§3.5導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值課標(biāo)要求1.理解函數(shù)最值與極值的關(guān)系.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的方法.3.會用導(dǎo)數(shù)研究生活中的最優(yōu)化問題.1.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.2.求y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的.

(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上一定存在最值.()(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上不存在最值.()(3)函數(shù)的極大值不一定是最大值，但一定不是最小值.()(4)有極值的函數(shù)一定有最值，但有最值的函數(shù)不一定有極值.()2.函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在區(qū)間[－3，0]上的最大值、最小值分別是()A.1，－1 B.1，－17C.3，－17 D.9，193.函數(shù)y＝lnxx的最大值為(A.e－1B.eBC.e2 D.104.函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a在區(qū)間[0，2]上的最大值是3，則a的值為.

解題時靈活應(yīng)用以下幾個關(guān)鍵點(1)求最值時，應(yīng)注意極值點和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值.(2)對于一般函數(shù)而言，函數(shù)的最值必在下列各點中取得：導(dǎo)數(shù)為零的點、導(dǎo)數(shù)不存在的點、端點.題型一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例1已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－12ax2(1)若a＝e，求f(x)在[0，2]上的最值；(2)若a>0，求函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值.思維升華求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導(dǎo)函數(shù)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值.跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)＝x-ax－lnx(a∈R)，求f(x)在(0，e題型二已知函數(shù)的最值求參數(shù)例2(2024·淮安模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx，a∈R.若f(x)在[1，e]上的最小值為－2a，求a的取值范圍.思維升華含參數(shù)最值問題，關(guān)鍵是先討論函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性畫出草圖，借助函數(shù)圖象，分類討論最值問題，由最值求參數(shù)的值時，要注意檢驗所求的值是否滿足分類討論的條件.跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝xlnx－(a＋1)x＋1(a>0)，若f(x)在1，e上的值域為1-2e，-2題型三生活中的優(yōu)化問題例3我國是一個人口大國，產(chǎn)糧、儲糧是關(guān)系國計民生的大事.現(xiàn)某儲糧機構(gòu)擬在長100米，寬80米的長方形地面建立兩座完全相同的糧倉(設(shè)計要求：頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑之比為1∶10，糧倉高為50米，兩座糧倉連體緊靠矩形一邊)，已知稻谷容重為600千克每立方米，糧倉厚度忽略不計，估算兩個糧倉最多能儲存稻谷(π取近似值3)()A.噸 B.68160噸C.噸 D.噸思維升華解決最優(yōu)化問題，應(yīng)從以下幾個方面入手(1)設(shè)出變量，找出函數(shù)關(guān)系式，確定定義域.(2)在實際應(yīng)用問題中，若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個極值點，則它就是最值點.跟蹤訓(xùn)練3(2025·寧德模擬)為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”政策，某村在對口幫扶單位的支持下擬建一個生產(chǎn)農(nóng)機產(chǎn)品的小型加工廠.經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)該農(nóng)機產(chǎn)品當(dāng)年需投入固定成本10萬元，每年需另投入流動成本c(x)(單位：萬元)與lnx10成正比(其中x(單位：臺)表示產(chǎn)量)，并知當(dāng)生產(chǎn)20臺該農(nóng)機產(chǎn)品時，需要流動成本0.7萬元，每件產(chǎn)品的售價p(x)(單位：萬元)與產(chǎn)量x(單位：臺)的函數(shù)關(guān)系為p(x)＝－x100＋10x＋5150(其中x≥10).若生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完，則該工廠的最大年利潤為萬元.(參考數(shù)據(jù)：取ln2為0.7，ln3為1.1，ln

答案精析落實主干知識2.(1)極值(2)f(a)，f(b)自主診斷1.(1)√(2)×(3)√(4)×2.C[f

'(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f

'(x)>0，得x>1或x<－1，令f

'(x)<0，得－1<x<1，故f(x)在x＝－1處取得極大值，在x＝1處取得極小值，且f(－1)＝－1＋3＋1＝3，f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，所以函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在區(qū)間[－3，0]上的最大值、最小值分別是3，－17.]3.A[由題意得函數(shù)定義域為(0，＋∞)，令y'＝1-lnxx2＝0?當(dāng)x>e時，y'<0；當(dāng)0<x<e時，y'>0，所以函數(shù)在x＝e處取得極大值為e－1，因為在定義域內(nèi)只有一個極值，所以ymax＝e－1.]4.1解析由題意可知，f

'(x)＝3x2－2x－1，令f

'(x)＝0，解得x＝1或x＝－13(舍去)當(dāng)0≤x<1時，f

'(x)<0；當(dāng)1<x≤2時，f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，在(1，2]上單調(diào)遞增.又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，則f(2)最大，所以當(dāng)x＝2時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值為f(2)＝a＋2＝3，解得a＝1.探究核心題型例1解函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－12ax2求導(dǎo)得f'(x)＝xex－ax＝x(ex－a).(1)∵a＝e，∴f(x)＝(x－1)ex－12ex2f'(x)＝x(ex－e)，當(dāng)x∈[0，2]時，令f'(x)＝0，得x＝1(舍去x＝0)，∵f(1)＝－12ef(0)＝－1，f(2)＝e2－2e，∴f(x)min＝f(1)＝－12ef(x)max＝f(2)＝e2－2e.(2)若a>0，則①當(dāng)lna≥2，即a≥e2時，ex－a≤0，f'(x)≤0，函數(shù)f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減，因此函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值為f(2)＝e2－2a；②當(dāng)1<lna<2，即e<a<e2時，函數(shù)f(x)在[1，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，2]上單調(diào)遞增，因此函數(shù)f(x)的最小值為f(lna)＝a(lna－1)－12a(lna)2③當(dāng)lna≤1，即0<a≤e時，ex－a≥0，f'(x)≥0，函數(shù)f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，因此函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值為f(1)＝－12a綜上，當(dāng)a≥e2時，f(x)在[1，2]上的最小值為e2－2a；當(dāng)e<a<e2時，f(x)在[1，2]上的最小值為a(lna－1)－12a(lna)2當(dāng)0<a≤e時，f(x)在[1，2]上的最小值為－12a跟蹤訓(xùn)練1解函數(shù)f(x)＝x-ax－lnx(a∈R)的定義域為(0，＋則f'(x)＝ax2－當(dāng)a≤0時，對任意的x>0，f'(x)<0恒成立，此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)，所以f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，故f(x)在(0，e]上無最大值.當(dāng)a>0時，由f'(x)>0，可得0<x<a，由f'(x)<0，可得x>a.此時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a，＋∞).當(dāng)a≥e時，函數(shù)f(x)在(0，e]上單調(diào)遞增，所以f(x)max＝f(e)＝－ae當(dāng)0<a<e時，函數(shù)f(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，e]上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(a)＝－lna.綜上，當(dāng)a≤0時，f(x)在(0，e]上無最大值；當(dāng)0<a<e時，f(x)在(0，e]上的最大值為－lna；當(dāng)a≥e時，f(x)在(0，e]上的最大值為－ae例2解函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝2x－(2a＋1)＋a＝2＝(2x①當(dāng)a≤1時，x∈[1，e]，f'(x)>0，所以f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，f(x)的最小值為f(1)＝－2a，滿足題意；②當(dāng)1<a<e時，令f'(x)>0，則x>a或0<x<12令f'(x)<0，則12<x<a所以f(x)在[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，e]上單調(diào)遞增，此時，f(x)的最小值為f(a)<f(1)＝－2a，不滿足題意；③當(dāng)a≥e時，x∈[1，e]，f'(x)<0，所以f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，f(x)的最小值為f(e)<f(1)＝－2a，不滿足題意.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，1].跟蹤訓(xùn)練2解f(x)的定義域為(0，＋∞)，f'(x)＝lnx＋x·1x－(a＋1)＝lnx－a當(dāng)0<x<ea時，f'(x)<0，當(dāng)x>ea時，f'(x)>0，所以f(x)在(0，ea)上單調(diào)遞減，在(ea，＋∞)上單調(diào)遞增.因為a>0，則ea>1，當(dāng)ea≤e，即0<a≤1時，則f(x)min＝f(ea)＝ealnea－(a＋1)ea＋1＝1－ea＝1－2e，解得a＝1＋ln2(舍去)；當(dāng)ea>e，即a>1時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，所以f(1)＝－a＝－2，f(e)＝1－ae＝1－2e，解得a＝2，符合題意.綜上所述，a＝2.例3A[由于糧倉高50米，頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑之比為1∶10，設(shè)糧倉頂部圓錐形的高為x米，底面直徑為10x米，圓柱的高為(50－x)米，兩座糧倉總的容積為V(x)＝2π(5＝100π3x2(75－x)若靠矩形長邊建造，則20所以0<x≤5；若靠矩形寬邊建造，則20所以0<x≤4.因為V'(x)＝100π(50x－x2)，當(dāng)0<x≤5時，V'(x)>0，V(x)在(0，5]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝5時，V(x)取得最大值175000π3兩個糧倉最多能儲存稻谷175000π3×0.6≈(噸).跟蹤訓(xùn)練324.4解析記當(dāng)年銷售該產(chǎn)品x臺獲得的利潤為f(x)(單位：萬元).依題設(shè)，c(x)＝klnx10，k>0當(dāng)生產(chǎn)20臺該農(nóng)機產(chǎn)品時，需要流動成本0.7萬元得，0.7＝kln2010，可得k＝1，∴c(x)＝lnx∴f(x)＝p(x)x－c(x)－10