山西省晉城市部分學校2024-2025學年高二下學期4月期中考試數(shù)學試題（A）一、單選題1．若直線的傾斜角的大小為，則實數(shù)（

）A． B． C． D．2．隨機變量服從兩點分布，若，則（

）A． B． C． D．3．已知為拋物線的焦點，過的直線交于，兩點，若弦的中點的橫坐標為4，則（

）A．8 B．10 C．12 D．164．已知隨機變量的分布列如下表：01230.120.24則（

）A．1.2 B．1.04 C．1.02 D．15．從人中選擇人去，，三地調(diào)研，一個地方安排人另外兩個地方各安排人的安排方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種6．計算：（

）A． B． C． D．7．某次數(shù)學測試的單項選擇題，學生甲有把握答對其中4道題，余下4道題中，有3道有思路，1道完全沒有思路.若甲答對每道有思路的題的概率為，答對每道完全沒有思路的題的概率為，他從這8道題中任抽一題作答，答對的概率為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，過點可向曲線引3條切線，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．數(shù)字0，1，2，3，4組成的無重復數(shù)字的五位數(shù)構(gòu)成集合，則下列說法正確的是（

）A．中有偶數(shù)60個B．中數(shù)字1，2相鄰的數(shù)有36個C．中2，4不相鄰的數(shù)有72個D．將中的元素從小到大排列，第55個數(shù)為3102410．設，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則（

）A．事件，相互獨立 B．C． D．11．已知曲線，直線，為上一點，則（

）A．B．當時，C．對任意，，直線與的交點個數(shù)不超過個D．當，時，直線與有3個交點三、填空題12．已知隨機變量的概率分布密度函數(shù)，若.則.13．已知（，且）的展開式中沒有常數(shù)項，則.14．已知實數(shù)，，，滿足，，則的最大值為.四、解答題15．在一個不透明的箱子里有8個大小相同的小球，其中5個黑球，3個紅球.從中不放回地依次摸出3個小球.(1)求前兩次摸出的球均為黑球的概率；(2)記表示摸出的小球中紅球的數(shù)量，求的分布列及其數(shù)學期望.16．如圖，在直三棱柱中，為的中點，，，.(1)求與平面所成角的正弦值；(2)求平面與平面夾角的余弦值.17．“科學技術(shù)是第一生產(chǎn)力”.科技進步能夠更好地推動高質(zhì)量發(fā)展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部門有員工100名，公司擬開展DeepSeek培訓，分三輪進行，每位員工一輪至三輪培訓達到“優(yōu)秀”的概率分別為，，，每輪相互獨立，有兩輪及兩輪以上獲得“優(yōu)秀”的員工才能應用DeepSeek.(1)估計部門員工經(jīng)過培訓能應用DeepSeek的人數(shù)（去尾法精確到個位）；(2)已知開展DeepSeek培訓前，員工每人每年為公司創(chuàng)造利潤6萬元；開展DeepSeek培訓后，能應用DeepSeek的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤10萬元.DeepSeek培訓平均每人每年成本為1萬元.根據(jù)公司發(fā)展需要，計劃先將部門的部分員工隨機調(diào)至公司其他部門，然后對其余員工開展DeepSeek培訓.要保證培訓后部門的年利潤不低于員工調(diào)整前的年利潤，部門最多可以調(diào)多少人到其他部門？18．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，若存在零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)證明：.19．若數(shù)列滿足：，且（，且），則稱該數(shù)列為“非線性遞增數(shù)列”.(1)設數(shù)列為“非線性遞增數(shù)列”，且.（i）求，；（ii）記數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)，使得對任意的，恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由；(2)若數(shù)列為“非線性遞增數(shù)列”，且滿足，，，記數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.題號12345678910答案DACADCCBABDAC題號11答案ABD1．D由傾斜角和斜率的關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】直線的斜率，解得.故選：D.2．A設，結(jié)合兩點分布方差公式列方程求即可.【詳解】設，由兩點分布方差公式可得，又，所以，解得，所以，故選：A.3．C由拋物線焦點弦公式結(jié)合中點坐標公式即可求解.【詳解】設，則，所以，由拋物線的焦點弦公式可得.故選：C.4．A先由概率之和為1解出，再由期望公式求解即可.【詳解】由題意可得，解得或，由概率不能大于1，所以舍掉，所以，.故選：A5．D滿足條件的安排方法可分兩步完成，第一步，從人中選擇人，第二步，將所選人按要求分去，，三地調(diào)研，利用組合知識求第一步的方法數(shù)，根據(jù)部分平均分組問題的處理方法求第二步的方法數(shù)，再由分步乘法計數(shù)原理求結(jié)論.【詳解】滿足條件的安排方法可分兩步完成，第一步，從人中選擇人，完成該步有種方法，第二步，將所選人按要求分去，，三地調(diào)研，完成該步的方法數(shù)為，由分步乘法計數(shù)原理可得滿足要求的方法共有種.故選：D.6．C由有意義，列不等式求，再根據(jù)組合數(shù)的計算公式求結(jié)論.【詳解】因為有意義，所以，，，，，所以，所以，故選：C.7．C利用全概率公式進行求解即可.【詳解】設“學生甲從這8題中任選1題且作對”為事件，“選到能完整做對的4道題”為事件，“選到有思路的3道題”為事件，“選到完全沒有思路的題”為事件，則，，，，由全概率公式可得.故選：C.8．B設切點后由導數(shù)的意義得到切線方程，代入轉(zhuǎn)化為三次方程有三個不同實數(shù)根問題，構(gòu)造函數(shù)求導得到極值點和極值，再根據(jù)三次方程有三個不同根的條件計算.【詳解】設切點為，由可得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，由點在切線上代入可得，即三次方程有三個不同的實數(shù)根，令，則，所以極值點為和，又極值點處函數(shù)值為，三次方程有三個不同實數(shù)根的充要條件是極值點處函數(shù)值異號，所以，解得.故選：B9．ABD分個位數(shù)是否為零兩種情況討論即可判斷A；利用捆綁法即可判斷B，利用排除法結(jié)合捆綁法即可判斷C；易得第55個數(shù)的首位為，再列舉即可判斷D.【詳解】對于A：若個位數(shù)為，則有個；若個位數(shù)不為，則個位數(shù)只能是之一，只能在中間3個位置任選一個位置，剩余3個數(shù)字在剩余的三個位置上任意排列，則有個.所以偶數(shù)有60個，故A正確；對于B，將看成一個整體，首位不為，則有個，所以中數(shù)字1，2相鄰的數(shù)有36個，故B正確；對于C，種共有個元素，其中相鄰有個，所以中2，4不相鄰的數(shù)有個，故C錯誤；首位為，則有個，首位為，則有個，首位為，則有個，所以將中的元素從小到大排列，第55個數(shù)的首位為，則第個數(shù)為，第個數(shù)為，第個數(shù)為，第個數(shù)為，第個數(shù)為，第個數(shù)為，第個數(shù)為，故D正確.故選：ABD.10．AC已知、、關(guān)系公式，把對應值代入就能算出．對于A選項：依據(jù)事件獨立定義，若，則、獨立，算出和比較即可．對于B選項：用條件概率公式，把、值代入計算，和比較．對于C選項：先求和，再用條件概率公式計算，看是否等于．對于D選項：根據(jù)算出，和比較大?。驹斀狻繉τ贏，已知，將，，代入可得：因為，所以事件，相互獨立，A選項正確．對于B，根據(jù)條件概率公式，將，代入可得：，B選項錯誤．對于C，先求，．再根據(jù)條件概率公式，將，代入可得：，C選項正確．對于D，，而，所以，D選項錯誤．故選：AC．11．ABD化簡曲線方程，確定曲線軌跡，對于A，結(jié)合軌跡方程消，求的范圍即可判斷，對于B，結(jié)合根據(jù)方程可得，由此可求的范圍，根據(jù)結(jié)論判斷B，對于C，取，即可判斷，聯(lián)立方程組，解方程即可判斷.【詳解】當時，方程可化為，所以，，當或時，方程可化為，所以，，所以曲線是中心為原點，焦點為，，長半軸為的橢圓在軸上方的部分和中心為原點，焦點為，，實半軸為的雙曲線在軸上方的部分和點，組成,所以曲線的圖象為：

對于A，因為為上一點，若，則，，所以，若或，則，，故，A正確；對于B，由可得，，所以，，所以，所以，又，所以，故，B正確，對于C，當，時，直線與的交點個數(shù)為個，C錯誤；對于D，當，時，聯(lián)立，化簡可得，所以，所以方程的根為，，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，假設，則，則，矛盾，故，所以曲線，與直線，有兩個交點，，化簡可得，所以，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，滿足條件，所以曲線，與直線，有一個交點，故當，時，直線與有3個交點，D正確；故選：ABD.12．/根據(jù)題意可得，再根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可得解.【詳解】因為隨機變量的概率分布密度函數(shù)，所以，所以.故答案為：.13．根據(jù)兩項乘積的通項公式結(jié)合沒有常數(shù)項列不等式結(jié)合計算求解.【詳解】由于的展開式中沒有常數(shù)項，所以和都不是常數(shù)，則，，又因為，所以，故?。蚀鸢笧椋?.14．18通過設向量，利用向量的數(shù)量積和模的性質(zhì)求出與的關(guān)系，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出的最大值．【詳解】設，．根據(jù)向量模的計算公式，可得，已知，所以；同理，因為，所以．根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算公式，，所以．由向量的數(shù)量積公式，可得，即，因為，所以，這表明與同向．所以存在實數(shù)，使得，即，．又因為，所以，即，結(jié)合，可得，那么，．化簡將，代入，可得．設，，則原式可化為．由，根據(jù)，可得．令，．當且時，，與矛盾，此情況不存在．當且時，，其最大值為．當且時，，其最大值為．當且時，，當時，取得最大值．綜上，的最大值為18．故答案為：18．15．(1)(2)分布列見解析，（1）求出每次為黑球的概率，在相乘即可；（2）寫出隨機變量的所有取值，再求出對應概率，即可求出分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可.【詳解】（1）由題意，前兩次摸出的球均為黑球的概率；（2）由題意，可取，則，，，，所以的分布列為.16．(1)(2)（1）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，根據(jù)線面角公式計算即可；（2）利用向量法求平面與平面的夾角余弦即可.【詳解】（1）以為原點，以分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，，，所以，則，，設平面的法向量，則，令，則，設與平面所成角為，則與平面所成角的正弦值為.（2）設平面的法向量，則，令，則，，，，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．(1)(2)（1）求出每個員工“優(yōu)秀”的概率，再乘以總?cè)藬?shù)即可得解；（2）設調(diào)出人，分別求出調(diào)整期和調(diào)整后的利潤，再根據(jù)題意建立不等式，解之即可.【詳解】（1）由題意每個員工“優(yōu)秀”的概率，則估計部門員工經(jīng)過培訓能應用DeepSeek的人數(shù)為個，按去尾法取整，有人；（2）設調(diào)出人，調(diào)整前的利潤為（萬元），調(diào)整后的利潤為，要保證培訓后部門的年利潤不低于員工調(diào)整前的年利潤，則，解得，因為為整數(shù)，所以最大值為，即部門最多可以調(diào)人到其他部門.18．(1)答案見解析(2)(3)證明見解析（1）求導后分和討論可得；（2）求導后分析單調(diào)性和最值，再結(jié)合零點可得；（3）當時，令，結(jié)合（2）的結(jié)論和對數(shù)的運算性質(zhì)以及等差數(shù)列的求和公式得到，再兩邊同時取指數(shù)運算可得.【詳解】（1）的定義域為，，當時，因，所以恒成立，即在為單調(diào)遞減函數(shù)；當時，令，所以當時，，為單調(diào)遞減函數(shù)；當時，，為單調(diào)遞增函數(shù)，綜上，當時，在為單調(diào)遞減函數(shù)；當時，時，為單調(diào)遞減函數(shù)；時，為單調(diào)遞增函數(shù).（2）當時，，，，則，令，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，因為存在零點，所以，即實數(shù)的取值范圍為.（3）由（2）可得，當時，，令，則，所以，即，兩邊同時取指數(shù)可得，又上式中，所以.19．(1)（i），；（ii）(2)（1）根據(jù)“非線性遞增數(shù)列”的定義求出，再通過分析數(shù)列的規(guī)律求前項和，進而判斷是否存在滿足條件的；（2）先根據(jù)條件求出數(shù)列的通項公式，再求出數(shù)列的前項和，最后根據(jù)不等式恒成立求出的取值范圍.【詳解】（1）（i）已知，則，，.根據(jù)“非線性遞增數(shù)列”的定義，可得：；；.（ii）當為奇數(shù)時：已知，又因為，所以.這表明數(shù)列是以為首項（假設），為公差的等差數(shù)列.根據(jù)等差數(shù)列通項公式，則.令，則，將代入，可得（為奇數(shù)）.當為偶數(shù)時：已知，又因為，所以.這表明數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.根據(jù)等差數(shù)列通項公式，對于數(shù)列，則.令，則，將代入，可得（為偶數(shù)）.所以.當為偶數(shù)時：.其中是以為首項，為公差的等差數(shù)列，項數(shù)為項；是以為首項，為公差的等差數(shù)列，項數(shù)為項.根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到：..所以.當為奇數(shù)時：為偶數(shù)，則.因為為偶數(shù)，所以，..所以.當為奇數(shù)時，已知，變形得到，設.對于二次函數(shù)，圖象開口向下，對稱軸為.因為且為奇數(shù)，，則，當（即）時，取得最大值，所以.

當為偶數(shù)時，由可得，設.因為且為偶數(shù)，，函數(shù)中，隨著的增大，減小，