培優(yōu)點9新情景、新定義下的數(shù)列問題近幾年全國各地高考試題，我們總能在試卷的壓軸題位置發(fā)現(xiàn)新定義數(shù)列題的身影，它們對數(shù)列綜合問題的考查常常以新定義、新構(gòu)造和新情景形式呈現(xiàn)，有時還伴隨著數(shù)列與集合，難度較大．題型一數(shù)列中的新概念通過創(chuàng)新概念，以集合、函數(shù)、數(shù)列等的常規(guī)知識為問題背景，直接利用創(chuàng)新概念的內(nèi)涵來構(gòu)造相應(yīng)的關(guān)系式(或不等式等)，結(jié)合相關(guān)知識中的性質(zhì)、公式來綜合與應(yīng)用．例1(1)0－1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用．若序列a1a2…an…滿足ai∈{0,1}(i＝1,2，…)，且存在正整數(shù)m，使得ai＋m＝ai(i＝1,2，…)成立，則稱其為0－1周期序列，并稱滿足ai＋m＝ai(i＝1,2，…)的最小正整數(shù)m為這個序列的周期．對于周期為m的0－1序列a1a2…an…，C(k)＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,a)iai＋k(k＝1,2，…，m－1)是描述其性質(zhì)的重要指標，下列周期為5的0－1序列中，滿足C(k)≤eq\f(1,5)(k＝1，2,3,4)的序列是()A．11010… B．11011…C．10001… D．11001…(2)(2023·武漢模擬)將1,2，…，n按照某種順序排成一列得到數(shù)列{an}，對任意1≤i<j≤n，如果ai>aj，那么稱數(shù)對(ai，aj)構(gòu)成數(shù)列{an}的一個逆序?qū)Γ鬾＝4，則恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列{an}的個數(shù)為()A．4B．5C．6D．7思維升華與數(shù)列的新概念有關(guān)的問題的求解策略①通過給出一個新的數(shù)列的概念，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的．②遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運算，驗證，使得問題得以解決．跟蹤訓(xùn)練1(多選)(2023·江西聯(lián)考)在一次數(shù)學活動課上，老師設(shè)計了有序?qū)崝?shù)組A＝{a1，a2，a3，…，an}，ai∈{0,1}，i＝1,2,3，…，n，f(A)表示把A中每個1都變?yōu)?,0，每個0都變?yōu)?，所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，例如A＝{0,1}，則f(A)＝{1,0,0}．定義Ak＋1＝f(Ak)，k＝1,2,3，…，n，若A1＝{0,1}，則()A．A100中有249個1B．A101中有249個0C．A1，A2，A3，…，A100中0的總個數(shù)比1的總個數(shù)多250－1D．A1，A2，A3，…，A100中1的總個數(shù)為251－1題型二以數(shù)列和項與通項關(guān)系定義新數(shù)列例2(1)(多選)(2023·蘇州模擬)若數(shù)列{an}滿足：對任意的n∈N*(n≥3)，總存在i，j∈N*，使an＝ai＋aj(i≠j，i<n，j<n)，則稱{an}是“F數(shù)列”．則下列數(shù)列是“F數(shù)列”的有()A．a(chǎn)n＝2n B．a(chǎn)n＝n2C．a(chǎn)n＝3n D．a(chǎn)n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)))n－1(2)(多選)(2023·威海模擬)已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，前n項和為Sn.設(shè)λ與k是常數(shù)，若對任意n∈N*，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ－k”數(shù)列．若數(shù)列{an}是“eq\f(\r(2),2)－2”數(shù)列，且an>0，則()A．Sn＝9n－1B．{an}為等比數(shù)列C．{Sn－an}的前n項和為eq\f(9n－1－1,8)D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))為等差數(shù)列思維升華解決此類問題，關(guān)鍵是根據(jù)題干中的新定義、新公式、新定理、新法則、新運算等，將新數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，或者找到新數(shù)列的遞推關(guān)系進行求解．跟蹤訓(xùn)練2(多選)(2023·北京人大附中模擬)已知數(shù)列{an}滿足：對任意的n∈N*，總存在m∈N*，使得Sn＝am，則稱{an}為“回旋數(shù)列”．以下結(jié)論中正確的是()A．若an＝2023n，則{an}為“回旋數(shù)列”B．設(shè){an}為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則{an}為“回旋數(shù)列”C．設(shè){an}為等差數(shù)列，當a1＝1，公差d<0時，若{an}為“回旋數(shù)列”，則d＝－1D．若{an}為“回旋數(shù)列”，則對任意n∈N*，總存在m∈N*，使得an＝Sm題型三數(shù)列新情景例3(1)九連環(huán)是中國最杰出的益智游戲．九連環(huán)由九個相互連接的環(huán)組成，這九個環(huán)套在一個中空的長形柄中，九連環(huán)的玩法就是要將這九個環(huán)從柄上解下來，規(guī)則如下：如果要解下(或安上)第n號環(huán)，則第(n－1)號環(huán)必須解下(或安上)，n－1往前的都要解下(或安上)才能實現(xiàn)．記解下n連環(huán)所需的最少移動步數(shù)為an，已知a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋2an－2＋1(n≥3)，則解六連環(huán)最少需要移動圓環(huán)步數(shù)為()A．42B．85C．256D．341(2)(2021·新高考全國Ⅰ)某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1＝240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2＝180dm2，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為__________；如果對折n次，那么eq\i\su(k＝1,n,S)k＝__________dm2.跟蹤訓(xùn)練3幾位大學生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20,21，再接下來的三項是20,21,22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>55且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是()A．95B．105C．115D．1251．(2023·河北統(tǒng)考)數(shù)學家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個常見的高階等差數(shù)列，如數(shù)列2,4,7,11,16，從第二項起，每一項與前一項的差組成新數(shù)列2,3,4,5，新數(shù)列2,3,4,5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2,4,7,11,16為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列{an}，其前七項分別為2,2,3,5,8,12,17，則該數(shù)列的第20項為()A．173B．171C．155D．1512．(2023·佳木斯模擬)科學家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，其定義是：對于函數(shù)f(x)，若數(shù)列{xn}滿足xn＋1＝xn－eq\f(fxn,f′xn)，則稱數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列，若函數(shù)f(x)＝x2，數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列且x1＝2，an＝log2xn，則a8的值是()A．8B．2C．－6D．－43．若三個非零且互不相等的實數(shù)x1，x2，x3成等差數(shù)列且滿足eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(2,x3)，則稱x1，x2，x3成一個“β等差數(shù)列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，則由M中的三個元素組成的所有數(shù)列中，“β等差數(shù)列”的個數(shù)為()A．25B．50C．51D．1004．(2023·鹽城模擬)將正整數(shù)n分解為兩個正整數(shù)k1，k2的積，即n＝k1·k2，當k1，k2兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解．如20＝1×20＝2×10＝4×5，其中4×5即為20的最優(yōu)分解，當k1，k2是n的最優(yōu)分解時，定義f(n)＝|k1－k2|，則數(shù)列{f(5n)}的前2023項的和為()A．51012 B．51012－1C．52023 D．52023－15．(2023·鄭州模擬)普林斯頓大學的康威教授發(fā)現(xiàn)了一類有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”，該數(shù)列的后一項由前一項的外觀產(chǎn)生．以1為首項的“外觀數(shù)列”記作A1，其中A1為1,11,21,1211,111221，…，即第一項為1，外觀上看是1個1，因此第二項為11；第二項外觀上看是2個1，因此第三項為21；第三項外觀上看是1個2,1個1，因此第四項為1211，…，按照相同的規(guī)則可得A1其他項，例如A3為3,13,1113,3113,132113，…，若Ai的第n項記作an，Aj的第n項記作bn，其中i，j∈[2,9]，若cn＝|an－bn|，則{cn}的前n項和為()A．2n|i－j| B．n(i＋j)C．n|i－j| D.eq\f(1,2)|i－j|6．(多選)在數(shù)列{an}中，若aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*，p為常數(shù))，則{an}稱為“等方差數(shù)列”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷，其中正確的為()A．若{an}是等方差數(shù)列，則{aeq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列B．若{an}是等方差數(shù)列，則{aeq\o\al(2,n)}是等方差數(shù)列C．{(－1)n}是等方差數(shù)列D．若{an}是等方差數(shù)列，則{akn}(k∈N*，k為常數(shù))也是等方差數(shù)列7．(多選)(2023·浙江聯(lián)考)“角谷猜想”是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次這兩種運算，最終必進入循環(huán)圖1→4→2→1.對任意正整數(shù)a0，按照上述規(guī)則實施第n次運算的結(jié)果為an(n∈N)，下列說法正確的是()A．當a0＝7時，則a11＝5B．當a0＝16時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列C．若a5＝1，且ai(i＝1,2,3,4)均不為1，則a0＝5D．當a0＝10時，從ai(i＝1,2,3,4,5,6)中任取兩個數(shù)至少一個為奇數(shù)的概率為eq\f(3,5)8．(2023·寶雞模擬)對給定的數(shù)列{an}(an≠0)，記bn＝eq\f(an＋1,an)，則稱數(shù)列{bn}為數(shù)列{an}的一階商數(shù)列；記cn＝eq\f(bn＋1,bn)，則稱數(shù)列{cn}為數(shù)列{an}的二階商數(shù)列；依此類推，可得數(shù)列{an}的P階商數(shù)列(P∈N*)，已知數(shù)列{an}的二階商數(shù)列的各項均為e，且a1＝1，a2＝1，則a10＝__________.9．(2023·濰坊模擬)若項數(shù)為n的數(shù)列{an}滿足：ai＝an＋1－i(i＝1,2,3，…，n)，我們稱其為n項的“對稱數(shù)列”．例如：數(shù)列1,2,2,1為4項的“對稱數(shù)列”；數(shù)列1,2,3,2,1為5項的“對稱數(shù)列”．設(shè)數(shù)列{cn}為2k＋1項的“對稱數(shù)列”，其中c1，c2，…，ck＋1是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{cn}的最大項等于8，記數(shù)列{cn}的前2k＋1項和為S2k＋1，若