈N*).](2)191解析設該高階等差數(shù)列為{an}，則{an}的前7項分別為1，2，4，7，11，16，22.依題意a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，…a20－a19＝19，相加可得a20－a1＝1＋2＋3＋…＋19＝19×202所以a20＝190＋1＝191.例4C[由{an}為遞增數(shù)列得，an＋1－an＝[2(n＋1)2＋λ(n＋1)]－(2n2＋λn)＝λ＋4n＋2>0，n∈N*，則λ>－(4n＋2)對于n∈N*恒成立，得λ>－6，可得λ≥0?λ>－6，反之不行.]例5A[因為anan＋1＝an－1，an≠0，所以an＋1＝1－1a又a1＝－2，則a2＝32，a3＝13，a4＝－所以數(shù)列{an}的周期為3，且a1a2a3＝－1，設數(shù)列{an}的前n項積為Tn，則T2025＝a1a2a3…a2025＝(－1)675＝－1.]例645解析方法一∵bn＋1－bn＝3n∴當n≤3時，bn＋1>bn，{bn}單調遞增，當n≥4時，bn＋1<bn，{bn}單調遞減，故當n＝4時，(bn)max＝b4＝58方法二令b即3解得103≤n≤13又n∈N*，∴n＝4，故當n＝4時，(bn)max＝b4＝58跟蹤訓練3(1)C[因為a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，所以a3＝a2－a1＝4，a4＝a3－a2＝－1，a5＝a4－a3＝－5，a6＝a5－a4＝－4，a7＝a6－a5＝1，a8＝a7－a6＝5，故數(shù)列{an}的周期為6，所以a2025＝a6×337＋3＝a3＝4.](2)BC[畫出數(shù)列{an}的通項an＝92n-7(n∈N*)的